4.3对数与4.4对数函数-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

4.3对数与4.4对数函数（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 15 【提升训练】 27 知识回顾 1. 对数的概念 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)常用对数与自然对数：通常，将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，称为自然对数，记为lnN. 2. 对数的性质 (1)零与负数没有对数； (2)loga 1＝0，loga a＝1(a>0且a≠1). 3. 对数恒等式 对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0). 4. 对数的运算性质 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 5. 换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 6. 对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 7. 对数函数的图象和性质 函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 8. 反函数 (1)一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. (2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 9. 对数型函数的奇偶性 形如f(x)＝loga，f(x)＝loga，f(x)＝loga(a>0，且a≠1，b>0)等的函数均为奇函数. 10. 对数型函数的单调性 (1)若a>1，则函数f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集. (2)若0<a<1，则函数f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集. 11. 一次函数与指数函数增长的差异 一般地，指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长速度不同，即使k的值远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度. 12. 一次函数与对数函数增长的差异 一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)内都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024高二上·福建·学业考试）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（   ） A．28 B．27 C．23 D．14 3．（2024·浙江台州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知函数，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·陕西西安·期末）下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是“"的充分不必要条件 C．若，则 D．函数（且 ）的图象恒过定点 10．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．若幂函数的图象过点，则 B．若，，，则的最小值为8 C．“，有”的否定是“，使” D．， 11．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）下列函数中满足“对任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）的单调增区间是 . 13．（2024·重庆·三模）已知，，且，则 . 14．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·福建厦门·期中）（1） 化简: （2） 求值: （3） 求值: 16. (15分) （24-25高一上·上海·随堂练习）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/min？ (2)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（精确到整数） (3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 17. (15分) （24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过点，求的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，记集合为的定义域． (1)求集合； (2)判断函数的奇偶性； (3)当时，求函数的值域． 19. (17分) （24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A A D D C BD CD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 2．C 【分析】设声强的声强级为，声强的声强级为，则，再代入数据进行对数运算即可. 【详解】设声强的声强级为，声强的声强级为， 则, 由题知, 所以. 故选：. 3．B 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数， 当时，， 则. 故选：B 4．A 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 5．A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 6．D 【分析】利用函数的定义域和值域，排除法选择正确选项. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为，所以排除A，C． 因为，所以，所以排除B． 故选：D 7．D 【分析】根据的值域为，可得函数的值域应包含，利用即可得解. 【详解】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 8．C 【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定的范围后，再确定，，的范围，从而得它们的大小关系． 【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象， 因此，，， ，，，即， 故选：C． 9．BD 【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，，但 ，故C错误； 对于D，当时，，所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确. 故选:BD.` 10．CD 【分析】将点代入即可判断A；根据基本不等式的条件举例即可判断B；根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断C；作出函数的图象，即可函数图象即可判断D. 【详解】对于A，因为幂函数的图象过点， 所以，解得，故A错误； 对于B，当时，， 此时，故B错误； 对于C，“，有”的否定是“，使”，故C正确； 对于D，如图，作出函数的图象， 由图可知，，，故D正确. 故选：CD. 11．ACD 【分析】根据函数的单调性确定正确答案. 【详解】因为对任意，都有， 所以在上单调递增， A：根据反比例函数性质可知在上单调递增，符合题意； B：根据指数函数的性质可知，在上单调递减，不符合题意； C：根据对数函数的性质可知在上单调递增，符合题意； D：根据一次函数的性质可知，在上单调递增，符合题意． 故选：ACD. 12． 【分析】根据对数型复合函数的单调性求解方法求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 因为二次函数在单调递减，单调递增， 所以的单调增区间是. 故答案为：. 13． 【分析】根据对数的运算可得和，即可求解. 【详解】解：因为，，所以， 因为，所以，所以，即， 所以，，则 故答案为： 14．2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 15．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. （3）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式 . 16．(1)1.70km/min； (2)466 (3)9 【分析】（1）将代入函数，计算出答案； （2）将，代入函数式可得，得到结论； （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，列出方程组，计算出，得到结论. 【详解】（1）将，代入函数式可得： ， 故此时候鸟飞行速度为1.70km/min． （2）将，代入函数式可得： ， 即， 所以，于是． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得： 两式相减可得： ，于是． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 17．(1) (2)(或) 【分析】(1)根据题意求出，解对数不等式即可； (2)代入，计算得出，即，根据对数函数的性质求解最大值. 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 由，得，即， 因为，函数是增函数， 所以，即的最大值为(或). 18．(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可； （2）由函数的奇偶性判断即可； （3）令，利用单调性求复合函数的值域即可. 【详解】（1）由真数大于0可知，，. （2） 可知定义域关于原点对称， ， 故为奇函数． （3）令，对称轴，在上，， 又在上递减， 故的值域是：． 19．(1)， (2) 【分析】（1）代入函数值即可求出参数的值，由对数运算中真数大于0列出不等式求得定义域； （2）化简函数解析式得到一个复合函数，通过复合函数的单调性的定义得出函数单调区间，从而找到最小值点得到最小值. 【详解】（1），即，则， 由题意得，∴，的定义域为：. （2）， 令，则，， 的对称轴：， ∴在上单调递增，在上单调递减； ∵，∴在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增， ∴. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（22-23高一上·福建龙岩·阶段练习）年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品，在预定区域安全着陆，嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）､火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式为.如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东佛山·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 4．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知，设，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·安徽·开学考试）已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·海南海口·期末）设函数，，下列关于和的性质，正确的是（    ） A．对任意的，， B．对任意的，且， C．函数是定义域为的奇函数 D．函数在定义域上是增函数 10．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．为偶函数 11．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为，则的取值范围是 B．若的值域为，则的取值范围是 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 . 13．（24-25高三上·四川成都·开学考试）若函数，在上单调递增，则的取值范围为 . 14．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 16. (15分) （24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数且． (1)若在区间上的最大值是2，求实数的值； (2)若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 17. (15分) （24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 18. (17分) （23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)解关于x的不等式； (2)若在区间上恒成立，求a的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B C D C AC ABC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可. 【详解】由，可得，， 所以. 故选：D. 2．D 【分析】根据题意，由条件可得，结合对数运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，，则， 即，解得， 所以如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是. 故选：D 3．A 【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，由此可计算出的值. 【详解】因为是奇函数， 设，则，所以， 即， 所以，即，则. 故选：A. 4．C 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 5．B 【分析】根据题意，将函数改写成分段函数，结合对数函数的单调性和对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】因为， 又，且， 所以， 即，所以， 所以，所以， 根据对勾函数的单调性可知，在上递减， 所以， 所以的取值范围是， 故选：B. 6．C 【分析】根据每段上函数均为增函数且结合临界处函数值的大小可得关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围. 【详解】因为为上的增函数，故：， 解得， 故选：C. 7．D 【分析】根据零点的定义得出关于、的式子，再利用指数函数与的图象性质逐项分析即可求解. 【详解】根据题意，，所以且， ，所以且， 对比和可知，结合和只有一个交点， 所以，故，故选项A错误； 因为在定义域内单调递增， 易知在单调递增， 若，则， 与a是的零点矛盾，故选项B错误； 若成立， 则有，即有， 即有，故矛盾，所以选项C错误； ，故选项D正确． 故选：D． 8．C 【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果. 【详解】由已知条件可知，，， 令，，， 如图所示， 曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称， 设曲线分别与曲线，交于点， ， 则点，关于直线对称， 而点关于直线对称的点为，即为点， 则，即. 故选：C. 9．AC 【分析】根据对数的运算性质分析A，由基本不等式分析B，由函数奇偶性的判断方法分析C，由复合函数单调性的判断方法分析D． 【详解】对于A：对任意的，，，故A正确； 对于B：对任意的，且，，， 由基本不等式，由于，且，， 即，故B错误； 对于C，，必有，解可得，即函数的定义域为， 又由，即函数是定义域为的奇函数，故C正确； 对于D，，设，易得在区间上为减函数， 而在其定义域上为增函数，故函数在定义域上是减函数，故D错误． 故选：AC． 10．ABC 【分析】根据对数函数的性质一一判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 又，所以为奇函数，故B正确，D错误； 因为在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在定义域上是减函数，故C正确. 故选：ABC 11．ABD 【分析】由恒成立判断A，由有解判断B，结合对数函数的单调性求减区间判断C，由对数函数性质判断D． 【详解】选项A，恒成立，，解得，A正确； 选项B，有解，因此，解得或，B正确； 选项C，时，，由得或，因此其减区间是，C错； 选项D，在上单调递减，则，解得，D正确． 故选：ABD． 12． 【分析】根据对数函数的基本性质求出定点的坐标，然后令，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，由此可得出的值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，此时，， 所以，函数（且）的图象恒过定点， 因为函数为幂函数，设，则，解得， 所以，，故. 故答案为：. 13． 【分析】由已知结合一次函数及对数函数的单调性及分段函数的性质即可求解． 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得． 故答案为： 14． 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）函数的图象恒过定点，代入可得答案； （2）由得或，根据对数的运算性质可得答案． 【详解】（1）令得，所以函数的图象恒过定点， 所以，解得， 所以； （2）由，得， 所以或， 当时，由单调性知，，不符合题意； 当时，， 所以． 16．(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程，解得即可； （2）根据函数在各段单调递增且断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）当时在上单调递增， 则，即，解得或（舍去）； 当时在上单调递减， 则，即，解得或（舍去）； 综上可得或； （2）因为且在上是增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 17．(1) (2) 【分析】（1）当时，不等式转化为，得到，即可求解； （2）把不等式，转化为对任意恒成立， 设，得到对任意恒成立， 设，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得， 由不等式，即，可得，解得， 所以不等式的解集为． （2）解：由不等式，即， 等价于对任意恒成立， 设，即对任意恒成立， 设， 当时，，解得， 当时，，a无解， 综上，a的取值范围是． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性求m，然后解不等式可得； （2）参变分离，将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可. 【详解】（1），由于函数为偶函数， 所以， 即，即， 即恒成立，∴. 所以不等式为，解得：或，所以原不等式的解集是. （2）由题得恒成立，即恒成立， 因为，所以，所以恒成立， 令，令， 则， 因为在单调递增， 所以函数在上单调递减，故. ∴. ∵对任意的恒成立，且，∴. ∴实数a的取值范围是. 19．(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）首先求出的定义域，再令，解得即可； （2）利用奇偶性的定义证明即可； （3）首先表示出，再根据对数函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以的定义域为， 对于函数，令，解得或， 所以的定义域为； （2）为奇函数，证明如下： 因为的定义域为， 且， 所以为奇函数； （3）因为，， 所以，则，即， 所以，即，即， 解得或，所以不等式的解集为. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 2．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（24-25高三上·山东·期中）已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南郴州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）“函数的值域为”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线的图象恒在曲线的图象上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·山西·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 . 13．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数（且≠1），若对任意.存在使得恒成立，则实数的取值范围为 . 14．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设，若函数的值域为，则的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足． (1)求函数，的解析式； (2)若在区间上的最大值为，求实数的值． 16. (15分) （24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，，求函数的值域. 17. (15分) （24-25高一上·山东淄博·期中）已知函数，， (1)当时，解关于的不等式：； (2)当时，求函数的单调区间及值域． 18. (17分) （24-25高一上·江苏南通·期中）定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 19. (17分) （24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A C D B C AD ABD 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 2．D 【分析】由条件可得，即，再利用基本不等式求解. 【详解】由，函数在上单调递增， ， 所以，即， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 3．C 【分析】利用函数的奇偶性和对称性求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即函数的图象关于直线对称； 因为函数为奇函数， 所以，即函数的图象关于点中心对称. 又当时，， 所以. 故选：C 4．A 【分析】由定义域可得定义域，后结合对数函数性质可得答案. 【详解】因的定义域是，则定义域为. 则定义域满足. 故选：A 5．C 【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可得确定图象. 【详解】由解析式，知的定义域为， ， 所以为奇函数， 当时，，， 则， 所以，在上， 结合各项函数图象，知：C选项满足要求. 故选：C 6．D 【分析】根据对数函数的性质，先分析出对数的真数部分能取得所有的正数，然后根据二次函数与其对应二次方程的关系，求出的范围即可求解. 【详解】因为函数的值域为， 设，则二次函数需要取到一切正数， 对应于方程中，，即， 解得或， 从而是“函数的值域为”的充分不必要条件. 故选：D 7．B 【分析】结合直线的图象与曲线的图象与轴的交点的位置关系即可求解. 【详解】如图所示，易知为凸函数，零点为，故，当时， 由图象，要使直线的图像恒在曲线的图像上方，可知， 故，所以. 故选：B． 8．C 【分析】由已知的奇偶性，确定函数的周期性，周期为4，然后由周期性、对数的运算法则计算函数值． 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 又因为为偶函数， 所以， 即， 所以， 故是以为周期的周期函数. 因为当时，， 所以 因为， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题关键是通过点对称与轴对称求周期，以及对数的运算. 9．AD 【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误. 【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 10．ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，结合指数幂与对数的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以A正确； 对于B中，由，，且，可得，则， 所以， 当且仅当时，的最小值为，所以B正确； 对于C中，由，所以，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为， 又由， 所以的最大值为，所以C不正确； 对于D中，因为，可得. 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 所以D正确. 故选：ABD. 11．ABC 【分析】将用表示，并求出的范围，根据双勾函数的性质即可判断A；根据对数的运算性质及二次函数的性质即可判断B，令，则，即，从而可得，再结合二次函数的性质即可判断C；易得，再结合双勾函数的性质即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 对于A，，令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 即，故A正确； 对于B，， 由，得，所以， 即，故B正确； 对于C，令，则， 即，即， 则， 由，得， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，即的最大值为，故C正确. 对于D，， 令，则， 则， 令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 所以， 即，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：令，结合换底公式得出，是解决C选项的关键. 12．2 【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增， 所以，解得 当时，函数在区间上单调递减， 所以，无解 故答案为：2 13． 【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式. 根据题意可得只需即可 【详解】根据题意可得只需即可，由题可知为对数底数且 或. 当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得； 当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即，可得. 综上：. 故答案为：. 14． 【分析】根据函数图像，分析函数的单调性，结合题目中函数的值域为，分析特殊点的横坐标，分类讨论即可得解. 【详解】作出函数图像， 根据题意， 得， 令， 解得或， 所以结合 ①若，则不合题意，舍去， ②若，则，此时； ③若，则，此时； ④若，则， 综上所述，， 故答案为： 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，解方程组即可； （2）首先求出解析式，再令，则，令，，问题转化为在上的最大值为，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足， 所以，即， 解得， （2）因为，所以， ， 则 ， 令，因为与在上单调递增，则在上单调递增， 所以，， 所以， 令，， 依题意可得在上的最大值为， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 综上可得. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数可得，利用奇函数的定义可求时的表达式，从而得到的解析式. （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果. 【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴. ∵时，， ∴当时，， ∴. （2）由题意得，. 令，问题等价于求，的值域 ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵，，， ∴，， ∴函数的值域为. 17．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据对数函数的单调性解不等式； （2）根据对数运算化简函数解析式，再根据二次函数与对数函数复合函数的单调性判断单调区间与值域. 【详解】（1）由已知当时，在上单调递减， 又，即， 则，解得； （2）当时，， 且，即， 又函数在单调递增， 函数在单调递增，在上单调递减， 综上所述函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 又当时，， 则， 综上所述函数的单调递增区间为，单调递减区间为；值域为. 18．(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”. （2）因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得， 若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即. （3）若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，所以，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19．(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用换元法可求值域； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案；②根据①得到，，且满足，即，计算出，又，代入后计算可得结论. 【详解】（1）当，时，，令，则， 则，即，故函数的值域为； （2）当时，， ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增，其中， 当时，，结合图像可知；    ②由①可知，所以，， 且满足，，即. 又， 所以 ， 因为，所以，， 故.即证出 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3对数与4.4对数函数（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 7 【提升训练】 10 知识回顾 1. 对数的概念 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)常用对数与自然对数：通常，将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，称为自然对数，记为lnN. 2. 对数的性质 (1)零与负数没有对数； (2)loga 1＝0，loga a＝1(a>0且a≠1). 3. 对数恒等式 对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0). 4. 对数的运算性质 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 5. 换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 6. 对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 7. 对数函数的图象和性质 函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 8. 反函数 (1)一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. (2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 9. 对数型函数的奇偶性 形如f(x)＝loga，f(x)＝loga，f(x)＝loga(a>0，且a≠1，b>0)等的函数均为奇函数. 10. 对数型函数的单调性 (1)若a>1，则函数f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集. (2)若0<a<1，则函数f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集. 11. 一次函数与指数函数增长的差异 一般地，指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长速度不同，即使k的值远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度. 12. 一次函数与对数函数增长的差异 一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)内都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024高二上·福建·学业考试）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（   ） A．28 B．27 C．23 D．14 3．（2024·浙江台州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知函数，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·陕西西安·期末）下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是“"的充分不必要条件 C．若，则 D．函数（且 ）的图象恒过定点 10．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．若幂函数的图象过点，则 B．若，，，则的最小值为8 C．“，有”的否定是“，使” D．， 11．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）下列函数中满足“对任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）的单调增区间是 . 13．（2024·重庆·三模）已知，，且，则 . 14．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·福建厦门·期中）（1） 化简: （2） 求值: （3） 求值: 16. (15分) （24-25高一上·上海·随堂练习）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/min？ (2)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（精确到整数） (3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 17. (15分) （24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过点，求的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，记集合为的定义域． (1)求集合； (2)判断函数的奇偶性； (3)当时，求函数的值域． 19. (17分) （24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（22-23高一上·福建龙岩·阶段练习）年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品，在预定区域安全着陆，嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）､火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式为.如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东佛山·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 4．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知，设，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·安徽·开学考试）已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·海南海口·期末）设函数，，下列关于和的性质，正确的是（    ） A．对任意的，， B．对任意的，且， C．函数是定义域为的奇函数 D．函数在定义域上是增函数 10．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．为偶函数 11．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为，则的取值范围是 B．若的值域为，则的取值范围是 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 . 13．（24-25高三上·四川成都·开学考试）若函数，在上单调递增，则的取值范围为 . 14．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 16. (15分) （24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数且． (1)若在区间上的最大值是2，求实数的值； (2)若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 17. (15分) （24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 18. (17分) （23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)解关于x的不等式； (2)若在区间上恒成立，求a的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 2．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（24-25高三上·山东·期中）已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南郴州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）“函数的值域为”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线的图象恒在曲线的图象上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·山西·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 . 13．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数（且≠1），若对任意.存在使得恒成立，则实数的取值范围为 . 14．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设，若函数的值域为，则的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足． (1)求函数，的解析式； (2)若在区间上的最大值为，求实数的值． 16. (15分) （24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，，求函数的值域. 17. (15分) （24-25高一上·山东淄博·期中）已知函数，， (1)当时，解关于的不等式：； (2)当时，求函数的单调区间及值域． 18. (17分) （24-25高一上·江苏南通·期中）定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 19. (17分) （24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$