3.3幂函数与3.4函数的应用（一）-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

3.3幂函数与3.4函数的应用（一）（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 7 【提升训练】 10 知识回顾 1. 幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2. 幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减 公共点 都经过点(1，1) 3. 常见函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数 y＝ 幂函数型 y＝axn＋b(n≠1，a≠0) 4. 解决函数实际应用问题的基本步骤 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·山东日照·开学考试）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 6．（22-23高三上·浙江·开学考试）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价. 高峰时间段用电价格表： 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷时间段用电价格表： 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（    ）元 A． B． C． D． 7．（21-22高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 8．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数，则以下结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．是减函数 C．的值域为 D．是偶函数 10．（22-23高一下·湖南·开学考试）若幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一·全国·专题练习）（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·上海·期中）幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合 . 13．（2023·海南·模拟预测）已知函数（），写出一个同时满足下列性质①②的的值： . ①当时，；②在上单调递减. 14．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）设函数，则函数与的图象的交点个数是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若当，时，有，求实数的取值范围． 16. (15分) （23-24高一上·吉林长春·期中）已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求出幂函数及的解析式； (2)在同一坐标系中画出及的图象； (3)观察（2）中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由） 17. (15分) （23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ (2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本） 18. (17分) （24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知幂函数的图象经过点. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 19. (17分) （2022·海南·模拟预测）某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江西景德镇·期中）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 2．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·浙江温州·期中）若幂函数的图象经过点，则幂函数具有的函数性质有（   ） A．的定义域为 B．的图象过点 C．在定义域上单调递减 D．是奇函数 10．（24-25高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 11．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，若对于任意的两个不相等实数都有，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 13．（22-23高一上·四川内江·期中）已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于 ． 14．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东清远·期中）幂函数的定义域是全体实数. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·北京通州·期中）已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数，判断的奇偶性. 17. (15分) （23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 18. (17分) （24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·福建·期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列函数中既是偶函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数，若实数m，n满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 7．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京·期中）奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（   ） A．3 B．7 C．10 D．14 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）说法正确的是（    ） A．已知，则的定义域为 B．若幂函数在区间上是减函数，则 C．函数的值域为 D．已知函数满足，则 10．（22-23高一上·河南南阳·期中）若满足对任意的实数a，b都有，且，则下列判断正确的有（    ）． A．是奇函数 B．在定义域上单调递减 C．当时，函数 D． 11．（24-25高一上·广东清远·期中）下列与函数有关的命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若幂函数的图象经过点，则 C．若奇函数在有最小值，则在有最大值 D．若偶函数在是减函数，则在是增函数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是 . 13．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 . 14．（2024高一·全国·专题练习）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·湖北·期中）已知函数，其中 (1)用定义证明：函数，在上单调递增 (2)若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围 (3)已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 16. (15分) （24-25高一上·福建厦门·期中）已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)根据图象写出的单调区间. 17. (15分) （24-25高一上·贵州毕节·期中）为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. (1)求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） (2)求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 19. (17分) （24-25高三上·上海·阶段练习）对于函数，定义域，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．已知． (1)如果对成立．求证：为周期函数； (2)若为“的倒数点”，且只有两个不同的解，求函数的值； (3)设，若函数恰有3个“的1倒数点”，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3幂函数与3.4函数的应用（一）（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 14 【提升训练】 25 知识回顾 1. 幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2. 幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减 公共点 都经过点(1，1) 3. 常见函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数 y＝ 幂函数型 y＝axn＋b(n≠1，a≠0) 4. 解决函数实际应用问题的基本步骤 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·山东日照·开学考试）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 6．（22-23高三上·浙江·开学考试）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价. 高峰时间段用电价格表： 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷时间段用电价格表： 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（    ）元 A． B． C． D． 7．（21-22高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 8．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数，则以下结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．是减函数 C．的值域为 D．是偶函数 10．（22-23高一下·湖南·开学考试）若幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一·全国·专题练习）（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·上海·期中）幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合 . 13．（2023·海南·模拟预测）已知函数（），写出一个同时满足下列性质①②的的值： . ①当时，；②在上单调递减. 14．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）设函数，则函数与的图象的交点个数是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若当，时，有，求实数的取值范围． 16. (15分) （23-24高一上·吉林长春·期中）已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求出幂函数及的解析式； (2)在同一坐标系中画出及的图象； (3)观察（2）中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由） 17. (15分) （23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ (2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本） 18. (17分) （24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知幂函数的图象经过点. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 19. (17分) （2022·海南·模拟预测）某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C D D B AC CD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】根据幂函数的定义及常用函数的单调性计算即可. 【详解】因为形如的函数为幂函数，显然A、C不符合定义，B、D符合幂函数定义； 又在上单调递减，在上单调递增，故D正确， 在上单调递增，在上单调递减，即C错误. 故选：D 2．A 【分析】根据幂函数定义得到方程，解出，最后验证即可. 【详解】由题意得，，解得或． 当时，，满足题意； 当时，，其图象关于原点中心对称，不满足题意． 故选：A． 3．C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 4．C 【分析】根据幂函数单调性分别判断各选项. 【详解】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误； B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误； C选项：，， 又函数在上单调递增，所以，即，C选项正确； D选项：，函数在上单调递增， 则，即，D选项错误； 故选：C. 5．C 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 6．D 【分析】根据表中数据分段求解电费即可. 【详解】高峰时段电费为元， 低谷时段电费为元， 共计元. 故选：D 7．D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 8．B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 9．AC 【分析】由幂函数的性质，判断的定义域值域单调性和奇偶性. 【详解】幂函数，函数定义域为，A选项正确； 由幂函数的性质可知，在上单调递增，值域为， B选项错误，C选项正确； 函数定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误. 故选：AC. 10．CD 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，解之即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，，解得， 故，所以，. 故选：CD. 11．AC 【分析】结合函数图象分析得进水速度是出水速度的，从而分段分析第3个图形的进水与出水情况，从而得解. 【详解】由①②两图知，进水速度是出水速度的， 所以由图③可知，0点到3点不出水，A正确； 3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确； 4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误. 故选：AC. 12． 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 综上当幂函数的值域与定义域相同时，则集合. 故答案为：. 13．（负奇数均可） 【分析】根据幂函数的性质即可判定函数. 【详解】由①：当时，，则为奇数，由②：在上单调递减，则，所以可以取任意负奇数，不妨取. 故答案为：（负奇数均可） 14．4 【分析】分和两种情形，令，解出方程即可得结果. 【详解】当时，，解得或， 当时，，解得或， 综上所述函数与的图象的交点的个数是4. 故答案为：4. 15．(1)；定义域为 (2) 【分析】（1）由题意，代入点计算即得函数解析式，化成根式易求得函数定义域； （2）根据幂函数在上的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由幂函数经过点可得，，可得，解得，故． 由可得，所以函数的定义域为． （2）由（1）可知，幂函数的定义域为，且在定义域上为减函数， 由，得可得． 即实数的取值范围为. 16．(1)； (2)答案见解析； (3)或． 【分析】（1）由幂函数所过的点求幂函数解析式； （2）画出幂函数图象； （3）数形结合求不等式解集. 【详解】（1）设，由题设解得， 所以； （2）图象如图所示 （3）由图象知：当时，或． 17．(1) (2) (3)元 【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为元列出求解； （2）根据题意求分段函数解析式； （3）根据利润公式及分段函数入代求解即可. 【详解】（1）解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个， 则. （2）当时，； 当时，； 当时，. （3）设工厂获得的利润为元，则， 即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元. 18．(1)5 (2) 【分析】（1）根据幂函数的知识求得，进而求得. （2）根据幂函数的定义域和单调性求得正确答案. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，所以. （2）由，知，且在上单调递增， 故有，得，得. 19．(1)第8个月的月利润最大，为7万元 (2)第6，7，8，9，10月. 【分析】（1）对分段函数进行分段考虑，运用换元法和配方法分别求出的最大值，最后综合比较即得； （2）根据（1）的结果判断超过3万元的月份只可能在后面的7个月中，通过解不等式求得，取整即得. 【详解】（1）当时，令，则，且， 则， 因，故时，即时，取得最大值3；            当时， 因，故时，取得最大值7. 综上，第8个月的月利润最大，为7万元. （2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里， 即，由可得，， 解得. 又，所以， 故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江西景德镇·期中）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 2．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·浙江温州·期中）若幂函数的图象经过点，则幂函数具有的函数性质有（   ） A．的定义域为 B．的图象过点 C．在定义域上单调递减 D．是奇函数 10．（24-25高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 11．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，若对于任意的两个不相等实数都有，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 13．（22-23高一上·四川内江·期中）已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于 ． 14．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东清远·期中）幂函数的定义域是全体实数. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·北京通州·期中）已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数，判断的奇偶性. 17. (15分) （23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 18. (17分) （24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·福建·期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B D A B A BD AC 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】根据幂函数定义和性质可解. 【详解】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 则，即，解得. 故选：A. 2．A 【分析】由在上单调递增可得，由在上单调递增可得即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，即， 因为， 又因为在上单调递增，所以，， 所以. 故选：A. 3．D 【分析】由已知可得分段函数的解析式，结合函数的单调性即可求解. 【详解】由已知函数的定义域为， 且， 当时，函数先减后增，排除，， 当时，因为和是减函数， 所以函数是减函数，所以排除. 故选：. 4．B 【分析】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解 【详解】设灯具商店每月的利润为z元， 则， ， 故选：B 5．D 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 6．A 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的递减区间. 【详解】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 且内层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的递减区间为. 故选：A. 7．B 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 当时，单调递增，当时，也需要单调递增， 所以，解得，故B正确. 故选：B. 8．A 【分析】需满足四个条件：（1）自变量的取值范围是；（2）函数值域为的子集；（3）该函数在上恒有；（4）该函数在上为增函数.逐一对照分析即可求解. 【详解】函数的对称轴为， 所以，超出了范围，不符合题意； ，时，， 且在上单调递增， ，即，符合题意； 函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意； 函数为增函数，且时，， ，则，即，符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 故选：. 9．BD 【分析】代入可得，即可根据幂函数的性质，结合选项逐一求解. 【详解】将代入可得，故， 故，定义域为，故A错误， ，故B正确， 在，单调递增，但在整个定义域上不单调，故C错误， 故为奇函数，故D正确， 故选：BD 10．AC 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 11．ABC 【分析】通过分段函数的单调性确定的范围，即可求解. 【详解】由题意可知在其定义域上单调递增， 所以需满足：解得：， 结合选项可知ABC正确，D错误. 故选：ABC 12． 0 【分析】由题意，设，结合的图象过点求出，进而可得，再根据单调性求解最值. 【详解】设，是常数，则， 解得，则， 所以，在区间上单调递增， 所以函数的最小值是，最大值是. 故答案为：0；. 13．4044 【分析】由函数则函数关于点对称，知函数关于点对称，又也关于点对称，关于点对称性即可求出纵坐标之和. 【详解】函数满足知， 函数关于点对称， 又也关于点对称 故函数与图像的交点也关于点对称 所以成对出现，且关于点对称 所以 故答案为：4044. 14． 【分析】对于函数要满足系数为。再根据幂函数的单调性与指数的关系来确定的值。 【详解】因为幂函数的系数为，所以，解得或。 当时，，此函数在定义域上单调递增。 当时，，此函数在和上单调递减。 此时定义域内不是单调函数.所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为1，故； （2）在区间上恒成立，当时，恒成立，当时，参变分离，得到在恒成立，由基本不等式求出，从而得到，得到答案. 【详解】（1）由题意得， 解得或，当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去； 当时，，满足题意； （2）在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 当时，恒成立，满足要求， 当时，变形为在恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 实数k的取值范围是. 16．(1) (2) (3)为奇函数. 【分析】（1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得. （2）根据函数的单调性来求得最大值. （3）根据函数的奇偶性的定义进行判断. 【详解】（1）设幂函数，因为的图象过点， 所以，得.所以.所以. （2）因为， 所以在区间上单调递增. 所以在区间上的最大值为. （3）因为函数， 所以. 因为的定义域为， 所以. 所以为奇函数. 17．(1)第3年 (2)第7年平均利润最大，为12万元 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，万元时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 18．(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的概念及奇函数即可求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，即， 所以，解得或. 当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意； 当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意. 故. （2）由（1）可知，所以不等式，即不等式， 因为为增函数， 所以，即， 所以，解得或，即的取值范围是. 19．(1). (2)当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方、基本不等式求最值，比较大小即可得解. 【详解】（1）当时，. 当时，. 所以. （2）当时 ，当时，万元. 当时万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列函数中既是偶函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数，若实数m，n满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 7．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京·期中）奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（   ） A．3 B．7 C．10 D．14 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）说法正确的是（    ） A．已知，则的定义域为 B．若幂函数在区间上是减函数，则 C．函数的值域为 D．已知函数满足，则 10．（22-23高一上·河南南阳·期中）若满足对任意的实数a，b都有，且，则下列判断正确的有（    ）． A．是奇函数 B．在定义域上单调递减 C．当时，函数 D． 11．（24-25高一上·广东清远·期中）下列与函数有关的命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若幂函数的图象经过点，则 C．若奇函数在有最小值，则在有最大值 D．若偶函数在是减函数，则在是增函数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是 . 13．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 . 14．（2024高一·全国·专题练习）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·湖北·期中）已知函数，其中 (1)用定义证明：函数，在上单调递增 (2)若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围 (3)已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 16. (15分) （24-25高一上·福建厦门·期中）已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)根据图象写出的单调区间. 17. (15分) （24-25高一上·贵州毕节·期中）为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. (1)求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） (2)求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 19. (17分) （24-25高三上·上海·阶段练习）对于函数，定义域，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．已知． (1)如果对成立．求证：为周期函数； (2)若为“的倒数点”，且只有两个不同的解，求函数的值； (3)设，若函数恰有3个“的1倒数点”，求的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A D B B B BCD CD 题号 11 答案 CD 1．C 【分析】根据奇偶函数和单调函数的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：幂函数为奇函数，且在上单调递增，故A不符合题意； B：设，则，所以该函数为偶函数， 由，知该函数在上单调递增，故B不符合题意； C：设，则，所以该函数为偶函数， 该二次函数图象为开口向下的抛物线，对称轴为y轴，所以在上单调递减，故C符合题意； D：一次函数的图象不关于y轴对称，也不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，且在上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 2．D 【分析】根据已知有，进而可得、，利用对称性求目标式的值. 【详解】由题可知：，则， 所以，且， 则 . 故选：D 3．B 【分析】构造，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得的性质，从而得到，再利用配凑法与基本不等式即可得解. 【详解】令，则的定义域为，， 又，所以为奇函数， 又，都在上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以， 所以，则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 4．A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用配方法可求得函数的值域. 【详解】因为函数为幂函数，设，其中为常数， 则，可得，则， 所以，，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：A. 5．D 【分析】根据题意设，代入求解，然后计算出的体重，确定选项. 【详解】根据题意设， 当，,则， 当，则，所以 故选：D 6．B 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为偶函数， 又因为，所以在区间上单调递减， 故选：B. 7．B 【分析】将方程的根看为两个函数定区间内交点的问题，分别由反比例函数与二次函数的单调性计算即可. 【详解】关于的方程在上有实数解， 即函数在上有交点， 因为，所以在上单调递增， 易知在上单调递减， 所以要满足题意需，即， 解之得. 故选：B 【点睛】思路点睛：将方程有解看为两函数有交点，利用单调性列不等式组计算即可. 8．B 【分析】令，得到，从而求出对应的解，，同理可得有4个解，，得到答案. 【详解】结合函数图象可知中，令，则，故， 结合图象可知，的根为0，有2个根，无解； 故有3个解，故； 中，令，则有2个根，不妨设， 当，即，此时有2个解， 当，即，此时有2个解， 故有4个解，即， 综上，. 故选：B 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 9．BCD 【分析】根据分式满足的关系即可求解A，利用幂函数的定义可得，或，即可根据单调性求解B，根据函数的单调性即可求解C，根据利用方程组的思想即可求解D. 【详解】对于A：因为，所以，又因为在中，，所以， 所以，所以的定义域为且，故A选项错误； 对于B：函数是幂函数， 所以，即，解得，或， 当时，在上单调递减，符合题意， 当时，，不符合题意，B选项正确； 对于C，由，可得函数的定义域为， 又函数均在上单调递增，故在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，因为①，所以②， ②－①得，解得，故D正确． 故选：BCD 10．CD 【分析】利用新定义函数的性质进行判断，计算出判断A；根据函数单调性的定义判断出；先利用证明对所有的有理数，都有，然后用无理数都可以看作一个有理数的极限，由极限的性质得出，这样就可判断；根据定义计算，然后求出选项的和即可. 【详解】对于选项A，令，则，即， 所以，所以函数不可能是奇函数，故A错误； 对于选项，对于任意的，，若存在，使得， 则，与矛盾，故对于任意的，，所以任意的，， 因为，所以对于任意的正整数，，所以， 同理， 对任意正有理数，显然有（是互质的正整数）， 则， 对任意正无理数，可看作是某个有理数的极限， 而，所以是的极限，所以， 综上，对所有的正实数，都有，故正确； 对于选项，设，则，由对选项的分析可知：当时，则有，故，所以函数是增函数，故错误； 对于选项，由已知可知，所以，所以， 故正确， 故选：. 11．CD 【分析】利用换元法和待定系数法分别求得AB选项函数解析式，进而可得函数值，再根据函数奇偶性可判断CD选项. 【详解】A选项：，设， 则，， 即，，A选项错误； B选项：设幂函数，过点，则， 解得，所以，则，B选项错误； C选项：由已知为奇函数，则， 在有最小值，即，， 则时，，即， 即在有最大值，C选项正确； D选项：由已知为偶函数， 又在是减函数，设，，， 则，，，故， 故 即在是增函数，D选项正确； 故选：CD. 12． 【分析】先由已知条件求出幂函数的解析式，再由幂函数的单调性解不等式即可 【详解】设，则，解得， ， 因为在和上单调递减，， 或或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．4 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合偶函数的定义可得，代入即可得的值． 【详解】解：由题意得：，解得：或， 时，是奇函数，不符合题意， 时，是偶函数，符合题意， 故，， 故答案为： 14．②③④ 【分析】对于①，表达出，根据单调性得到取得最大值时每月产量为台或台；对于②，计算出，②正确；对于③，计算出，；对于④，根据为减函数，得到④正确. 【详解】对于①，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，①错； 对于②， ，②对； 对于③，， 因为函数为减函数，则，③对； 对于④选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，④对. 故答案为：②③④. 15．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用单调性的定义可证明； （2）作出示意图，数形结合可求得的取值范围； （3）作出示意图，数形结合可求得的取值范围； 【详解】（1），，且， ， ，， 故， 即， 在上单调增． （2）如图：只要即可， 的取值范围为；    （3）当时， 要使函数的图象与的图象有且只有一个交点， 也就是方程有一个解，如图可知，    只要， 即， 的取值范围为 16．(1) (2)作图见解析 (3)单调减区间为，，单调增区间为， 【分析】（1）根据幂函数的性质可得，求出的取值范围，再根据是整数，求出的值，再代入即可； （2）由（1）可得，即可画出函数图象； （3）结合（2）中函数图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）由题意可知，，即， 因为是整数，所以，或， 当时，，当时，， 综上可知，的解析式为. （2）由（1）知，则， 函数的图象如图所示， （3）由（2）可知，的单调减区间为，，单调增区间为，. 17．(1) (2)年产量为万件时，年利润取得最大值万元 【分析】(1)根据年利润年销售额固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可； (2)当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，最后综合即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，， 此时，； 当时，， 当且仅当，即时，取得等号． 因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值万元． 18．(1)4 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据所给函数的性质，赋值即可得解； （1）（ⅰ）由题意由为奇函数即可得解； （ⅱ）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，再由 的对称性转化为，分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可. 【详解】（1）因为定义在上函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， ∴，得， 则令，得. （2）（ⅰ）因为函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， 所以 为奇函数， 所以，解得. （ⅱ）先证明在上单调递增， 设任意的，且， 则 ， 由可知，，， 所以，即在上单调递增； ∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 对任意，总存在，使得成立知， 由的图象关于点对称，所以只需 ①当时，在上单调递增，由对称性知， 在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， 即，， ∴满足题意； ③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减， ∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 19．(1)证明见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）根据已知结合周期公式判断即可； （2）先应用为“的倒数点”，得，再结合导函数正负得出函数单调性最后计算求参； （3）先由函数恰有3个“的倒数点”，按四种情况分类讨论得出参数. 【详解】（1）对成立，得， 所以2为函数的周期． （2）由为“关于倒数点”，得， 即， 即，得， 设的定义域为R， 求导得， 当时，严格递增； 时，严格递减； 时，严格递增， 所以的单调递增区间为，递减区间为 所以的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 作出函数的大致图象如下， 只有两个不同的解转化为与有两个交点， 所以. （3）依题意，， 由恰有个“的倒数点”，得方程恰有个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内严格递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：关键点是按分类讨论结合新定义计算得出参数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$