3.2函数的基本性质-2024-2025学年高一数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

3.2函数的基本性质（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 15 【提升训练】 29 知识回顾 1.函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 ②当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数；当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数. (2)函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 3. 奇函数、偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 4. 函数的奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 温馨提醒　(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数. (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 5. 函数奇偶性与单调性的关系 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. (3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. (4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 6. 抽象函数的奇偶性 设函数y＝f(x)与y＝g(x)是奇函数，且它们公共定义域为D.则h(x)是奇函数，M(x)是偶函数. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，在它们公共定义域上，y＝f(x)·g(x)是奇函数，函数y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]都是偶函数. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 2．（2024高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖北荆州·期中）定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·陕西汉中·期中）如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D． 10．（23-24高一·江苏·假期作业）下列函数在区间上是减函数的是（　　） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， . 13．（2024高三·全国·专题练习）若是上单调递减的一次函数，且，则 . 14．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由. 16. (15分) （2023高二·湖南衡阳·学业考试）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·山西太原·期中）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)根据定义证明：在上单调递增. 18. (17分) （24-25高一上·湖南·期中）设函数. (1)若，且，求m的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且． (1)求； (2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A D C A B BC AD 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 2．C 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数， A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，， 所以函数是偶函数，B选项错误. C选项，， 所以函数是奇函数，C选项正确. D选项，， 所以函数是非奇非偶函数，D选项错误. 故选：C 3．C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】函数的图象对称轴为， 由函数在区间上是单调函数，得或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 4．A 【分析】首先根据奇函数的性质得到，从而得到，再计算即可. 【详解】是定义域为的奇函数，， 当时，， 所以， 所以当时，，. 故选：A 5．D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 6．C 【分析】根据题意得到在上单调递减，且为偶函数，故在上单调递增，分和，结合函数单调性求出解集. 【详解】因为对任意的（），都有， 所以在上单调递减， 因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数， 所以在上单调递增， 因为，所以， 当时，，令得，即， 所以，所以， 当时，，令得，即， 所以，所以， 综上，的解集为. 故选：C 7．A 【分析】根据函数的单调性求解． 【详解】由已知时是减函数，，此时， 时，是增函数，且， 所以， 故选：A． 8．B 【分析】先判断出的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解. 【详解】解：由题意知：的定义域为，关于原点对称， 当时，，， 则， 当，， 当时，，， 则， 故为偶函数， 又 为上的减函数， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，即，解得：. 故选：B. 9．BC 【分析】根据对称轴和函数单调性得到，得到答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 函数在区间上是减函数，故， 故AD错误，BC正确. 故选：BC 10．AD 【分析】利用基本函数的单调性依次判定即可. 【详解】对于选项A，为开口向下的二次函数且在区间上是减函数； 对于选项B，在区间上是增函数； 对于选项C，在上是增函数； 对于选项D，在区间上是减函数． 故选：AD. 11．ABC 【分析】分析出的单调性与奇偶性，进而根据单调性和奇偶性解不等式得到，分与两种情况，参变分离后，结合基本不等式得到，从而判断ABC正确，D错误. 【详解】由题意得为偶函数，且在上，单调递减， 故在上单调递增， 因为，故， 所以， 当时，恒成立，满足要求， 当时，在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 综上，a的取值范围为 A选项，由于，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，显然不是的子集，D错误. 故选：ABC 12． 【分析】 利用奇函数的性质可求时的解析式. 【详解】 当时，， 因为函数是定义在上的奇函数， 故. 故答案为：. 13． 【分析】利用待定系数法设出，求出，再根据恒等式可求出结果. 【详解】因为是上单调递减的一次函数，所以可设， 所以， 又因为，所以恒成立， 所以，因为，所以，. 所以. 故答案为： 14． 【分析】根据绝对值函数的单调性的性质进行求解即可． 【详解】的单调递增区间,， 由得， 若在,为增函数，则，解得， 故答案为：，． 15．(1)单调递增；证明见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】(1)利用定义法证明函数在上单调性步骤，取点，作差，判号，下结论； (2)由(1)可知在上单调递增，且，所以，然后整理判断即可. 【详解】（1）判断：在上单调递增. 证明：，且，有， 因为，所以，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增； （2）判断：命题“，”真命题. 因为根据题意可知，，且， 由(1)可知在上的单调递增，所以，即. 所以命题“，”是真命题. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得，也即求得. （2）由分离常数，进而求得的取值范围. 【详解】（1）由为二次函数，可设 ∵图象的对称轴为，最小值为-1，且， ∴，∴， ∴． （2）∵，即在上恒成立， 又∵当时，有最小值0， ∴， ∴实数m的取值范围为． 18．(1)是上的奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明定义域关于原点对称，再证明，从而可证明是上的奇函数； （2）利用单调性的定义来证明即可. 【详解】（1）是上的奇函数. 证明：由题意得的定义域为，，都有， ，是上的奇函数. （2）证明：，，且， 则， ，，，，， ，，在上单调递增. 19．(1) (2)在区间上单调递减，证明见解析 (3). 【分析】（1）根据函数值列方程，求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用换元法化简不等式，再分离参数，转化为最值问题，求最值即可. 【详解】（1）∵，∴，∴，又，则. （2）在区间上单调递减. 证明：，且，则， 化简得， 由，得，∴，， ∴，于是，即. ∴在区间上单调递减. （3）设，由知，， 将其代入，得， 化简得恒成立， 设，则在上恒成立. 即. ∵与在上单调递增，∴在上单调递增， ∴，∴， ∴实数a的取值范围是. 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，求解即可； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）∵，   ∴，   ∴. （2）由于， 证明：，且， 则 ， ∵，    ∴， ∴，即， 故在上单调递增. （3）∵在上单调递增，所以， ∴， ， ∴. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·海南海口·期中）函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北唐山·期中）函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 5．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①② 8．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下面命题正确的是（   ） A．已知，则“”是“”的充分不必要条件 B．命题“若，使得”的否定是“” C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 10．（23-24高二下·浙江温州·期中）定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 11．（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若函数在上单调，则实数的取值范围为 ． 13．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数是定义域为，图象恒过点，对于上任意，都有，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·新疆·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·山西阳泉·期中）已知函数， (1)若时，求的解集； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求在上的最大值. 17. (15分) （24-25高一上·福建福州·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (3)对于函数，，若，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数. (1)若，求函数的最值； (2)若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围； (3)若对于，，使得成立，求实数m的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)解不等式：. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C C B B ACD ABC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据题意得到在上单调递减，分段函数在上单调递减，需每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，，都有成立， 所以在上单调递减， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 2．D 【分析】由二次函数的对称轴与区间的关系即可判断. 【详解】的对称轴为：， 由题意可得，解得. 故选：D 3．A 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 4．B 【分析】根据题意，可得，又，令，得解. 【详解】因为函数是R上的奇函数，所以， 又函数是偶函数，则，令， . 故选：B. 5．C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 6．C 【分析】变形给定的不等式，构造函数并确定单调性，再利用单调性求解不等式. 【详解】由，得，令， 则，因此函数在上单调递增，由，得， 由，得，即， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：C 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用函数单调性定义判断单调性是解题的关键. 7．B 【分析】根据所给定义计算出，，即可判断①②，分段分别化简函数解析式，再确定相应的函数值的取值范围，画出函数图象（部分），即可判断③④. 【详解】因为， 所以，，所以，故①正确； 因为，所以在上不可能单调递增，故②错误； 当时，所以， 当时，所以，所以，所以； 当时，所以，所以，所以； 当时，所以，所以，所以； ，所以当时； 所以的图象（部分）如下所示： 由图可知有最小值且最小值为，无最大值，故③、④正确. 故选：B 8．B 【分析】由题意先明确函数在上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分、和三种情况分析即可求解. 【详解】由题意可知，且在上单调递增，在上单调递减，如图： 当时，，故，此时； 当时，满足； 当时，，， 此时，则，所以， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 9．ACD 【分析】A选项，解不等式，得到或，根据真子集关系得到A正确；B选项，特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；C选项，根据函数特征得到不等式，求出定义域；D选项，分离常数，根据函数单调性得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】A选项，，解得或，显然是或的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件，A正确； B选项，“若，使得”的否定是“”，B错误； C选项，函数的定义域为，故，且， 解得，故的定义域为，C正确； D选项，函数， 由于在上单调递增，故，解得， 则a的取值范围是，D正确. 故选：ACD 10．ABC 【分析】根据题意，一步步转化到时，， 则，作函数的图象，结合图象可求出的最大值. 【详解】由题意可知，如图所示 当时，， 即； 当时，， 故； 当时，， 故； 令， 解得或， 所以或， 所以的最大值为. 即. 故选：ABC.    11．BC 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 12．或 【分析】运用二次函数的单调性知识，结合对称轴可解. 【详解】函数的对称轴为， 故当或时，函数在上单调， 即或， 故答案为:或. 13． 【分析】构造函数，利用的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】设，定义域为， 则，故是奇函数． 不等式等价于不等式， 即不等式． 因为是奇函数，所以． 因为均是上的减函数，所以是上的减函数， 则，即，解得． 则的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】构造函数，利用的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为，所以， 即，即在上单调递增. 又，所以. 由，即. 所以. 故答案为： 15．(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1），. （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增. （3）由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，再解一元二次不等式即可； （2）求出函数的对称轴，即可得到，解得即可； （3）分、两种情况讨论，分别求出函数的最大值. 【详解】（1）当时，， ，即，即， 解得，所以不等式的解集为； （2）的对称轴是， 又在上单调递减， ，解得，即的取值范围为； （3）因为的对称轴为， 当，即时，， 当，即时， . 17．(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）定义法判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用函数单调性解不等式. 【详解】（1）函数，定义域为R， ，所以为奇函数. （2）证明：根据题意，任取， 则， 因为，则，，， 则，即， 故在上单调递减． （3）由（1）得，在上单调递减， 若，， 解得，即所求范围是． 18．(1)最小值为，最大值为3 (2) (3) 【分析】（1）结合题意可得函数的单调性，进而求解最值； （2）转化问题为不等式对于恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可； （3）转化问题为，由（1）可得函数，时的最大值，进而结合二次函数的开口方向和对称轴讨论求解即可. 【详解】（1）由题意，函数在上单调递减，在区间上单调递增， 且，，， 所以函数的最小值为，最大值为3. （2）由题意，关于x的不等式的解集为， 即不等式对于恒成立， 当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. （3）由题意，对于，，使得成立， 则. 对于函数，，由（1）知，. 对于函数，， 若，，则，而，不符合题意. 若，当，即，所以当时，恒成立， 所以， 则，即，不符合题意； 若，当，即时，， 则，即，所以； 当，即时，， 则，即，所以此种情况不合题意； 当时，， 所以； 综上所述，实数m的取值范围为. 19．(1)增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明函数在(0,+∞)为增函数； （2）先证明函数为奇函数，再由奇函数性质及函数单调性求解即可. 【详解】（1）函数在上的单调递增,证明如下： 设任意且， 则， 因为且， 所以，， 所以，即， 所以函数在上的单调递增. （2）由知定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数， 由可得， 因为，， 所以，解得， 即不等式的解集为. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，若在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·天津南开·期中）已知函数 . 记，则 的最大值与 的最小值的差为 （    ） A．-4 B．4 C． D． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 8．（2023·全国·三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·浙江·期中）下列结论错误的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．在上单调递增 C．在定义域内单调递减 D．若在R上单调递增，则a的取值范围为 10．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 11．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为 . 14．（24-25高一上·北京·期中）已知奇函数定义域为R，当时， ，则 ；若，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域； (3)求解关于的不等式. 16. (15分) （23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·江苏无锡·期中）给定函数. (1)当，时，求证：在区间上单调递增； (2)已知在区间上的最大值为，求的最小值； (3)若在上恒成立且，求证：. 18. (17分) （24-25高一上·重庆·期中）定义在上的函数满足：如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凹函数；如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凸函数，如果函数在定义域上为凹函数或凸函数，则称函数具有凹凸性． (1)判断函数和的凹凸性并用上述定义证明； (2)若函数为定义在上的凹函数，求的取值范围； (3)若是定义在上的凹函数，单调递增，恒正；是定义在上的凸函数，单调递减，恒正，判断函数在上的凹凸性并证明． 19. (17分) （24-25高一上·云南临沧·阶段练习）若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D B B D ACD ABC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】首先根据奇函数的性质，求的解析式，根据二次函数的对称轴列式，即可求解. 【详解】设，，因为函数的奇函数，所以， 则， 若函数在上单调递减，所以，得. 故选：A 2．D 【分析】根据二次函数的单调性和对称轴的关系可得，再将对任意的，都有恒成立问题，转化为只要，即可求得的范围. 【详解】因为函数对称轴为， 函数在上单调递减，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，， 即,则， 若对任意的，都有， 则只要 即可，即 ，解得：， 又因为，则 . 故选：D. 3．D 【分析】结合函数的对称性及单调性即可比较大小 【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 即； 故选：D 4．C 【分析】令，由已知不等式和等式可求得的奇偶性和单调性，将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果. 【详解】不妨令，则由得：， 令，则在上单调递增； ，， 为定义在上的奇函数，在上单调递增； 由得：，即， ，解得：，即不等式的解集为. 故选：C. 5．D 【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解. 【详解】，， ，， 设，则，则函数等价为， 由对勾函数的单调性可得， 时，单调递减， 时，单调递增， 当时，函数取得最小值，， 当时，，当时，， 设函数的值域为，则函数的值域； 由，在上是减函数， 则最大值为，最小值，， 设的值域为，则， 若对于任意，总存在，使得成立， 则等价为，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：根据对于任意，总存在，使得成立，得出的值域包含的值域，是解决本题的关键. 6．B 【分析】先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】由题意，， 故当或时，，当时，， 故当或时，， 当时，. 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，. 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为. 故选：B 7．B 【分析】设函数，讨论函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围 【详解】设， 则，所以函数为奇函数； 当时，在上单调递增. 所以函数函数在上为增函数. 所以. 所以. 所以，时能成立. 因为，所以或. 所以或. 故选：B 【点睛】方法点睛：解这种函数不等式的问题，不要急于代入函数解析式，转化成代数不等式，而是应该分析函数的性质，利用函数性质把函数不等式转化为代数不等式. 8．D 【分析】由已知可得当时，可得恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求的取值范围 【详解】 因为，函数在上的最小值为， 所以对，恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 当时，， 当时，可得恒成立. 当或时，不等式显然成立； 当时，， 因为，所以，，， 所以； 当时，， 因为，所以，，， 所以. 综上可得，实数b的取值范围是. 故选：D. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； (2)恒成立⇔. 9．ACD 【分析】由单调性的定义可得A错误；由二次函数的性质可得B正确；由单调函数的规定可得C错误；由分段函数的单调性结合二次函数和分式型函数的性质可得D错误； 【详解】对于A、不符合任意性，故A错误； 对于B、，在递增，故B正确； 对于C、在和递减，不能说在定义域内单调递减，故C错误； 对于D、由题意，得，解得，故D错误； 故选：ACD. 10．ABC 【分析】运用赋值法，结合奇偶函数得定义判断即可. 【详解】对于A选项，令，则，即，A正确； 对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确； 对于C选项，是奇函数，C正确； 对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确. 故选：ABC. 11．ABD 【分析】A选项，令得；B选项，任选，且，令，得，由时，得到，在定义域上单调递增；C选项，赋值得到，C错误；D选项，根据，得到，，变形得到， 结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，中，令得，， 解得，A正确； B选项，任选，且， 中，令，得， 因为当时，，又，所以， 故， 所以在定义域上单调递增，B正确； C选项，中，令得， 故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 中，令得， ， 由于在定义域上单调递增， 故，解得，D正确. 故选：ABD 12． 【分析】根据分段函数在R上单调递增列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13． 【分析】构造函数，根据单调性即可解出不等式. 【详解】不妨设，由条件可得， 即，令， 则，所以在上单调递增， 又因为，所以由得，所以. 故答案为：. 14． 【分析】第一空，由奇函数定义可得答案；第二空，由奇函数性质可判断单调性，即可得答案. 【详解】第一空，由奇函数定义，； 第二空，注意到在上单调递增， 又奇函数在对称区间上单调性相同，则在R上单调递增， 则，故. 故答案为：；. 15．(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2) (3)或. 【分析】（1）证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （2）由函数单调性求出最值，得到值域； （3）根据，及函数单调性，得到不等式，求出解集. 【详解】（1）在区间上单调递增，理由如下： 对于，，且， 则， 因为，，且，所以，， 于是，即，故在区间上单调递增； （2）由（1）可知在上单调递增， ，， 所以在上的值域为. （3）因为，，由（1）得在区间上单调递增， 故，即， 解得（舍去）或， 所以或. 所以不等式的解集为或. 16．(1)，； (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题可得图象过点结合可得，的值； （2）由单调性证明步骤可证得结论； （3）由题可得，后讨论k结合单调性可得，即可得范围. 【详解】（1）)因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得，.所以函数， 经检验，函数为奇函数，所以，； （2）在上单调递增. 证明如下：设 则， 其中，， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3）因为对任意的，总存在，使得，所以， 因为在上单调递增，所以， 当时，；所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，则， 所以，解得； 当时，函数在上单调递减，则， 所以，解得.， 综上所述，实数的取值范围为. 17．(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用单调性定义证明即可； （2）由，结合已知得，代入目标式并应用二次函数性质求最值； （3）根据已知得、，联立即可证结论. 【详解】（1）由题设，令，则， ，而， 所以，即，故在区间上单调递增，得证. （2）由，当且仅当，即时等号成立，此时， 所以，当时，取得最小值为. （3）由，得恒成立，则，即， 又，得. 综上，，整理得，则，所以. 18．(1)答案与证明见解析 (2) (3)凹函数；证明见解析 【分析】（1）根据凹函数和凸函数的定义判断，分别代入函数表达式进行证明不等式成立； （2）根据凹函数的定义转化为不等式恒成立问题，再分离参数，转化为最值范围问题求解可得； （3）根据定义设出，通过的凹凸性和单调性来分析的凹凸性，利用不等式，，使用放缩法证明可得. 【详解】（1）函数是定义在上的凸函数. 证明：设是区间内任意实数， ，； 由 ，当且仅当时等号成立. 且，， 得， 故函数是定义在上的凸函数. 函数是定义在上的凹函数. 证明：设任意两实数，函数是定义在上的凹函数. ， 由， 得，当且仅当时等号成立. 函数是定义在上的凹函数. （2）若函数为定义在上的凹函数， 则任意，恒成立， 即恒成立， 由 由（1）已证，则， ①当时，，不等式成立，. ②当时，， 则有恒成立. 因为 由，则， 当且仅当时等号成立，由， 可知， 要使对任意恒成立， 则. 综上所述，任意，要使恒成立，则. 故的取值范围为. （3）函数在上是凹函数. 要证明在上是凹函数， 只需证（当且仅当时等号成立）. 证明：设任意， ①当时，则，且. 由是定义在上的凹函数，则； 由是定义在上的凸函数，则， 由单调递增，且得，， 且 由单调递减，且得，， ； 因为 ， 且， 故只需要证明. ， 由，得， 即，又， 则. 故； ②当时，； ③当时，与①同理可证得. 综上所述，对任意的，都有（当且仅当时等号成立）. 故函数在上是凹函数. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于运算与放缩，利用与的凹凸性，利用，两个不等式将所证式子放缩变形后证明即可. 19．(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法，结合函数的奇偶性的定义进行证明. （2）利用函数单调性的定义，通过计算来进行证明. （3）根据函数的单调性、奇偶性等知识，结合对进行分类讨论来求得正确答案. 【详解】（1）函数为奇函数， 证明如下：令，可得，故， 令可得， 即. 又函数的定义域是，故函数为奇函数. （2）函数单调递减， 证明如下：任取，则， 故，即， 所以在上单调递减. （3）因为在上单调递减，且为奇函数， 则不等式， 可化为，即. 即，即， 当时，不等式为，解得， 则不等式的解集； 当时，不等式变形为0， 由于， 解得或， 故此时不等式的解集为； 当时，不等式变形为0， 由于， 解得， 故此时不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】方法点睛： 奇偶性判断：通过与的关系来判断奇偶性，这种方法适用于所有定义域对称的函数. 单调性判断：利用函数的定义域上任意两点的值，结合单调性定义证明函数的单调性. 不等式求解：将不等式转化为符合函数特性的形式，通过分类讨论（正、负及零）来求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2函数的基本性质（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 7 【提升训练】 10 知识回顾 1.函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 ②当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数；当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数. (2)函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 3. 奇函数、偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 4. 函数的奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 温馨提醒　(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数. (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 5. 函数奇偶性与单调性的关系 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. (3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. (4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 6. 抽象函数的奇偶性 设函数y＝f(x)与y＝g(x)是奇函数，且它们公共定义域为D.则h(x)是奇函数，M(x)是偶函数. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，在它们公共定义域上，y＝f(x)·g(x)是奇函数，函数y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]都是偶函数. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 2．（2024高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖北荆州·期中）定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·陕西汉中·期中）如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D． 10．（23-24高一·江苏·假期作业）下列函数在区间上是减函数的是（　　） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， . 13．（2024高三·全国·专题练习）若是上单调递减的一次函数，且，则 . 14．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由. 16. (15分) （2023高二·湖南衡阳·学业考试）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·山西太原·期中）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)根据定义证明：在上单调递增. 18. (17分) （24-25高一上·湖南·期中）设函数. (1)若，且，求m的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且． (1)求； (2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数的取值范围． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·海南海口·期中）函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北唐山·期中）函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 5．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①② 8．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下面命题正确的是（   ） A．已知，则“”是“”的充分不必要条件 B．命题“若，使得”的否定是“” C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 10．（23-24高二下·浙江温州·期中）定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 11．（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若函数在上单调，则实数的取值范围为 ． 13．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数是定义域为，图象恒过点，对于上任意，都有，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·新疆·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·山西阳泉·期中）已知函数， (1)若时，求的解集； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求在上的最大值. 17. (15分) （24-25高一上·福建福州·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (3)对于函数，，若，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数. (1)若，求函数的最值； (2)若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围； (3)若对于，，使得成立，求实数m的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)解不等式：. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，若在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·天津南开·期中）已知函数 . 记，则 的最大值与 的最小值的差为 （    ） A．-4 B．4 C． D． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 8．（2023·全国·三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·浙江·期中）下列结论错误的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．在上单调递增 C．在定义域内单调递减 D．若在R上单调递增，则a的取值范围为 10．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 11．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为 . 14．（24-25高一上·北京·期中）已知奇函数定义域为R，当时， ，则 ；若，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域； (3)求解关于的不等式. 16. (15分) （23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·江苏无锡·期中）给定函数. (1)当，时，求证：在区间上单调递增； (2)已知在区间上的最大值为，求的最小值； (3)若在上恒成立且，求证：. 18. (17分) （24-25高一上·重庆·期中）定义在上的函数满足：如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凹函数；如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凸函数，如果函数在定义域上为凹函数或凸函数，则称函数具有凹凸性． (1)判断函数和的凹凸性并用上述定义证明； (2)若函数为定义在上的凹函数，求的取值范围； (3)若是定义在上的凹函数，单调递增，恒正；是定义在上的凸函数，单调递减，恒正，判断函数在上的凹凸性并证明． 19. (17分) （24-25高一上·云南临沧·阶段练习）若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$