3.1函数的概念及其表示-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

3.1函数的概念及其表示（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 13 【提升训练】 25 知识回顾 1. 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围是集合A 值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A} 2. 区间的概念 设a，b∈R，且a<b，“区间”规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) 3. 函数的要素 (1)由函数的定义知， 一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.函数的值域由定义域与对应关系决定. (2)同一个函数 前提条件 定义域相同 对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 (3)常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 4. 函数的表示方法 函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 5. 分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．（2024高二下·福建·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期中）函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数，且，则等于（   ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 7．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）下列函数中值域为的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数，则（    ） A．最小值为1 B．最大值为2 C．无最小值 D．无最大值 11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列命题正确的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·辽宁营口·期末）为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 14．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）设为实数，函数． (1)求函数的定义域； (2)设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 17. (15分) （24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数，则 (1)求，，的值； (2)若，则的值是多少？ 18. (17分) （24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数，且． (1)写出函数的解析式； (2)求的值； (3)若，求实数的值． 19. (17分) （24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求a的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B B A B A AB AD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据函数的知识求得正确答案. 【详解】令，得，则. 故选：D 2．A 【分析】求已知函数解析式的函数的定义域，只需让函数解析式有意义即可. 【详解】由题意可得：，∴ 故选：A 3．D 【分析】先求得各选项函数的定义域再化简其解析式，进而由同一个函数的定义得到正确选项. 【详解】函数，其定义域为， 的定义域为，两函数定义域不同，A不符合； ，两函数解析式不同，B不符合； ，其定义域为，两函数定义域不同，C不符合； ，其定义域为，两函数是同一个函数，D符合. 故选：D. 4．B 【分析】利用换元法令，求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 5．B 【分析】先计算出的值，再计算出的值. 【详解】因为，所以， 故选：B. 6．A 【分析】根据分段函数的解析式可得，分类讨论建立对应的方程，解之即可求解. 【详解】因为，所以，故， 所以当时，，解得，舍去； 当时，，解得，满足题意； 综上：. 故选：A. 7．B 【分析】先分析函数的定义域，然后根据和时的正负可判断出大致图象. 【详解】因为中，所以，所以的定义域为，排除C； 当时，，排除A； 当时，，排除D； 故选：B. 8．A 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而为正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 9．AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A是； 对于B，函数定义域为R，值域为，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D不是. 故选：AB 10．AD 【分析】分段讨论后求解最值， 【详解】由题意得，函数最小值为1，无最大值， 故选：AD 11．ACD 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法求出的函数值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D. 【详解】A. 命题“，”的否定是“，”，选项A正确. B. 定义域为R，定义域为，定义域不同，不是同一函数，选项B错误. C.令，则， 函数可变形为，对称轴为直线，函数在上为增函数. 当时，，故函数的值域为，选项C正确. D.由函数的定义域为得，，故函数的定义域为，选项D正确. 故选：ACD. 12．4 【分析】根据的定义，函数的定义域和值域分析求解 【详解】因为函数，，的值域为， 所以最大取到3，最小取到， 所以的最大值为， 故答案为：4 13． 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 14． 【分析】根据函数的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减， 所以，此时单调递增， 则，整理得， 解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，从而求得函数的定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，必须，解得． 所以函数的定义域为． （2）要使函数有意义，必须解得或． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，必须解得或． 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，必须，解得． 所以函数的定义域为． 16．(1)； (2)，定义域为． 【分析】（1）根据函数特征得到不等式，求出定义域； （2）两边平方得，求出定义域，并得到函数解析式． 【详解】（1）由题意，得，解得，故定义域为； （2）将两边平方，得， 整理得，解得， 所以，所求，定义域为． 17．(1)，， (2)或 【分析】（1）根据函数的解析式求得正确答案. （2）根据函数解析式列方程，由此求得. 【详解】（1），， . （2）若， 则或， 解得或. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知的函数值求待定系数的值. （2）根据函数解析式求函数值. （3）分情况讨论求实数的值. 【详解】（1）由于，故，解得， 所以. （2）， . （3）当时，，解得，舍去. 当时，，解得或，其中不符合题意，舍去. 综上： 19．(1)，， (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）将自变量代入对应的解析式中求解即可； （2）根据分段函数的画法作出图象即可. （3）分别在、和的情况下，构造不等式求得结果. 【详解】（1）；； ，. （2）作出图象如下图所示：    （3）当时，，解得：，； 当时，，解得：，； 当时，，解得：，； 综上所述：实数的取值范围为. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·河南·阶段练习）如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 2．（24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 5．（24-25高一上·天津静海·期中）已知函数，则等于 （    ） A． B． C．3 D．6 6．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数图象如右图所示，则的图象是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）设函数，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·天津河西·期中）设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·重庆万州·期中）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）以下判断正确的是（   ） A．与是同一函数 B．函数的图象与轴的交点最多有个 C．与表示同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（    ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 13．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，则等于 ． 14．（23-24高一上·天津南开·期中）设函数，若，则实数的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·天津·期中）设函数的定义域为集合A，集合 (1)求集合A； (2)求的值； (3)若，求的取值范围． 16. (15分) （2023高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 17. (15分) （23-24高一上·云南·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求的值； (3)作出函数的图象． 18. (17分) （22-23高一上·重庆长寿·期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若函数恰有三个零点，求的取值范围. 19. (17分) （22-23高二下·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若的最大值为3，求的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B A D C B ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】结合函数关系图形即可得到答案. 【详解】由图可知，若，则或2. 故选：C. 2．B 【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数的定义域是， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．A 【分析】换元，令，，结合二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】由题意， 令，，则， 由一元二次函数的图象和性质可知上单调递增，在上单调递减， 所以，即函数的值域为， 故选：A 4．B 【分析】设，利用待定系数法法求解. 【详解】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B 5．A 【分析】根据分段函数的解析式直接带入求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A. 6．D 【分析】根据与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位即可求解. 【详解】将与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位得到，因此D符合， 故选：D 7．C 【分析】根据分段函数，分情况求解不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案. 【详解】当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，解得，则. 综上所述，由，解得， 当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，显然成立，则； 当时，由，可得，，解得或，则. 综上所述，，解得. 故选：C. 8．B 【分析】对进行分类讨论，根据分段函数的解析式列不等式来求得正确答案. 【详解】当时，，不符合题意. 当时，. 所以， 由解得. 故选：B 9．ABD 【分析】由同域函数的定义，讨论选项中函数的定义域和值域即可. 【详解】对于A，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，A选项正确； 对于B，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，B选项正确； 对于C，对于函数，其定义域为，当时，，所以不是同域函数，C选项错误； 对于D，因为，由得， 所以的定义域与值域均为，所以是同域函数，D选项正确. 故选：ABD. 10．ABD 【分析】利用函数相等的概念可判断AC选项；利用函数的概念可判断B选项；根据函数的定义域可得出满足的的不等式，可解出函数的定义域，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数与的定义域均为， 且两个函数的对应关系相同，这两个函数是同一函数，A对； 对于B选项，若函数在处有定义， 此时，函数的图象与轴的交点有个， 若函数在处没有定义，此时，函数的图象与轴无交点， 因此，函数的图象与轴的交点最多有个，B对； 对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故这两个函数不是同一函数，C错； 对于D选项，因为函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，D对. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】根据题意求出函数，再对选项逐个判断即可. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则， 对于A，，故A正确； 对于B，当或时，令，解得， 当时，令，解得，方程有三个解，故B正确； 对于C，当或时，令，解得或， 当时，令，解得或， 综上所述，当时，有，故C错误； 对于D，当或时，令，无最小值， 当时，， 综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 12．9 【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 13． 【分析】根据分段函数的性质代入计算函数值即可. 【详解】由题意，. 故答案为：. 14． 【分析】利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）由解析式列不等式组求解； （2）代入求值即可； （3）分为，两种情况讨论，列出不等式求解. 【详解】（1）由，解得， 则函数的定义域为集合. （2）. （3）当时，满足，此时，解得； 当时，若，则，解得， 综上，的取值范围是. 16．(1) (2)作图见解析，的值域为 【分析】（1）根据零点分段法去绝对值，由此将表示为分段函数的形式； （2）根据的解析式画出的图象，结合图象求得的值域. 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 所以. （2）解：得，由此画出的图象如下图所示：    由图象知，的值域为． 17．(1)， (2)或或 (3)答案见解析 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，画出函数图象即可； 【详解】（1）因为 所以，， ． （2）当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上所述，的值为或或． （3）函数的图象，如图所示：    18．(1) (2) 【分析】（1）分当时，当时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案； （2）得出分段函数的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案. 【详解】（1）当时，原不等式可化为①， （i）当时，①式化为， 解得，所以； （ii）当时，①式化为， 解得，所以. 综上，原不等式的解集为. （2）依题意，. 因为，且二次函数开口向上， 所以当时，函数有且仅有一个零点. 所以时，函数恰有两个零点. 所以解得 不妨设，所以是方程的两相异实根， 则，所以. 因为是方程的根，且， 由求根公式得. 因为函数 在上单调递增，所以， 所以. 所以的取值范围为. 19．(1)详见解析； (2) 【分析】（1）根据二次不等式的解法，分类讨论即得； （2）当时利用基本不等式可得函数的最大值，进而可得然后结合条件即得，当时根据二次函数的性质分类讨论可得函数的最值，然后结合条件检验即得. 【详解】（1）当时，，即． 当时，； 当时，不等式无解； 当时，若，，若，； 所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． （2）①当时，， 又，则，当且仅当取等号， 所以，即， 若时，当时，．此时， 所以不满足题意，舍去． ②当时，的对称轴为， 当时，，． 当时，在时增函数，，即（舍去）． 若．当时，，满足题意． 综上，时，的最大值为3． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·湖北孝感·期中）将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（    ） A． B．10 C． D．2 3．（22-23高一上·浙江丽水·期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数，，用表示，中较小者，记为.当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）对，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的真命题是（   ） A．， B．， C．函数（）的取值集合为 D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5 8．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合 ，已知，.用表示有限集合M所含元素的个数，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·江西新余·阶段练习）下列各结论中正确的是（   ） A．与表示同一函数 B．，则是集合到的一个函数 C．若函数的定义域是，则函数的定义域为 D．若函数的值域是，则函数的值域是 10．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．的定义域为 D．的定义域为 11．（22-23高一上·广东·期中）对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（    ） A． B． C．，若，则 D．不等式的解集为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·天津河东·期中）已知函数，则 . 13．（24-25高一上·天津滨海新·期中）设函数，若，则实数的取值范围是 . 14．（2024·天津·二模）已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 16. (15分) （24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为 (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 18. (17分) （23-24高一下·浙江·期末）已知函数，函数，其中 （1）若恒成立，求实数t的取值范围； （2）若， ①求使得成立的x的取值范围； ②求在区间上的最大值． 19. (17分) （23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若函数在上的最小值为0，求的值； （3）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B D D B ABC BC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 2．B 【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可. 【详解】由图知，过点，过点， 则，有    解得， 所以， 故选：B. 3．B 【分析】根据题意，由绝对值的意义分析可得函数和的根为和，然后按的符号分4种情况讨论，求出的解析式即可. 【详解】由可知函数的分段点为和， 而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和， 假设的根为，的根为， 分4种情况讨论： （1）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （2）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （3）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （4）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， 综上可得 故选：B 4．B 【分析】根据函数的定义可判断；根据图象一一分析函数的定义域和值域，即可判断其它选项. 【详解】对于，直线与图象有两个交点，不符合函数的定义，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，符合题意，故正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确. 故选：. 5．B 【分析】根据，构造方程组消元求解出函数解析式，然后根据函数的性质求解的最大值. 【详解】因为，将置换解得：， ， 设当时， 当时，， 又因为， 当时，取得最大值，，即函数最大值为， 故选：B. 6．D 【分析】结合二次函数与一次函数图象分别为抛物线和直线，画出函数图象，再根据得到的图象，再写出的解析式，根据解析式可得值域. 【详解】与的图象如下， 令，解得或， 由于，所以的图象如下图， 即， 由图可知当时，的最大值为，最小值为， 所以的值域为， 故选：D. 7．D 【分析】根据取整函数的定义，得，再利用不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，当，，故A错误； 对于B，当时，， 当时，设，（），则，则 由定义得，故B错误； 对于C，因为， 所以，函数（）的值域为，故C错误； 对于D，当时，由，得（1）， (因为，，) 所以, 所以不等式组(1)有解，解得; 即存在，使得，，同时成立； 当时，由，得（2）， 因为，所以， 所以上面不等式组无解， 即不存在，使得，，，，，同时成立； 综上所述，正整数的最大值是5，故D正确； 故选：D. 8．B 【分析】要想最小，只需最大且最小，据此结论找出满足条件的集合. 【详解】根据题意可知：， 要想最小，只需最大且最小， 所以要使的值最小，2，4一定属于集合X； 是否属于X不影响的值， 但集合X不能含有之外的元素，， 所以当X为集合的子集与集合的并集时，取到最小值6. 故选：B 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 9．ABC 【分析】根据函数的定义域和解析式相同可判断A；根据函数定义可判断B；由抽象函数的定义域可判断CD. 【详解】对于A，， 因为与定义域，解析式一致，故A正确； 对于B，， 则是集合到的一个函数，故B正确； 对于C，分母不能为0，所以，又，得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D，因为函数的值域是，所以的值域是， 所以的值域是，故D不正确. 故选：ABC. 10．BC 【分析】令，利用换元法求得函数解析式，并求出定义域，可判断A，令代入解析式可判断B，根据抽象函数定义域的求法可判断C，D. 【详解】对于A，令，则， 则， 即，因此A错误； 对于B，由，则，因此B正确； 对于C，的定义域为，则中，即， 故的定义域为，因此C正确； 对于D，的定义域为，则中，即， 故的定义域为，因此D错误； 故选：BC. 11．BCD 【分析】根据的值，分析每个选项，A项可以举出反例，B项可以在中找出存在令命题成立的一对实数，，C项根据，可以得到，属于相同区间，D项先解出的范围，再解出的取值范围. 【详解】对于A，，，所以A为假命题； 对于B，，，，所以B为真命题； 对于C，因为，所以，，所以，C为真命题； 对于D，解不等式，得或，所以不等式的解集为，D为真命题. 故选：BCD 12． 【分析】根据分段函数的解析式，先求，再求，即可求解. 【详解】由，则， 故答案为：. 13． 【分析】由分段函数解析式画出函数图象，再由不等式解集可得解出的解集即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 易知当可得； 当时，，此时恒成立，即； 当时，，即，解得； 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 14． 【分析】由题意可得函数在上不单调，分，结合二次函数的性质，作出图象即可. 【详解】当时，可得，易知在R上单调递减，不满足题意； 当时，当时，，对称轴为， 当时，，此时函数在上单调递减; 当时，， 当时，开口向上，大致图象如图所示： 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，且，使得成立，满足题意; 当时： 当时，函数的开口下，对称轴， ①当，即时， 易知函数在和上单调递减，在上单调递增， 大致图象如图所示： 由此可知，，且，使得成立，满足题意; ②当时，即时， 此时函数的大致图象如图所示： 易知函数在R上单调递减， 所以不存在，且，使得成立; 综上，的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系． 15．(1)答案见详解 (2)，证明见详解 (3)0 【分析】（1）根据函数解析式代入数值计算即可； （2）通过（1）化简的函数解析式求出的解析式，相加化简即可； （3）根据（2）的结论，分析原式中一共有多少项数，进行求和即可. 【详解】（1）由， 所以， ； ，. （2）由(1)中求得的结果发现，证明如下： 因为， 所以. （3）由(2)知， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，再结合判别式，可求得的取值集合； （2）由题意得到是的真子集，分类讨论和两种情况得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】（1）由题意得不等式的解集为： 当时，恒成立，满足题意； 当时，则由解集为可得，解得：， 综上可得：； （2）由是的必要不充分条件可得：是的真子集， 当时，满足题意，此时有，解得：； 当时，则，解得， 综上可得的取值范围是. 17．（1），（2），（3） 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 18．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围； （2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围； ②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析. 【详解】（1）因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以，解得， 所以； （2）①当时，，所以，解得； 当时，，所以， 因为，所以， 所以无解， 综上所述：的取值范围是； ②由①可知：， 当时，，所以，所以； 当时，的对称轴为，所以， 且，所以， 令，所以，所以， 综上可知：. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对取最小值函数（）的理解以及分类讨论思想的运用，通过分类讨论的思想确定出的解析式，再分析对应的每段函数的最大值，从而确定出的最大值. 19．（1）单调递减区间为；（2）或；（3）或. 【分析】（1）将代入函数解析式，去掉绝对值符号，将函数写出分段函数的形式，结合二次函数的单调性，写出函数的单调递减区间； （2）将函数解析式化为分段函数的形式，对的范围进行讨论，从而确定函数的最小值点，相互对照，求得结果； （3）首先根据题意，判断出函数在区间上存在最值的条件，利用恒成立，转化得出对应的不等关系，进而求得其范围. 【详解】（1）当时， 由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减， ∴的单调递减区间为 （2） 当时，在单调递减，单调递增，单调递减， （i）当即时， ∴（舍去） （ii）由得 当，即时， ∴，符合题意. （iii）当，即时， ∴，符合题意. 综上所述，或. （3）当时，由，可知 由可知 要使恒成立 ∵ 又∵ ∴，∴ ∴或. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的单调区间，根据分段函数的最值求参数，有关恒成立问题的转化，属于较难题目. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1函数的概念及其表示（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 7 【提升训练】 10 知识回顾 1. 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围是集合A 值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A} 2. 区间的概念 设a，b∈R，且a<b，“区间”规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) 3. 函数的要素 (1)由函数的定义知， 一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.函数的值域由定义域与对应关系决定. (2)同一个函数 前提条件 定义域相同 对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 (3)常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 4. 函数的表示方法 函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 5. 分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．（2024高二下·福建·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期中）函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数，且，则等于（   ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 7．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）下列函数中值域为的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数，则（    ） A．最小值为1 B．最大值为2 C．无最小值 D．无最大值 11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列命题正确的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·辽宁营口·期末）为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 14．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）设为实数，函数． (1)求函数的定义域； (2)设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 17. (15分) （24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数，则 (1)求，，的值； (2)若，则的值是多少？ 18. (17分) （24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数，且． (1)写出函数的解析式； (2)求的值； (3)若，求实数的值． 19. (17分) （24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求a的取值范围． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·河南·阶段练习）如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 2．（24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 5．（24-25高一上·天津静海·期中）已知函数，则等于 （    ） A． B． C．3 D．6 6．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数图象如右图所示，则的图象是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）设函数，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·天津河西·期中）设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·重庆万州·期中）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）以下判断正确的是（   ） A．与是同一函数 B．函数的图象与轴的交点最多有个 C．与表示同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（    ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 13．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，则等于 ． 14．（23-24高一上·天津南开·期中）设函数，若，则实数的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·天津·期中）设函数的定义域为集合A，集合 (1)求集合A； (2)求的值； (3)若，求的取值范围． 16. (15分) （2023高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 17. (15分) （23-24高一上·云南·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求的值； (3)作出函数的图象． 18. (17分) （22-23高一上·重庆长寿·期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若函数恰有三个零点，求的取值范围. 19. (17分) （22-23高二下·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若的最大值为3，求的值． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·湖北孝感·期中）将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（    ） A． B．10 C． D．2 3．（22-23高一上·浙江丽水·期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数，，用表示，中较小者，记为.当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）对，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的真命题是（   ） A．， B．， C．函数（）的取值集合为 D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5 8．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合 ，已知，.用表示有限集合M所含元素的个数，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·江西新余·阶段练习）下列各结论中正确的是（   ） A．与表示同一函数 B．，则是集合到的一个函数 C．若函数的定义域是，则函数的定义域为 D．若函数的值域是，则函数的值域是 10．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．的定义域为 D．的定义域为 11．（22-23高一上·广东·期中）对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（    ） A． B． C．，若，则 D．不等式的解集为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·天津河东·期中）已知函数，则 . 13．（24-25高一上·天津滨海新·期中）设函数，若，则实数的取值范围是 . 14．（2024·天津·二模）已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 16. (15分) （24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为 (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 18. (17分) （23-24高一下·浙江·期末）已知函数，函数，其中 （1）若恒成立，求实数t的取值范围； （2）若， ①求使得成立的x的取值范围； ②求在区间上的最大值． 19. (17分) （23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若函数在上的最小值为0，求的值； （3）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$