2.3二次函数与一元二次方程、不等式-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 6 【提升训练】 9 知识回顾 1. 一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   3. 简单的分式不等式的解法 4. 一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高二下·广西北海·期末）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 3．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川南充·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江·期中）关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·贵州·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·全国·单元测试）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的可能取值有（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（23-24高一下·辽宁·开学考试）不等式对任意的恒成立，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一上·上海金山·期末）若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高三上·上海·期中）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·江西九江·期末）设二次函数的值域是，则的最小值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东茂名·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 16. (15分) （24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)当时，分别求出函数在上的最大值和最小值； (2)求关于的不等式的解集. 17. (15分) （24-25高一上·贵州六盘水·期中）（1）比较大小：与； （2）若关于的不等式的解集为，求，的值. 18. (17分) （24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）命题或；命题. (1)若时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若是的充要条件，求出实数的值. 19. (17分) （23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数． (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在区间上的最小值． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 2．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   3．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川广元·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．13 D．1 5．（22-23高一上·山西·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 6．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江·期中）当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．不等式的解集为 10．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 11．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C．若不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“”为假命题的充要条件为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·广东·期中）恒成立，则实数a的取值范围是 13．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 14．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·河北唐山·期中）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求a，b； 16. (15分) （24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 17. (15分) （24-25高一上·山东·期中）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)解关于x的不等式. 18. (17分) （23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数 (1)若关于的不等式的解集是实数集，求a的取值范围； (2)当时， 解关于的不等式 19. (17分) （24-25高三上·江西·开学考试）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若，设函数在区间上的最大值为，求的表达式，并求出的最小值. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最大值为（   ） A．25 B． C． D．8 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出一种解法：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为，类比上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·海南·期中）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 8．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·吉林白城·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 10．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（   ） A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集 11．（22-23高一上·湖北省直辖县级单位·期中）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．已知正实数满足，则的最大值为3 D．若关于的不等式对一切恒成立，则实数a的范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ． 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解关于的不等式. (1)； (2)； (3). 16. (15分) （24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知. (1)当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围； (2)若，求不等式的解集. 17. (15分) （24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，若在区间上的最小值为，求的值； (3)当时，若函数在区间上的图象始终在的图象的下方，求实数的取值范围. 18. (17分) （22-23高一上·浙江宁波·期中）已知函数，其中． (1)当时，函数在区间和上单调递增，求a的取值范围； (2)若对任意的实数a，都存在，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 19. (17分) （22-23高一上·浙江·期中）已知函数．（） (1)若函数在上单调递减，求的取值范围； (2)若函数在上的最小值为，最大值为，求和的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 12 【提升训练】 26 知识回顾 1. 一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   3. 简单的分式不等式的解法 4. 一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高二下·广西北海·期末）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 3．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川南充·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江·期中）关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·贵州·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·全国·单元测试）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的可能取值有（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（23-24高一下·辽宁·开学考试）不等式对任意的恒成立，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一上·上海金山·期末）若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高三上·上海·期中）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·江西九江·期末）设二次函数的值域是，则的最小值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东茂名·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 16. (15分) （24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)当时，分别求出函数在上的最大值和最小值； (2)求关于的不等式的解集. 17. (15分) （24-25高一上·贵州六盘水·期中）（1）比较大小：与； （2）若关于的不等式的解集为，求，的值. 18. (17分) （24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）命题或；命题. (1)若时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若是的充要条件，求出实数的值. 19. (17分) （23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数． (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在区间上的最小值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B B A D C CD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】由已知可得代入中化简配方可求得其最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：. 2．A 【分析】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【详解】由题图知抛物线开口向上，所以， 抛物线与轴交点纵坐标为正，所以， 因为，所以， 由韦达定理， 即，，对称轴， 则.所以A错误，B,C正确. 不等式 可化为， 即，解得 或. 所以不等式的解集是.D正确. 故选：A. 3．B 【分析】由二次函数性质可直接得到结果. 【详解】为开口方向向下，对称轴为的二次函数， 的单调递减区间为. 故选：B. 4．B 【分析】直接根据图象求解即可. 【详解】由题图知y>0的解集为{x|-1<x<2}. 故选B. 5．B 【分析】转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由，得，解得， 故关于x的不等式的解集为. 故选：B. 6．A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：. 7．D 【分析】根据解集先求解出的值，然后代入计算即可. 【详解】因为的解集为， 所以，解得， 所以， 解得或，所以解集为， 故选：D. 8．C 【分析】根据给定条件，建立不等式，再解不等式即得答案. 【详解】二次函数的图象开口向上， 由的一个根小于1，另一个根大于1，得， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 9．CD 【分析】由已知判定方程为二次方程，再结合可求出的取值范围，从而可得答案. 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 所以选项A、B不符合题意，C、D符合题意， 故选：CD 10．ACD 【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数的性质求解. 【详解】 可整理为 ，根据二次函数的性质有： ，故A正确； 当时，满足 ，即原不等式成立，B错误； 由 ，得 ，所以 ，C正确； ，D正确； 故选：ACD． 11．BCD 【分析】选项A：利用求解一元二次不等式求解即可.选项B：利用对于恒成立分和结合判别式小于零求解出整数的取值集合为.对于选项C：将看成主元求解即可.选项D：分析出，则得到唯一的整数为零，求解出两个根的范围进一步求解出的取值范围. 【详解】当解得：故选项A错误. 若恒成立，则当时，不成立，当时， 解得：则 则整数的取值集合为.故选项B正确， 若不等式对恒成立，则， 则则 故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则则又因为所以 所以对应得两个根设为则 所以，解得，故选项D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】运用判别式求解. 【详解】由题意知 ，解得 或 ， ∴b的取值范围是 ； 故答案为：. 13． 【分析】根据二次函数的性质求解． 【详解】由题意，解得， 故答案为：． 14．2 【分析】由二次函数值域确定参数关系，结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意知，，，即， 所以，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值是2. 故答案为：2. 15．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （3）根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1）由可得，，解得． 原不等式的解集为． （2）因为，所以， 因为无解，所以， 即原不等式的解集为； （3）不等式可化为，即，整理可得． 等价于，解得或． 原不等式的解集为或. 16．(1)最大值为，最小值为； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可； （2）分类讨论求含参一元二次不等式解集. 【详解】（1）由题设，开口向上且对称轴为， 结合二次函数的图象，在上最大值为，最小值为. （2）由题意， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17．（1）；（2） 【分析】（1）由作差法即可求解； （2）由韦达定理列出方程组即可求解. 【详解】（1）由 ，得. （2）因为关于的不等式的解集为， 所以1和2为方程的两个解，即解得. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式结合解一元二次不等式，即可得答案. （2）由是的充要条件，可知3和2是方程的两个根，利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）若在上恒成立， ，即， （2）若是的充要条件，则3和2是方程的两个根， 由韦达定理知， 解之得. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的性质得到对称轴的位置，从而列式得解； （2）利用二次函数的性质，分类讨论的范围，从而得解. 【详解】（1）因为函数在上不单调，对称轴， 所以，即，解得， 故实数的取值范围为； （2）因为开口向上，对称轴， 当时，函数在上单调递减， 所以； 当时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以； 故. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 2．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   3．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川广元·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．13 D．1 5．（22-23高一上·山西·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 6．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江·期中）当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．不等式的解集为 10．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 11．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C．若不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“”为假命题的充要条件为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·广东·期中）恒成立，则实数a的取值范围是 13．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 14．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·河北唐山·期中）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求a，b； 16. (15分) （24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 17. (15分) （24-25高一上·山东·期中）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)解关于x的不等式. 18. (17分) （23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数 (1)若关于的不等式的解集是实数集，求a的取值范围； (2)当时， 解关于的不等式 19. (17分) （24-25高三上·江西·开学考试）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若，设函数在区间上的最大值为，求的表达式，并求出的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A D B B D ACD AB 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】举反例求与判别式可判断AB，求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD. 【详解】A.当时，， 所以的图象不恒过点，故A错误； B.当时，， 此时的图象必与轴只有1个交点，故B错误； CD.， 则的最小值为， 所以函数的最小值不可能是，可能为，故C错误，D正确. 故选：D. 2．B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B 3．A 【分析】由题意求得对称轴，再由开口方向求解. 【详解】解：因为二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3， 所以其对称轴方程为：， 又， 所以二次函数的单调递减区间为， 故选：A 4．A 【分析】令，结合图象可得且，从而求得的值，由此得解. 【详解】令，则， 由图可得方程的两根为2和4，则， 又由图象知，即，则， 所以，解得， 所以， 所以，， 则． 故选：A. 5．D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 6．B 【分析】解不等式得到，故或或，从而得到. 【详解】由，得，解得， 因此或或， 又因为表示不大于x的最大整数，所以， 只有为的真子集，满足要求． 故选：B． 7．B 【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可. 【详解】因为，又因为， 所以，所以， 又因为，于是等价于， 可得， 所以的解集为. 故选：B 8．D 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A错； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即， 解得或， 因此，不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：D. 9．ACD 【分析】由二次函数图象可得，，进而代入各选项判断即可. 【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故， 与轴的交点为，， 故， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D：不等式可化为， 即，即，其解集为，故D正确. 故选：ACD. 10．AB 【分析】根据一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系一一判定选项即可. 【详解】由题意知，即相应二次函数开口向下，所以A正确； 由题意可得是方程的两个根，所以， 得，，所以B正确； 因为是方程的根，所以，所以C不正确； 把代入不等式，可得， 因为，所以即可，所以D不正确. 故选：AB 11．ACD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A，分类讨论求出k的范围判断B，根据数轴穿根法及不等式的解集求出及解不等式判断C，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于的不等式恒成立即可判断D. 【详解】对A，若是的必要不充分条件，是的充要条件， 则，但是不能推出， 所以，但是不能推出，所以是的充分不必要条件，故A正确； 对B，当时，原不等式为，恒成立满足题意， 当时，由题意需满足，解得， 综上，实数的取值范围是，故B错误； 对C，由不等式的解集为， 结合数轴穿根法知，，且， 所以不等式可化为，解得，故C正确； 对D，由题意知为真命题， 则在时恒成立， 令，只需， 则，解得，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】分离参数，即可根据基本不等式求解最值求解. 【详解】当时，由可得恒成立， 故， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 当时，原不等式为恒成立， 综上可得， 故答案为： 13． 【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为： 14．120或130 【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可. 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130 15．(1) (2) 【分析】（1）将代入，解二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得. 【详解】（1）当且时，， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程即的两根， 则，解得. 16．(1)不动点为和； (2). 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 17．(1)， (2)答案见解析 【分析】先根据已知不等式的解集，结合韦达定理，求出和的值，再将其代入后面的不等式，分类讨论进行求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，的解为或. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为.   综上所得，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 18．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集是实数集， 即在上恒成立， 当时解得，不是恒成立，矛盾； 当时要使得恒成立，则需满足，解得， 综上可得； （2）不等式， 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时的两个根为、， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 19．(1) (2)， 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一次函数和二次函数的单调性分析可得答案； （2）由，可得抛物线开口向上，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论. 【详解】（1）当时，，则在上单调递增，满足条件； 当时，的对称轴为，要使在上单调递增， 则，解得：， 综上，若在上单调递增，则的取值范围为 （2）当时，的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增； 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，，， 当时，即时，； 当时，即，， 当时，即，， 综上，， 所以当时， 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最大值为（   ） A．25 B． C． D．8 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出一种解法：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为，类比上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·海南·期中）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 8．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·吉林白城·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 10．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（   ） A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集 11．（22-23高一上·湖北省直辖县级单位·期中）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．已知正实数满足，则的最大值为3 D．若关于的不等式对一切恒成立，则实数a的范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ． 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解关于的不等式. (1)； (2)； (3). 16. (15分) （24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知. (1)当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围； (2)若，求不等式的解集. 17. (15分) （24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，若在区间上的最小值为，求的值； (3)当时，若函数在区间上的图象始终在的图象的下方，求实数的取值范围. 18. (17分) （22-23高一上·浙江宁波·期中）已知函数，其中． (1)当时，函数在区间和上单调递增，求a的取值范围； (2)若对任意的实数a，都存在，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 19. (17分) （22-23高一上·浙江·期中）已知函数．（） (1)若函数在上单调递减，求的取值范围； (2)若函数在上的最小值为，最大值为，求和的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B D A B D ABC AD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】根据二次函数的性质求解． 【详解】，所以时，取得最大值， 故选：B． 2．A 【分析】由一元二次方程的根和一元二次函数与不等式的性质直接求出即可； 【详解】由于方程的两根分别为2，10， 且函数的开口向上， 结合图象可知A正确. 故选：A. 3．C 【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：C 4．B 【分析】确定和函数的单调性，计算，B正确，，D错误，举反例得到AC错误，得到答案. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增. ，故，解得； ，，B正确； ，，D错误； 取，，，满足条件， ，A错误；，C错误； 故选：B 5．D 【分析】解不等式可得或，将所求不等式变形为，可得出或，解之即可. 【详解】若关于的不等式的解集为， 即解不等式可得或， 由得， 可得或，则，所以或， 解得或， 所以关于的不等式的解集为. 故选：D. 6．A 【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可. 【详解】由，，，得， 当且仅当即时取等号.依题意，，解得， 故选：A 7．B 【分析】A由一元二次不等式解集为空直接判断；B令即可判断；C根据解集判断参数关系，结合目标不等式求解即可；D根据题设得，且，将目标式化为含的表达式，再令，代换原表达式并结合基本不等式求最值. 【详解】A：由无解，则且，对； B：令，若，则等价于， 此时，关于的不等式的解集不为，错； C：由题设，则等价于， 所以，可得或，对； D：由题设，则，且， 所以，令，则， 所以上式为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，对. 故选：B 8．D 【分析】画出函数的图象，对分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出结论. 【详解】函数的图象如图所示：   ， 当时，， 由于关于的不等式恰有一个整数解， 因此其整数解必为3，又，， 结合图象可知，解得， 因为要求的最大值，所以不必考虑. 综上所述，的最大值为. 故选：D 【点睛】方法点睛： 数形结合与图象分析：通过画出函数的图象，结合不等式的条件，利用数形结合的方法直观地分析解的分布情况．数形结合是分析不等式解的一个非常有效的工具．在解题过程中，绘制函数图象并结合不等式条件进行讨论，是找到解集并确定最大值的关键． 9．ABC 【分析】利用一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】关于x的方程中，， 且两根和为、两根积为m. 对A，若方程有一个正根一个负根，则，解得，故A对； 对B，若方程无实根，则，解得，则其一个必要条件是，故B对； 对C，若方程有两个正根，则，解得，故C对； 对D，当时，方程可化为，显然无实数解，故D错. 故选：ABC. 10．AD 【解析】略 11．BD 【分析】对于A选项，，利用基本不等式式可判断，但要注意x范围. 对于B选项，，后利用基本不等式解决问题. 对于C选项，由得，则=，后利用基本不等式可解决问题. 对于D选项，当时，显然成立.当时，转化为图像恒在x轴下方即可. 【详解】对于A选项，，易得. 当时，，当且仅当，即时取等号. 当时，， 当且仅当，即时取等号. 因条件中未告知x范围，故A错误. 对于B选项，，因， 则， 当且仅当，即时取等号.故B正确. 对于C选项，由得， 则==，又为正实数. 则. 取等号时有，即，代入，得. 即当且仅当时，上述不等式取等号.则的最小值为3. 又，当无限接近1时，无限接近.此时无限接近于0，得接近正无穷大，故无最大值.综上，C选项错误. 对于D选项，当时，原式化为，故满足条件. 当时，不等式对一切恒成立 等价于图像恒在x轴下方. 有，即得. 综上，故D正确. 故选：BD 【点睛】易错点点睛：本题为不等式综合问题，涉及基本不等式与恒成立问题.需注意： （1）利用基本不等式时要注意“一正，二定，三相等”.“一正“要保证利用不等式的对象大于0，“二定”指我们要发现或者构造变量和为定值或者变量积为定值.“三相等”是指能在题目条件前提下找到等号成立条件. （2）解决二次函数恒成立问题时，可转化为其图像恒在x轴上方或下方，但要根据题目描述考虑二次项系数是否可以为0 12． 【分析】可以把问题转化成二次函数在上大于等于0的问题来解决.结合函数与轴的交点，则或对称轴在轴或轴左侧，即可求出的取值范围. 【详解】由，得，. 设，. 因为，所以，或. 由； 由. 所以的取值范围为：. 故答案为： 13． 【分析】根据题意，将不等式有解转化为至少有一个负数解，画出图像，结合图像代入计算，即可求解. 【详解】    可将当时，有解转化为至少有一个负数解，构造，，画出图形，如图： 当时，两个图像相交于点，要使其相交于轴左侧，则需满足， 在的图像不断左移的过程中，若与左侧曲线相切， 则有，对应的，解得，则， 综上所述，． 故答案为： 14． 【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 15．(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集； （2）由分式不等式有，进而求解集； （3）由题设有，讨论大小求对应解集. 【详解】（1），故解集为； （2），故解集为； （3），即， 当，解集为； 当，解集为； 当，解集为. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先利用一元二次方程的性质，得到，利用绝对值的几何意义求得的最小值为，根据题意，转化为，即可求解； （2）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，方程的两根分别为， 则，，所以， 因为，所以， 根据绝对值的几何意义，可得， 当且仅当时，等号成立， 又因为存在，使成立，可得，解得， 所以m的取值范围为. （2）解：若，不等式等价于， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为或； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为或. 17．(1) (2) (3). 【分析】（1）通过，两类情况讨论即可； （2）通过，两类情况讨论即可； （3）由题意得到在上恒成立，转化成即可求解. 【详解】（1）①当时，显然不符合题意； ②当时， 解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由知. ①当，即时，， 解得； ②当，即时，， 解得（舍去）. 综上，. （3）由题意得在上恒成立， 即在上恒成立， 又，在上恒成立， 设，则在上单调递减， . 的取值范围是. 18．(1)； (2) 【分析】（1）令，知，设两个零点为，去掉绝对值后，得，根据函数在区间和上单调递增，列出不等式，求出即可. （2）原问题中的命题为全称命题，可先求出满足其命题的否定形式的实数b的取值范围，求出的取值范围的反面就是满足原题命题要求的实数b的取值范围. 【详解】（1）当时，令，， 所以一定有两个零点，设为，且， 则， 则当或时，有，则； 当时，有，则. 所以，函数， 因为在题中区间单调递增，所以，当时，函数在上单调递减，则要使，函数在区间上单调递增，应满足， 即有，解得； 又函数在区间上单调递增，显然在R上连续，则应满足，解得. 所以，a的取值范围为. （2）问题条件“对任意的实数a，都存在，使得不等式成立”，由此可先确定 问题条件得反问为“存在实数a，对于任意，使得不等式成立” ， 只要，的最大值和最小值之差小于2即可， 因为在为增函数，所以， ，解得且 故满足问题（2）的实数b的取值范围为： 19．(1) (2)当时，；当时，. 【分析】（1）利用数形结合，得出，列不等式组解出即可； （2）利用二次函数轴与区间的关系，分四类进行讨论即可. 【详解】（1）函数的对称轴是，其图象与x轴的交点坐标是（0,0）和， 则函数的图象如图所示. 所以函数的单调递减区间是和. 因为函数在上单调递减，所以， 所以，解得，即的取值范围为. （2）若函数在上的最小值为，最大值为. 当时，函数在上单调递减， 则，，且， 解得解出； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ，，且， 解得，无解； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 解得，无解； 当时，函数在上单调递增， 则，，且， 解得，解出； 综上，当时，； 当时，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$