2.2基本不等式-2024-2025学年高一数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

2.2基本不等式（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 2 【巩固训练】 5 【提升训练】 7 知识回顾 1. 基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2. 最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 8．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）下列不等式，其中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立 B．若a≠0，则a＋≥2 ＝4 C．若a，b∈R，则ab≤ D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64 11．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知、都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为2 D．的最大值为2 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·天津津南·期中）已知，则的最小值为 ． 13．（24-25高二上·云南昆明·期末）函数的值域是 . 14．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 16. (15分) （23-24高一上·江苏淮安·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 17. (15分) （23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 19. (17分) （24-25高一上·四川南充·期中）（1）已知，求的取值范围； （2）已知正数满足，求的最小值. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）设，且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 2．（22-23高三下·上海宝山·开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（    ） A．如果，且，那么 B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 D．当，时， 3．（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当时， C．若，则 D．若，则的最小值为2 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知均为正实数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则最大值为 10．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 13．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，且，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 16. (15分) （24-25高一上·天津·期中）（1）已知，求的最大值；并求出此时的值. （2）已知，求的最小值，并求出此时的值. 17. (15分) （24-25高一上·河北唐山·阶段练习）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)求在时的最小值． 18. (17分) （24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·山西·期中）已知． (1)证明． (2)若，求的最小值． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 4．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知x，y是正实数，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 6．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 7．（24-25高一上·辽宁大连·期中）不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 8．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若实数，满足，以下选项中正确的有（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的值不超过3 D．最小值为 10．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 11．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知实数满足，且，则的值可以为（    ） A． B．7 C． D．5 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·吉林长春·期中）若当时，不等式有解，则实数m的最小值为 . 13．（22-23高三下·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为 . 14．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知，，，则的最小值为 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·四川泸州·阶段练习）已知且 (1)求的最大值； (2)求的最小值. 16. (15分) （24-25高一上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 17. (15分) （24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·江西·阶段练习）已知． (1)比较与的大小； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 19. (17分) （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知正实数满足:. (1)求的最小值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 2 【巩固训练】 11 【提升训练】 23 知识回顾 1. 基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2. 最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 8．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）下列不等式，其中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立 B．若a≠0，则a＋≥2 ＝4 C．若a，b∈R，则ab≤ D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64 11．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知、都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为2 D．的最大值为2 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·天津津南·期中）已知，则的最小值为 ． 13．（24-25高二上·云南昆明·期末）函数的值域是 . 14．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 16. (15分) （23-24高一上·江苏淮安·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 17. (15分) （23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 19. (17分) （24-25高一上·四川南充·期中）（1）已知，求的取值范围； （2）已知正数满足，求的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D C B B A ABC CD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式比较的大小即可. 【详解】由，得，，则， 因此. 故选：C 2．D 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，利用基本不等式进行求解. 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，，B错误； C选项，当时，，，C错误； D选项，当时，，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到， 故，D正确. 故选：D 3．C 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】，，， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故选：C 4．D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为7. 故选：D 5．C 【分析】根据基本不等式即可求出． 【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为． 故选：C． 6．B 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】因，故， 则， 当且仅当时取等号，由，解得， 即时，取得最小值8. 故选：B. 7．B 【分析】利用基本不等式，结合不等式恒成立问题的解法即可得解. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，所以，即， 所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确. 故选：B. 8．A 【分析】由基本不等式知识即可求解. 【详解】由题意，且， 则，所以，解得 则， 当且仅当，即时取等号， 又因为， 且根据对勾函数性质在上单调递减， 所以，故A正确. 故选：A. 9．ABC 【分析】利用基本不等式和均值不等式可以判断AD，利用作差法判断BC，即可． 【详解】对于A，由，则，故A正确， 对于B，由，则,故B正确， 对于C，由，则，故C正确， 对于D，由均值不等式使用条件为正数，则当时,不等式就不成立，故D错误， 故选：ABC． 10．CD 【分析】根据重要不等式和基本不等式的成立条件判断选项的正误. 【详解】对于A，当，时，才能成立，A错误； 对于B，当时才能使用基本不等式求最小值，B错误； 对于C，因为，所以，即，C正确； 对于D，，，所以，D正确. 故选：CD. 11．AC 【分析】AB选项，利用基本不等式求出，A正确，B错误；CD选项，由基本不等式“1”的妙用求出的最小值. 【详解】AB选项，、都是正数，且满足，故， 当且仅当时，等号成立，A正确，B错误； CD选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确，D错误. 故选：AC 12．25 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：25 13． 【解析】将化简可得，然后讨论和时，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】， 当时， 当时， 所以， 所以函数的值域是， 故答案为： 【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域. 14． 【分析】利用基本不等式求得的最大值，从而得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又对任意恒成立，所以. 故答案为：. 15．（1）；（2） 【分析】根据基本不等式即可求解 【详解】（1）因为 所以， 当且仅当，即时，上式取等号. 所以函数的最小值为. （2）当时， 所以， 当且仅当，即时上式取等号， 所以函数的最大值为. 16．（1）9；（2）3. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 17．(1)8 (2) 【分析】（1）由题意可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值， （2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， （2）因为（）恒成立， 所以恒成立， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以，所以的最大值为. 18．(1)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 【分析】（1）先由题意得，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积S的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出l的最小值以及此时的值. 【详解】（1）由题得即，， 设每间虎笼面积为S，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以即， 所以每间虎笼的长、宽时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. （2）由题意可得， 设钢筋网总长为l，则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 19．（1）；（2）49 【分析】（1）由已知可得，结合不等式的性质可的取值范围； （2）利用1的代换，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）设， 则，故，所以， 因为，则， 故，即，   （2） 即，当且仅当，即时，的最小值是. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）设，且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 2．（22-23高三下·上海宝山·开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（    ） A．如果，且，那么 B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 D．当，时， 3．（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当时， C．若，则 D．若，则的最小值为2 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知均为正实数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则最大值为 10．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 13．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，且，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 16. (15分) （24-25高一上·天津·期中）（1）已知，求的最大值；并求出此时的值. （2）已知，求的最小值，并求出此时的值. 17. (15分) （24-25高一上·河北唐山·阶段练习）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)求在时的最小值． 18. (17分) （24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·山西·期中）已知． (1)证明． (2)若，求的最小值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B C C D A BC ABD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2．C 【分析】根据不等式的概念判断． 【详解】只有选项C中不等式左边是两个正数的算术平均数，右边是几何平均数，这个不等式称为幂的基本不等式． 故选：C． 3．B 【分析】设，结合题意求出，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意设，仓库到车站的距离， 由于在距离车站6km处建仓库，则，即， 两项费用之和为， 当且仅当，即时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km. 故选：B 4．B 【分析】利用特殊值判断A、C，利用基本不等式判断B，利用对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A：令，，则，故A错误； 对于B：因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：令，则，故C错误； 对于D：因为，又对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，故D错误. 故选：B 5．C 【分析】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 6．C 【分析】由已知条件可得，得出的表达式再由基本不等式计算可得结果. 【详解】由得， 即， 当且仅当，取到等号， 故选：C. 7．D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 8．A 【分析】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【详解】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 9．BC 【分析】利用作差法来比较大小，利用基本不等式求最大值，需要考虑等号是否成立，这样就可以作出各选项的判断. 【详解】对于A，由， 因为，没有确定是否为正数，所以没有办法判定差的符号，故A错误； 对于B，由， 因为，所以可以判定差为正数，故B正确； 对于C，由于均为正实数，根据基本不等式得：， 由于，所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由于均为正实数，根据基本不等式得：， 由于，所以，但是，所以等号不成立，故D错误； 故选：BC. 10．ABD 【分析】A选项，作差法得到；B选项，在A选项基础上，得到，从而得到；C选项，作差法得到；D选项，变形后利用基本不等式得到D正确. 【详解】A选项，，故， 当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，因为，不等式两边同时加上得 ，两边同时除以4得，， 两边开方得， 当且仅当时，等号成立，B正确； C选项，， 因为，所以， 故，C错误； D选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 11．BCD 【分析】AB选项直接利用基本不等式求最值；CD选项通过代入得到积是定值，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，则A错误； 因为，所以，当且仅当时等号成立，则B正确； 因为，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确； 因为，所以，所以，同理可得， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 13． 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 14．2 【分析】先由题意得且，接着将代入整理得，再根据基本不等式中常数“1”的妙用方法即可计算求解. 【详解】因为，且， 所以且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 15．(1) (2) 【分析】（1）方法一：利用基本不等式得到，求出；方法二：由得到，，求出的最大值为； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【详解】（1）方法一：∵，，， ∴，当且仅当，即，时等号成立， ∴，∴，的最大值为； 方法二：，解得， ，， 当时，的最大值为，此时； （2）∵， 又∵，，∴，， ∴，当且仅当时等号成立， ∵，∴，，∴， ∴当，时，的最小值为9． 16．（1）此时；（2），此时. 【分析】根据所求函数式的特征，进行适当配凑项或系数，再运用基本不等式求解即得. 【详解】（1）因，则， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最大值为； （2）因，则， 则 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最小值为7. 17．(1)12； (2)6； (3)． 【分析】（1）（2）（3）根据题设前提条件，应用基本不等式求积、和及分式型目标式的最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为12． （2），则 即，解得或（舍）， 当且仅当且，即时等号成立， 的最小值为6． （3）， 令，则， 所以，化为， 而，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 19．(1)证明见解析 (2)． 【分析】(1)通过作差法判断即可； （2）由．结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）证明： 因为，所以，， 则，从而． （2）解：因为，所以． ． 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 4．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知x，y是正实数，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 6．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 7．（24-25高一上·辽宁大连·期中）不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 8．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若实数，满足，以下选项中正确的有（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的值不超过3 D．最小值为 10．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 11．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知实数满足，且，则的值可以为（    ） A． B．7 C． D．5 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·吉林长春·期中）若当时，不等式有解，则实数m的最小值为 . 13．（22-23高三下·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为 . 14．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知，，，则的最小值为 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·四川泸州·阶段练习）已知且 (1)求的最大值； (2)求的最小值. 16. (15分) （24-25高一上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 17. (15分) （24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·江西·阶段练习）已知． (1)比较与的大小； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 19. (17分) （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知正实数满足:. (1)求的最小值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D D B D C ACD BC 题号 11 答案 AB 1．A 【分析】利用作差法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选：A. 2．D 【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确. 【详解】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数， 表示数、比较大的数． 当，时，，故选项A、C错误； 当时，，故选项B错误． ∵，且，∴， ∵，，∴，故选项D正确． 故选：D 3．C 【分析】直接利用基本不等式即可求解A；利用乘“1”法即可求解可判断B；利用完全平方式的性质即可求解C；将“1”代换，即可由基本不等式求解D.. 【详解】对于A，，解得，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：C. 4．D 【分析】A选项，由基本不等式直接求解，得到；B选项，根据x，y是正实数，且推出，B错误；C选项，变形后，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，先根据条件求出，从而，得到D正确. 【详解】A选项，x，y是正实数，由基本不等式得，即， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A错误； B选项，由x，y是正实数，且， 故，而， 故的最小值不可能为，B错误； C选项，因为，所以， 其中， 当且仅当，即时，等号取到， 则，C错误； D选项，因为x，y是正实数，，所以，解得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D正确. 故选：D 5．D 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 6．B 【分析】合理变形，再利用乘“1”法计算即可. 【详解】因为，则， 则由题意得， ， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 7．D 【分析】由题意可得 ，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以， 即， 所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. 8．C 【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决 【详解】由，可得， 则，则，令，则 ， 又在单调递增，在单调递减 ，， 则，即 故选：C 9．ACD 【分析】根据基本不等式、基本不等式“1”的妙用求最值，以及完全平方公式可求得结果. 【详解】解：∵， ∴， 即， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最大值为， 故选项A正确，符合题意； ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为， 故选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， ， 当且仅当即时，等号成立， 因为，所以,故选项C正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即最小值为， 当且仅当时，等号成立， 故选项D正确，符合题意； 故选：ACD. 10．BC 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用几何关系得出不等式，需有一定的识图能力与分析能力. 11．AB 【分析】利用“”的代换变形后，再利用基本不等式求出最小值，排除CD项，验证AB项可得. 【详解】令， 由题意，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 由，解得，此时，故A正确； 由，故CD错误； B项，由方程组，又， 解得，故B正确. 故选：AB. 12．5 【分析】先将不等式变形为，然后求出在上的最小值，进而得到的最小值. 【详解】由可得. ，当且仅当，即时取等号. 因为有解，所以，即，解得. 故答案为：5. 13．2 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 14．9 【分析】将转化为，再由展开后利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1），   ，即，        当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当时，取得最小值. 16．（1）；（2）. 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 17．(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【分析】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 18．(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用作差法再根据判断出的符号即可得出列论； （2）根据基本不等式以及等号成立条件计算可得当时，的最小值为； （3）将表达式变形成再利用基本不等式即可得出当时，的最小值为4. 【详解】（1）因为, 由可得， 所以， 即得. （2）因为， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为； （3） ， 当且仅当，且时，即时，等号成立； 此时的最小值为4. 【点睛】关键点点睛：在求解的最值时关键是通过合理变形配凑成积为定值的形式，再根据等号成立的条件计算可得出其最小值. 19．(1)25 (2) (3) 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求得； （2）利用“1”的妙用，将所求式整理后运用基本不等式求解即可； （3）利用柯西不等式求得的最小值，再利用常值代换法求得的最小值，且两式都在时取等，故得所求式的最小值. 【详解】（1）， （1）， 当且仅当，即时，的最小值为25. （2） ，当且仅当， 即时，的最小值是. （3）由柯西不等式（下面提供证明）可知:， 即当且仅当时，即时，等号成立. 又 当且仅当时，即时，等号成立. 故， 即时，的最小值是. 【附注】柯西不等式：，当且仅当时，等号成立． 证明：由 ，当且仅当时，等号成立，故得证. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$