2.1等式性质与不等式性质-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

2.1等式性质与不等式性质（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 13 【提升训练】 24 知识回顾 1. 不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 2. 两个实数的大小关系 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 3. 不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 4. 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津南开·期中）若，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（22-23高一上·浙江宁波·期中）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川达州·期中）已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且， 则 7．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，.则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知均为实数，下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·北京丰台·期末）能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组实数，，的值依次为 ． 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则的大小关系为 . 14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么. 16. (15分) （23-24高一上·云南红河·阶段练习）已知． (1)若，求证：； (2)求证：． 17. (15分) （24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 18. (17分) （23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 19. (17分) （24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B D A A ACD ABC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据等式的性质以及定义特殊值可求得结果. 【详解】取，，可知A，B错误； 因为，所以C正确； 取，可知D错误； 故选：C. 2．C 【分析】根据不等式的性质计算即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于CD，因为，所以，故C正确，D错误. 故选：C. 3．C 【分析】通过举反例可判断ABD；利用作差法可判断C，进而可得正确选项. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，若，，，，则，B错误； 对于C，若，则，即，C正确； 对于D，若，，，，则，D错误. 故选：C 4．D 【分析】结合特值，排除法得到正确选项；作差比较法或利用不等式的性质分析也可以解决问题. 【详解】法一：已知，， 令，，，， 则，，，故A项不正确； 又，，，故B项不正确； 而，故C项也不正确； 所以排除ABC. 法二：在两边同除以负数得，与A项矛盾； ，与B项矛盾； 由，又，， 故不一定小于，故C项不正确； 由得，，又，两式相乘得， 两边同除以负数可得，，故D项正确. 故选：D. 5．B 【分析】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 6．D 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可． 【详解】选项A，当，时，满足，但，A选项错误； 选项B，取，，，，满足且，但，B选项错误； 选项C，当时，有，，， 则，有，C选项错误； 选项D，且，则，， 则，得，D选项正确． 故选：D． 7．A 【分析】利用作差法可判断A；举反例可判断B，C，D. 【详解】对A，根据不等式的性质，若，则， 即，故A正确； 对于B，当时，由，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，取，则，故D错误； 故选：A. 8．A 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 9．ACD 【分析】根据不等式的基本性质，即可判断A,B,C三个选项，对于选项D，用作差法，即可判断. 【详解】对于选项A：因为，所以，又，所以，所以选项A正确； 对于选项B：因为不一定为正数，例如：，但，所以选项B错误； 对于选项C：因为，易知，根据不等式性质，可知，所以选项C正确； 对于选项D：因为， 又，所以，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD. 10．ABC 【分析】对于ABC，举反例即可说明，对于D由作商法即可判断. 【详解】对于A，由，可知A不成立，故A符合题意； 对于B，由，可知B不成立，故B符合题意； 对于C，若，，可知C不成立，故C符合题意； 对于D，若，，可知D成立，故D不符合题意. 故选：ABC. 11．AC 【分析】利用不等式的性质即可求解A，根据作差法即可求解DC，举出反例检验选项B即可判断． 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，若，但，故B显然错误； 对于C，，故，所以，故C正确； 对于D，，又，所以，故D错误． 故选：AC． 12．（答案不唯一） 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】从不等式的性质可知中只要有一个非负，则一定成立，因此当均为负数时不等式可能不成立，如，或等， 故答案为：（答案不唯一）． 13． 【分析】借助作差法后配方即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 14．201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【分析】设购买的商品的标价为元，根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】设购买的商品的标价为元，， 使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元， 由题意，且，解得． 故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 15．(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 【分析】（1）利用不等式的性质可判断原命题的真假； （2）取特殊值可判断原命题的真假； （3）利用不等式的基本性质可判断原命题的真假. 【详解】（1）因为，所以，由不等式的乘法性质得，故原命题为真命题； （2）取，，，满足，但是， 所以原命题为假命题； （3）因为，所以由不等式的开方法则得，故原命题为真命题； 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用作差法证明不等式关系； （2）由分析法，化为证，结合题设即可证结论. 【详解】（1）由，且，， 所以且，则， 故，得证. （2）要证，只需证，而， 所以，得证. 17．（1）；（2）. 【分析】（1）由作差法代入计算，即可判断； （2）由待定系数法可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以； （2）设， 则，解得， 所以， 因为，则， 所以，即. 18．①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 19．（1）证明见解析；（2）（i）实数，则，证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质推理得证. （2）（i）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得.（ii）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）由，得，而，则， 于是，又，所以. （2）（i）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （ii）由（i）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·北京·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·山东临沂·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．（24-25高一上·上海·期中）如果，那么下列不等式恒成立的为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知：，且，下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三角形的形状不变，请你构建不等关系，求出它第三条高长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江·阶段练习）下列不等式成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 7．（24-25高一上·山东德州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（21-22高一上·福建福州·期中）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 11．（24-25高一上·广东广州·期中）已知、为正实数，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．对任意，若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 13．（24-25高一上·全国·课后作业）设，使和同时成立的一个充分条件是 ． 14．（21-22高一上·辽宁葫芦岛·期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为 ；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则； (5)若，则； (6)若，则． 16. (15分) （24-25高一上·广东广州·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：； (3)已知，求证：． 17. (15分) （24-25高一上·山东济宁·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知实数满足，求的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 19. (17分) （23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D C D C C BD BCD 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】举反例说明ABC不成立，根据不等式性质说明D成立. 【详解】当时，有，，所以A错误； 当时，由得，所以B错误； 当时，由得，所以C错误； 由不等式两边同时加上一个数，不等式号不变，D正确, 故选：D 2．B 【分析】利用作差法，以及不等式的性质，即可判断选项. 【详解】A.，其中，，，， 所以，即，故A错误； B.若，若，则，则，若，则，则，故B正确； C.若，则，且，所以，故C错误； D.若，则，，所以，故D错误. 故选：B 3．D 【分析】根据作差法判断各选项的真假. 【详解】对A：因为，因为，所以，则，所以，故A错误； 对B：因为，因为，所以，则，所以，故B错误； 对C：，因为，所以，但，的符号均不能确定，所以的大小不确定，故C错误； 对D：因为，因为，所以，，所以，所以，故D正确. 故选：D 4．D 【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得. 【详解】对于A，可取，满足，但得不到，故A错误； 对于B，可取，满足，但不满足，故B错误； 对于C，可取，满足，但，故C错误； 对于D，因，而，故必有成立，即D正确. 故选：D. 5．C 【分析】设的面积为，第三条高为，根据三角形面积公式及高表示出三条边，根据三角形三边关系列出不等式组，求解即可． 【详解】设，边上的高为，边上的高为，边上的高为，的面积为，则， 所以，显然， 因为， 所以，即，解得， 故选：C． 6．D 【分析】特殊值验证A，B；由不等式性质验证C，D. 【详解】对于A，若，则，此时不成立，故A错误； 对于B，若，则，此时不成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 又因为， 所以，故，故C错误； 对于D，因为，，所以， 因为，，所以，所以，故D正确. 故选：D 7．C 【分析】举例说明可判断，；作差法结合不等式的性质可判断，. 【详解】对于，， 因为，所以，， 所以，即，故错误； 对于，若，，则，，所以，故错误； 对于，， 因为，，所以，所以， 所以，即，故正确； 对于，若，，，， 则，，所以，故错误. 故选：. 8．C 【分析】根据不等式的性质或赋值逐项判断即可. 【详解】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确； 对于B选项：当时，，故B选项不正确； 对于C选项：当时，，，又，， 故C选项正确； 对于D选项：， ，，，，故D选项不正确； 故选：C 9．BD 【分析】举反例排除AC，利用不等式的性质判断BD，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，因为，取，则，故C错误； 对于D，因为，由不等式的性质可知，故D正确. 故选：BD. 10．BCD 【分析】利用不等式性质判断A、B、C，应用作差法判断D. 【详解】A：时有，错； B：由，必有，对； C：由，即，则，对； D：， ，且，，，故， 所以，即，对. 故选：BCD 11．ABC 【分析】利用作差法可判断ABC选项，取，可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，若，则，则，A对； 对于B选项，若，则， 所以，，B对； 对于C选项，， 所以，，C对； 对于D选项，当时，，D错. 故选：ABC. 12．aabb>abba 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba. 13．（答案不唯一） 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的， 所以“”是“和同时成立”的充分条件， 即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件， 所以充分条件可以是． 故答案为：（答案不唯一） 14． 【分析】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，可得出，当时，讨论的取值，结合不等式的性质可求得的最小值；当的值未知时，讨论的取值，结合不等关系可求得的最小值. 【详解】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则. 若，则，可得，则，当时，取最小值， 即男学生人数为，则女学生人数的最小值为； 若的值未知，当时，则，不满足题意， 当时，则，不合乎题意， 当时，则，此时，，则，合乎题意. 故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为. 故答案为：；. 15．(1)真命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 (5)真命题 (6)假命题 【分析】由不等式的基本性质逐个判断即可. 【详解】（1）若，则由不等式的性质得，所以是真命题； （2）若，则由不等式的性质得，所以是真命题； （3）若，，假设，则，所以是假命题； （4）若，则a、b同号，即，所以是真命题； （5）若，则，且，即，所以是真命题； （6）若，当时，为真命题，当时，不一定成立，所以是假命题； 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据不等式的基本性质直接证明即可； （2）利用作差法证明即可； （3）利用作差法证明即可； 【详解】（1）证明：因为， 所以， 又，则. （2）证明：， 因为，所以，，，， 所以， 即. （3）证明：， 因为， 所以，，，， 所以， 即. 17．（1）；（2）. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用不等式的性质即可求解. 【详解】（1）； （2）令 ， 因为， 所以， 所以的取值范围为. 18．(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 19．(1)上位点“坐标”和下位点坐标分别为和 (2)点既是点的“下位点”又是点的“上位点”，证明见解析 (3)4039 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得答案； （2）作差可得，，再根据定义可知结论成立； （3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不恒成立，可得出的最小值. 【详解】（1）由， 根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和． （2）点既是点的“下位点”又是点的“上位点”，证明如下： 点是点的“上位点”， ，， ， ，点是点的“下位点”， ， ，点是点的“上位点”； 点既是点的“下位点”又是点的“上位点”； （3）若正整数满足条件，在,时恒成立， 由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 若，由于， 则对，时不恒成立， 因此，的最小值为4039． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·上海·期中）已知实数x，y满足，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列命题中真命题的序号为（   ） ①若，则，；    ②若，则； ③存在不全等的三角形，使它们的面积相等；    ④面积相等的两个三角形一定是全等三角形． A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 3．（24-25高一上·天津静海·期中）设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·湖北武汉·期末）若，均为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（    ） A．20 B．22 C．26 D．28 6．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东梅州·期中）下列说法中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·广东佛山·期中）在下列四个命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 10．（24-25高一上·浙江丽水·期中）已知，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）下列结论中，所有正确的结论是（ ） A．若，则 B．若且，则 C．命题的否定是： D．若，则实数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 13．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 16. (15分) （24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 17. (15分) （24-25高一上·吉林长春·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?请计算说明. 18. (17分) （24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：. 19. (17分) （22-23高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B B D D C ACD BCD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】作差比较大小判断A；举例说明判断BCD. 【详解】对于A，，而， 则（当且仅当时）因此，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而无意义，C错误； 对于D，取，满足，不成立，D错误. 故选：A 2．A 【分析】①由，等式成立，即可判断；②利用不等式的传递性判断；③④示例：两个直角三角形，直角边分别为和，即可判断. 【详解】①由，时，也成立，假命题； ②若，必有，而，故，真命题； ③两个直角三角形，直角边分别为和，则它们的面积相等，但三角形不全等， 所以存在不全等的三角形，使它们的面积相等，真命题； ④同③示例，知面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，假命题. 故选：A 3．A 【分析】结合不等式的基本性质和作差比较法，以及举反例，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，可得， 对于A中，取，则，故A错误； 对于B中，由，所以，故B正确； 对于C中，因为，所以， 由，所以，故C正确； 对于D中，因为，则，故D正确. 故选：A. 4．B 【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可. 【详解】若，则，则或，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．B 【分析】设教师人数为，由题意判断人数关系，求出的值后，即可求得答案． 【详解】设教师人数为， ∵家长人数多于教师人数， ∴家长人数≥， ∵女学生人数多于家长人数， ∴女学生人数≥， ∵男学生人数多于女学生人数， ∴男学生人数≥， ∴总人数≥， ∵教师人数的两倍多于男学生人数， ∴， ∴， 当时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 故选：B． 【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 6．D 【分析】由对称性，不妨设，已知变形为，，得是方程的两根，由判别式求得范围后可得． 【详解】不妨设是中的最小值，则由得， 由已知，， 所以是方程的两根， 所以，又，所以，，从而， 故选：D． 7．D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，因为，则有， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，又因为， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，且， 所以，故D错误. 故选：D. 8．C 【分析】运用作差法比较大小，结合充分条件和必要条件知识判断即可. 【详解】由，得，所以，则充分性成立； 由，得，则，所以，则必要性成立. 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选:C. 9．ACD 【分析】根据不等式的性质，即可求解ACD，举反例即可求解B. 【详解】对于A，由，则，故，因此A正确； 对于B,取，则， 显然，因此B错误； 对于C，由， 故， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又， 即，即， 又，，即，因此D正确． 故选：ACD． 10．BCD 【分析】由不等式的性质可判断ABC，作差可判断D. 【详解】对于A：当时，，故错误； 对于B：由可得：，所以，正确； 对于C：因为，故，所以，正确； 对于D：， 因为，所以， 所以，正确， 故选：BCD 11．AC 【分析】对A，根据不等式的性质推导即可，对B，利用作差法判断即可，对C，根据特称命题的否定为全称命题判断即可，对D，举反例判断即可. 【详解】对A，，则，又，则，，故A正确； 对B，，因为且，故，即，故B错误； 对C，命题的否定是：，故C正确； 对D，当，时，不成立，故D错误； 故选：AC 12． 且 【分析】理解题意，由题意得出的关系式，再列出不等式组并进行化简，再根据图表中的食品成本数据，用x，y表示混合食物成本c元即可. 【详解】由已知得 , 又， 则 , 由 及 , 整理化简, 得 , 于是得 x，y所满足的不等关系为且 故答案为：；且 13．①②④ 【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：①②④. 14．② 【分析】通过举出反例，可得①③都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知②正确；而④给出的是一个充要条件，也不符合题意 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 15．（1），理由见解析； （2），理由见解析. 【分析】（1）利用作差法，即可求解； （2）通过不等式的性质，即可求解. 【详解】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 16．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）解：由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 17．(1)； (2)变好，理由见详解. 【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得. （2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断. 【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意，，解得， 所以这所公寓的窗户面积至少为. （2）记窗户面积为a、地板面积为b，同时增加的面积为c， 依题意，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 由，且， 得，因此, 所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明；方法四：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法五：构造一次函数， 证明对于，都有即可； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 方法三：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法四：构造一次函数，，证明对，都有即可. 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 方法三：几何法 做边长为的正方体．分别在棱上取点，使得， 过做平面，过做平面，过做平面，交点见图． 长方体的体积， 长方体的体积． 长方体的体积． 正方体的体积． ． 方法四：设． 将看做内的常数，对于一次函数， 有， ． ∴对于，都有， 即． ． 19．(1)20； (2)变好了，详细见解析. 【分析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解； （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则， 所以，所以，所以. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：， 则. 因为，所以. 又因为，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式性质与不等式性质（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 6 【提升训练】 9 知识回顾 1. 不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 2. 两个实数的大小关系 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 3. 不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 4. 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津南开·期中）若，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（22-23高一上·浙江宁波·期中）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川达州·期中）已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且， 则 7．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，.则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知均为实数，下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·北京丰台·期末）能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组实数，，的值依次为 ． 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则的大小关系为 . 14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么. 16. (15分) （23-24高一上·云南红河·阶段练习）已知． (1)若，求证：； (2)求证：． 17. (15分) （24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 18. (17分) （23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 19. (17分) （24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·北京·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·山东临沂·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．（24-25高一上·上海·期中）如果，那么下列不等式恒成立的为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知：，且，下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三角形的形状不变，请你构建不等关系，求出它第三条高长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江·阶段练习）下列不等式成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 7．（24-25高一上·山东德州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（21-22高一上·福建福州·期中）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 11．（24-25高一上·广东广州·期中）已知、为正实数，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．对任意，若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 13．（24-25高一上·全国·课后作业）设，使和同时成立的一个充分条件是 ． 14．（21-22高一上·辽宁葫芦岛·期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为 ；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则； (5)若，则； (6)若，则． 16. (15分) （24-25高一上·广东广州·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：； (3)已知，求证：． 17. (15分) （24-25高一上·山东济宁·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知实数满足，求的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 19. (17分) （23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·上海·期中）已知实数x，y满足，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列命题中真命题的序号为（   ） ①若，则，；    ②若，则； ③存在不全等的三角形，使它们的面积相等；    ④面积相等的两个三角形一定是全等三角形． A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 3．（24-25高一上·天津静海·期中）设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·湖北武汉·期末）若，均为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（    ） A．20 B．22 C．26 D．28 6．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东梅州·期中）下列说法中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·广东佛山·期中）在下列四个命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 10．（24-25高一上·浙江丽水·期中）已知，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）下列结论中，所有正确的结论是（ ） A．若，则 B．若且，则 C．命题的否定是： D．若，则实数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 13．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 16. (15分) （24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 17. (15分) （24-25高一上·吉林长春·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?请计算说明. 18. (17分) （24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：. 19. (17分) （22-23高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$