1.4充分条件与必要条件-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

1.4充分条件与必要条件（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 2 【巩固训练】 5 【提升训练】 8 知识回顾 1. 命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 3. 逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 4. 充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下面命题正确的是（    ） A．使成立的一个充分不必要条件是 B．“”是“”的充要条件； C．已知，则“”是“”的充要条件 D．已知，则“”是“”的必要不充分条件 8．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知条件，，若是的充分不必要条件，则实数的可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 11．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·期中）已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知或，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 14．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 16. (15分) （24-25高一上·重庆·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·广西南宁·阶段练习）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 18. (17分) （24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. (17分) （24-25高一上·河北唐山·阶段练习）已知集合，非空集合． (1)若，求的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求的取值范围． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 2．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）设p: ，q: ，则是成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）集合，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·天津津南·期中）设，则“”是“”的的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）给出下列各组条件： ①：，：；②：，：； ③：，：方程有实根；④：或，：. 其中是的充要条件的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 8．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·安徽池州·期中）设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 10．（21-22高一上·河南濮阳·阶段练习）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，,然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合A的非空真子集的个数是62个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·四川泸州·期中）使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 . 13．（24-25高一上·上海·期中）若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ． 14．（2023高一·全国·单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江苏镇江·期中）设全集，集合，区间，其中． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. (15分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题： 已知集合， (1)若且，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得是的__________条件.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 17. (15分) （23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 18. (17分) （23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. (17分) （23-24高一上·河南安阳·开学考试）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 2．（2023·河北衡水·模拟预测）已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这个条件可以为（    ）. A．B为C的必要条件 B．B为A的必要条件 C．C为D的充分条件 D．B为D的必要条件 3．（2024高三·上海·专题练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 8．（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）设，下列说法中错误的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“，”是“，”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·四川凉山·期末）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则． C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 13．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 14．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知，则“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·山西·阶段练习）已知集合，，. (1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围. (2)若，求实数a的取值范围. 16. (15分) （2022高一·全国·专题练习）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·新疆直辖县级单位·阶段练习）已知集合． (1)求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 19. (17分) （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4充分条件与必要条件（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 2 【巩固训练】 11 【提升训练】 22 知识回顾 1. 命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 3. 逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 4. 充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下面命题正确的是（    ） A．使成立的一个充分不必要条件是 B．“”是“”的充要条件； C．已知，则“”是“”的充要条件 D．已知，则“”是“”的必要不充分条件 8．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知条件，，若是的充分不必要条件，则实数的可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 11．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·期中）已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知或，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 14．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 16. (15分) （24-25高一上·重庆·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·广西南宁·阶段练习）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 18. (17分) （24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. (17分) （24-25高一上·河北唐山·阶段练习）已知集合，非空集合． (1)若，求的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B A D D BCD BC 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性，即可得答案. 【详解】由，充分性成立； 而时，但不成立，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 3．B 【分析】根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 4．D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 5．B 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，因此，是的必要不充分条件. 故选：B. 6．A 【分析】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【详解】由题意,且, 所以,则,可得; 故选：A. 7．D 【分析】而根据充分、必要条件的概念逐一进行判断即可. 【详解】对A：若，则，但不成立，所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对B：由，由或，所以“”与“”不等价，故B错误； 对C：由或，故“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对D：由或，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：D 8．D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 9．BCD 【分析】根据充分不必要条件求出的范围结合选项可得答案. 【详解】由题设，易知是的充分不必要条件， ∴是的真子集， ∴， ∴由选项得实数的值可以是. 故选：BCD． 10．BC 【分析】解方程，利用必要不充分条件的意义求出实数的值. 【详解】由，得或. 解方程，得， 依题意，，，则或，解得或， 所以实数的值为或. 故选：BC 11．BD 【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可； 对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可； 对C， 问题转化为求在区间有解即可； 对D， 由化简即可判断. 【详解】对A， ，若，则， 当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确； 对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确； 对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确. 故选：BD 12． 【分析】利用题给条件列出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围. 【详解】由p是q的充分非必要条件， p：，q：， 可得，即，则实数a的取值范围是 故答案为： 13． 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14． 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【详解】（1）由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）∵p是q的充分不必要条件， ∴， ∴是的真子集． 则不同时取等号，解得． 实数的取值范围为． 16．(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（1）或（2）证明见解析 【分析】（1）根据必要不充分条件得到取值范围； （2）先证明充分性，再证明必要性即可. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明：充分性：若，则， 方程有两个实根， 根据根与系数的关系得， 所以方程有两个异号实根； 必要性：若方程有两个异号实根， 则，即， 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 18．(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 19．(1)； (2)． 【分析】（1）根据交集结果且，列不等式求参数范围； （2）由题设集合是集合的真子集，结合，求参数范围. 【详解】（1）由题意，知， 又，且， 所以或，解得， 故的取值范围为． （2）命题是命题的必要不充分条件， 集合是集合的真子集，且， ∴（等号不能同时成立），解得， 综上，的取值范围为． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 2．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）设p: ，q: ，则是成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）集合，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·天津津南·期中）设，则“”是“”的的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）给出下列各组条件： ①：，：；②：，：； ③：，：方程有实根；④：或，：. 其中是的充要条件的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 8．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·安徽池州·期中）设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 10．（21-22高一上·河南濮阳·阶段练习）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，,然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合A的非空真子集的个数是62个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·四川泸州·期中）使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 . 13．（24-25高一上·上海·期中）若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ． 14．（2023高一·全国·单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江苏镇江·期中）设全集，集合，区间，其中． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. (15分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题： 已知集合， (1)若且，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得是的__________条件.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 17. (15分) （23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 18. (17分) （23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. (17分) （23-24高一上·河南安阳·开学考试）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D B D A D AD CD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确. 【详解】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 2．B 【分析】根据两者的推出关系，得到答案. 【详解】易知，，但不能推出， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B. 3．A 【分析】解一元二次方程求出两个集合，再利用充分不必要条件的定义求解即可. 【详解】令，解得，所以， 令，解得或，所以， 当时，一定成立，故充分性成立， 当时，不一定成立，故必要性不成立， 即”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A 4．D 【分析】先求解，再根据充分不必要条件的性质求解即可. 【详解】则，即，又其充分不必要条件是“”，故，解得，经检验等号满足题意. 故选：D 5．B 【分析】利用举实例判断充分性，利用作差法判断必要性即可． 【详解】①当，时，满足，但不满足，充分性不成立， ②当时，则，，必要性成立， 是的必要不充分条件， 故选：B． 6．D 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义列式求解即得. 【详解】“”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 7．A 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐个判定，即可求解. 【详解】①由，即中至少有一个为0， 又由，可得且，即同时为0， 即，所以是的必要不充分条件； ②由，可得，即， 所以，可得，即， 所以是的充要条件. ③方程有实数根的充要条件是，解得， 所以，所以是有实数根的充分不必要条件. ④：或，：. 所以，所以或是的必要不充分条件. 故选：A. 8．D 【分析】假设为真，验证能否得到，再假设为真，验证能否得到即可得. 【详解】若，则可化为， 则与的解集不同， 故不是的必要条件； 若、的解集都为空集， 如、，此时两不等式解集都为空集， 不满足，故不是的充分条件； 综上所述，是成立的既不充分又不必要条件. 故选：D. 9．AD 【分析】由题意写出集合的元素，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，利用分情况讨论，可得答案. 【详解】由题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以，即或. 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是，. 故选：AD. 10．CD 【分析】由题意知“”为正数，由B是A成立的必要不充分条件，则A真包含于B；由C是A成立的充分不必要条件，则C真包含于A；再根据此数为小于5的正整数，以上三个描述同时成立推导得的数值，即可得到选项. 【详解】由题意知“”为正数，则,，， 由B是A成立的必要不充分条件，则A真包含于B，故 由C是A成立的充分不必要条件，则C真包含于A，故，得出<3，所以， 又此数为小于5的正整数，或 故选：CD 11．BCD 【分析】根据新定义求得，即可判断AB；根据充分条件和必要条件、集合间的包含关系求出m，即可判断CD. 【详解】时，，时，， 时，，时，， 时，，时，， ∴，集合A的非空真子集有：个．故A错误，B正确； 又若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确； 若，当时，； 当时，， 综上，∴D正确． 故选：BCD． 12．(答案不唯一). 【分析】由方程有实根，可得判别式非负，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件. 【详解】因为方程有实根， 所以，即，解得， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为： (答案不唯一). 13． 【分析】由是的充分非必要条件，由集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】不等式，即，解得， 若是的充分非必要条件， 所以集合是集合的真子集， 则有，不同时取等号，解得， 实数m的取值范围是. 故答案为： 14．充分必要 【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果. 【详解】若，则，则，故成立， 若，则，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充分必要 15．(1)， (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得，. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1），解得，所以， 当时，，所以， 或，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则， 所以，且等号不同时成立， 解得. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】由于且， 可得或，求解即可得到答案. 利用中的集合对①②③中的三个条件分别进行判断即可得. 【详解】（1），且， 可得或， 所以或， 故， 所以实数的取值范围为. （2）若选①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集， 因为，集合， 所以且前两个不等式等号不能同时成立， 所以， 所以实数的取值范围是； 若选②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 因为，集合， 所以且等号不能同时成立，所以， 所以实数的取值范围是； 若选③，即是成立的充要条件，集合等于集合， 因为，集合， 所以，方程组无解， 所以满足题意的不存在. 17．(1)不存在，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据是成立的充要条件可得，再根据不等式区间端点对应相等列式求解即可； （2）根据充分与必要条件可得集合的包含关系，再根据区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 18．(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 19．(1)； (2). 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 2．（2023·河北衡水·模拟预测）已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这个条件可以为（    ）. A．B为C的必要条件 B．B为A的必要条件 C．C为D的充分条件 D．B为D的必要条件 3．（2024高三·上海·专题练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 8．（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）设，下列说法中错误的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“，”是“，”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·四川凉山·期末）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则． C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 13．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 14．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知，则“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·山西·阶段练习）已知集合，，. (1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围. (2)若，求实数a的取值范围. 16. (15分) （2022高一·全国·专题练习）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·新疆直辖县级单位·阶段练习）已知集合． (1)求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 19. (17分) （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A B A C B BC CD 题号 11 答案 CD 1．A 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 2．A 【分析】先由题设条件得到，再利用充要条件的传递性对选项逐一分析即可. 【详解】因为A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件， 所以，即， 对于A，若B为C的必要条件，即，则， 所以A、B、C、D互为充要条件，则A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，故A正确； 对于B，若B为A的必要条件，即，则，易得不是的必要条件，故B错误； 对于C，若C为D的充分条件，即，则，易得不是的必要条件，故C错误； 对于D，若B为D的必要条件，即，则且，易得不是的必要条件，故D错误. 故选：A 3．A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】，或， 所以前者可以推得后者，后者不能推得前者， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．A 【分析】由题可知命题的否定是真命题，根据一元二次不等式的存在性问题求解即可. 【详解】依题意，是真命题， 所以在R上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在R上一定有解，故满足题意； 当时，若在R上有解，则，解得， 综上所述，， 因此命题的否定是真命题的充要条件为， 所以命题的否定是真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：A. 5．B 【分析】解出不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式等价于等价于，所以， 即，解得或， 故能推出成立，但是成立不一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 7．C 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 8．B 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可. 【详解】对于A，因为的解集为， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，“”时，“”一定成立， 反之“”成立时，“”不一定成立，如举例， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，“”不一定成立， 例如，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当 “”时，满足“”；当“”时， 但不一定“”，例如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：B 9．BC 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 10．CD 【分析】A选项，根据定义判断；B选项，根据集合中的元素个数计算；C选项，根据“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，然后求的范围即可；D选项，分和两种情况分析即可. 【详解】时，时，， 时，，时，， 时，，时，， ，集合的非空真子集有个，所以A，B错误． 又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确． 若，则时，； 时，， 综上，D正确． 故选：CD. 11．CD 【分析】根据充分条件定义可知A错误，对参数是否为零进行分类讨论可得或，即B错误；利用韦达定理可判断C正确，由可得是集合的子集，可得D正确. 【详解】对于A，易知能推出，因此的一个充分条件是，即A错误； 对于B，若集合中只有一个元素，当时满足题意； 当时，需满足，可得，因此可得或，即B错误； 对于C，由可知一元二次方程的判别式， 即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，可知充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负， 即，也即，即必要性成立，所以C正确； 对于D，由可知是集合的子集， 所以集合可以是，共4个，即D正确. 故选：CD 12．（1）（2）（3） 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 13． ④ ① 【分析】分别求出条件①②③④的充要条件，然后由充分条件、充要条件的定义即可求解. 【详解】由题意有：①或，即，至少有一个为0； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正数一负数； ③，为任意实数或，均为0； ④或，即，都不为0． 综上可知：（1）使，都不为0的充分条件是④；（2）使，至少有一个为0的充要条件是①． 故答案为：④；①． 14．充要 【分析】根据集合之间的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则，故，充分性成立； 由，则，故，必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 15．(1) (2) 【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可； （2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件， 所以，解得，. （2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为. 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答. （2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为. （2）命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而， 则，无解， 所以实数的取值范围. 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义结合已知条件求解即可； （2）由，得，从而可列出关于的不等式，进而可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以， （2）因为，所以， 因为， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是． 18．(1)，， (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1），， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. （2），， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. （3）由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为. 19．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明； （2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是. 【详解】（1）充分性：若，则； 当时，可得 若，可得或； 当时，；即可得 所以可得集合中至少含有两个元素，可知， 当时，可得；此时当时，即可得； 此时，满足；综上可知充分性成立； 必要性：因为为非空集合，所以可知当时， 可知方程的所有实数根都是方程的实根， 即可得， 即，可得，所以必要性成立； 综上可得，的充要条件是； （2）若时，满足； 由（1）中的结论可得， 此时； 当时，可得，此时，符合题意； 当时，可得，此时； 为使可知，集合； 对于方程，令 ①当时，即时，，符合题意； ②当时，即时，此时，但且，不合题意； ③当时，即或时，， 为使，需满足或，即，解得； 这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意； 综上可知，满足题意的的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果. 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$