1.3集合的基本运算-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用

1.3集合的基本运算（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 11 【提升训练】 23 知识回顾 1. 并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 2. 交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 3. 交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 4. 全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 5. 补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·湖北武汉·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知集合.若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一上·河北保定·期中）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）图中阴影部分用集合表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·四川泸州·期中）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·河南漯河·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·天津·期中）已知集合，或，且，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，且，，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知全集，集合，集合．求： (1)求； (2)求； (3)求． 16. (15分) （24-25高一上·河北唐山·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·河北保定·期中）若集合，. (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·天津北辰·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·湖南怀化·阶段练习）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A A C A D AB AD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2．B 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，解得． 故选：B. 3．B 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 4．A 【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项. 【详解】由及集合中元素的互异性可得或，故实数的取值集合为. 故选：A. 5．A 【分析】根据集合的并集、补集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以 故选：A 6．C 【分析】根据补集的定义及集合的特性计算即可. 【详解】因为集合，，又， 所以,解得或. 当时，集合A互异性不成立舍去； 当时，符合题意； 所以. 故选：C. 7．A 【分析】根据集合的交集与补集运算即可得答案. 【详解】全集， 又，，则， 所以. 故选：A. 8．D 【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可； 【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则， 解得，即同时参加了3个小组的人数为8． 故选：D. 9．AB 【分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案. 【详解】根据图象可知，阴影部分表示的集合是， 所以AB选项正确、C选项错误. 而，不符合题意，D选项错误. 故选：AB 10．AD 【分析】由题干中所定义集合运算，结合题意可得答案. 【详解】因为，，， 所以，， ，. 故选：AD． 11．ACD 【分析】根据题意，作出韦恩图，结合图形可得集合A、B，根据真子集的定义和并集的定义与运算即可判断CD. 【详解】由题意知， 作出韦恩图，如图，    由图可知，故A正确，B错误； 所以集合的真子集个数为个，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】对和两种情况进行分类讨论即可得到答案. 【详解】若，则对任意，有，从而，即. 这表明，满足条件； 若，显然，不满足条件. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13． 【分析】结合数轴即可列出不等式. 【详解】因为或,且, 所以, 故答案为：. 14． 【分析】根据集合间的运算结果推出，并画出韦恩图验证，得到答案. 【详解】由题意得， 又，故， 又，故，且，， 因为，故，， 因为，故，， 综上：，画出韦恩图如下： 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【分析】由交集，并集和补集的定义易得结果. 【详解】（1）由并集定义得：； （2）由交集定义得：； （3）由补集定义得：，所以. 16．(1)，. (2) 【分析】（1）把代入，利用并集、交集的定义直接求解. （2）利用给定的交集结果，列式求出. 【详解】（1）当时，，而， 则，. （2）由，得或，解得或， 所以的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论. 【详解】（1）因为， ∴，又 ∴. （2）∵，∴， ∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 18．(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）应用集合交并补运算求集合； （2）根据题设有、列不等式求参数范围； （3）由题设，讨论集合，列对应不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则或，又， 所以，. （2）由题设，则， 由，则， 所以. （3）由，若时，， 若，得，即， 所以，只需. 综上， 19．(1)，或 (2) 【分析】（1）根据并集和补集的概念计算； （2）根据，可以知道两个集合数轴上表示，要有公共部分，比较端点即可. 【详解】（1）因为 所以，所以或 （2）因为，且，即集合数轴表示要有公共部分， 所以，即的取值范围是. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 4．（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 6．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知集合满，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校被调查的200位学生阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数值是（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 8．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3. B．若，则或 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则. 11．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，，若，则实数的最大值为 ． 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则 . 14．（21-22高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·山东滨州·阶段练习）集合，，. (1)若，求实数a的取值范围， (2)若，求实数a的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合. (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 18. (17分) （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C C D A A BD AD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】由题意，图中阴影部分所表示的集合为，进而结合交集和补集的定义求解即可. 【详解】已知全集，集合，， 则， 图中阴影部分所表示的集合为 故选：C. 2．B 【分析】化简集合，即可求出中元素的个数. 【详解】由题意， 因为，所以，有4个元素， 故选：B. 3．C 【分析】由题意设出集合得到集合以及中元素的个数，即可得出中元素的个数． 【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人， 故选：C． 4．C 【分析】由集合的交补运算即可求解. 【详解】由题意，， 所以， 故选：C 5．C 【分析】由，可得，，故，从而求出的值即可. 【详解】由可得，，故， ，解得， 故选：C. 6．D 【分析】根据集合并集运算的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以必有，因此集合可以是， 因此集合的个数为4， 故选：D 7．A 【分析】设调查了200位学生构成全集，读过《大学》的60位构成集合，阅读过《论语》的有160位构成集合，阅读过《中庸》的有20位构成集合，根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】设调查了200位学生构成全集，读过《大学》的60位构成集合， 阅读过《论语》的有160位构成集合，阅读过《中庸》的有20位构成集合， 可得， 因为阅读过《大学》或《论语》的有180位，即， 所以， 又因为阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位， 可得, 根据题意，作出韦恩图，如图所示： 可得被调查的200位学生阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》学生人数值是： 人. 故选：A.    8．A 【分析】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的 包含关系验证或可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 9．BD 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合但不属于集合，故符合要求， 故选：BD 10．AD 【分析】求出集合，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D作答. 【详解】对于A，全集，由，得， 则是方程的两实根，解得，A正确； 对于B，由，得， 因此，解得，则，B错误； 对于C，依题意，当时，由，得，此时集合中只有一个元素； 当时，集合中最多只有一个元素，即一元二次方程最多一个实根， 于是，解得，所以实数a的范围是或，C错误； 对于D，因为，所以当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，D正确. 故选：AD 11．AD 【分析】由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，集合，集合，则A， 若，则实数的取值范围是； 若，则实数的取值范围是， 故选：AD. 12． 【分析】由得到，再结合条件，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又，， 所以，则实数的最大值为， 故答案为：. 13． 【分析】先求出集合，再根据交集和并集的结果得方程的根，即可求出参数，从而得解，注意验证参数得到的集合是否满足题意. 【详解】，因为，， 所以，即是方程的解， 所以，解得， 当时，方程的根为，此时， 满足，，符合题意， 所以. 故答案为： 14． 【分析】当时，，此时符合题意；当时，，求出再与集合进行交集运算，根运算的结果列不等式，解不等式即可求解. 【详解】当时，，解得：，此时， ，符合题意； 当时，，解得， 因为集合，， 所以或， 因为， 所以，解得：， 所以时，， 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)； (2)或． 【分析】（1）由，得，由集合包含关系得不等式组，解之可得； （2）由，得或，解之可得． 【详解】（1）由，得， 所以，解得； （2）因为，所以或，所以或． 16．(1) (2) 【分析】（1）把代入集合，再利用集合的交并集运算即可得解； （2）利用并集的运算结果得到集合的包含关系，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】（1）当时，，又， 所以. （2）由，得，而，， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，解得， 综上，，即实数的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据交集概念求出答案； （2）根据补集的概念求出，结合，从而得到，得到答案. 【详解】（1）当时，，所以． （2）因为集合，所以， 又，所以，解得． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 19．(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【详解】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 7．（24-25高一上·北京·阶段练习）设A，B为两个非空有限集合，定义，其中表示集合S的元素个数.某学校甲､乙､丙､丁四名同学从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．64 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设全集为小于9的正整数}，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 11．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·山西·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，，若，则实数 ． 14．（23-24高一·全国·单元测试）设集合且A中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 16. (15分) （24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）设集合，非空集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·上海·阶段练习）已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足. (1)直接写出该一元二次方程； (2)若，求的取值范围； (3)若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，． (1)若集合，求和． (2)已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C A B C BD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】解不等式，求出集合，并利用交集的概念求出答案. 【详解】因为，，所以. 故选：C 2．A 【分析】首先化解集合，又，即可得到或，解得即可. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，显然， 因为，所以或， 解得或， 即实数的取值范围为或. 故选：A 3．B 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以. 故选：B. 4．A 【分析】根据题意得分析得，再对集合中参数与的关系作分类讨论，根据子集关系确定出的范围. 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 5．C 【分析】由集合关系结合并集补集的运算即可判断， 【详解】对于集合， 当时， 当时， 所以, 又,, 所以, 故选：C 6．A 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 7．B 【分析】对于①③，直接根据定义计算，即可判定；对于②，通过定义计算得到必为偶数，讨论和，两种情况下的求解，即可判定；对于④，通过举例{物理，地理，历史}，即可判定. 【详解】对于①中，由，所以，所以， 又由{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，所以①正确； 对于②，由，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以且，此时情况较多，比如：{物理，地理，生物}，所以②错误； 对于③中，若{思想政治，物理，生物}， 则， 所以，所以③正确； 对于④中，当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{思想政治，地理，化学}，所以④错误. 故选：B. 8．C 【分析】设，由题意结合两集合元素个数和为，可推理出，按的取值分类求解即可. 【详解】若时，， 则，则， 这与题意矛盾，故不满足题意； 故. 设A中元素的个数为， 则B中元素的个数为，且， 由且，得，. ①当时，则，又， 所以，满足题意； ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则；以上情况都满足题意； ③当时，即，则，， 但此时，故产生矛盾，所以不满足题意； ④当时，则由且，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有个， 即不同集合的个数有个； ⑤当时，则由，得，又， 所以，满足题意； 综上，满足条件的所有不同集合A的个数为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则；若，，则，且. 9．BD 【分析】根据题意得到，所以，可能属于，也可能不属于，求出答案. 【详解】因为全集，集合， 所以，所以， 可能属于，也可能不属于， 根据选项可知B，D正确． 故选：BD 10．ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 11．ABD 【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确； 对于B，集合所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 12． 【分析】根据交集的结果，说明两个集合有公共元素，从而得参数范围． 【详解】因为，且，所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 13．或 【分析】根据条件先判断出，然后再对进行分类讨论，结合集合中元素的互异性求解出结果. 【详解】因为，所以，所以或， 当时，或， 若，，满足要求； 若，，不满足集合元素的互异性； 当时，或， 若，，不满足集合元素的互异性； 若，，满足要求； 综上，的取值为或， 故答案为：或. 14．17 【分析】由已知中A⊆{1，2，3，…，37}，且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A中元素的最多个数，得到答案 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： A0＝{5，10，15，20，25，30，35}，则card(A0)＝7 A1＝{1，6，11，16，21，26，31，36}，则card(A1)＝8 A2＝{2，7，12，17，22，27，32，37}，则card(A2)＝8 A3＝{3，8，13，18，23，28，33}，则card(A3)＝7 A4＝{4，9，14，19，24，29，34}，则card(A4)＝7 A中的任何两个数之和不能被5整除，故A1和A4，A2和A3中不能同时取数，且A0中最多取一个 ∴最多的取法是取A1∪A2和A0中的一个元素， 故n的最大值为17 故答案为：17 【点睛】本题考查了集合的并集运算并求元素个数，应用抽屉原理结合余数对集合元素作分类，进而通过不同的取数组合，讨论在任意两数之和不可被5整除的条件下使目标集合元素最多的情况，并应用集合运算求集合，并确定元素个数 15．(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 16．(1)或. (2) 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 17．(1)1或 (2) 【分析】（1）求出集合，由，得，由此即可求解. （2），从而，当为单元素集时，，当为双元素集时，，由此列式即可求解. 【详解】（1），即，解得或， 所以， 又，， 则， 即，解得或， 当时，，即，符合， 当时，， ，解得，，符合， 故或. （2），则， ①当为单元素集时，，化简得， 即，解得或， 当时，由（1）知，符合题意； 当时，， ，解得， 所以，不符合题意，舍去. ②当为双元素集时，， 所以，无解， 综上：实数的取值范围为. 18．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出，利用根与系数的关系可写出该一元二次方程； （2）分析可知，以及已知条件和，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）根据题意可得出，再由可得出的取值范围，确定正整数的可能取值，然后结合题意逐一检验即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以，， 所以，这个一元二次方程为，即， 即. （2）解：因为 ，可得， 因为，则，可得，则， 对于方程，，可得， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （3）解：由，可得， 因为集合，，且中元素个数不超过， 则，即， 可得，所以，， 所以，正整数的可能取值集合为， 当时，方程为，解得，，则，合乎题意； 当时，方程为，解得，， 此时，，合乎题意. 综上所述，正整数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键在于根据中的元素不超过，分析出，在求出的可能取值后，逐一检验即可. 19．(1)；. (2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果； （2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得，从而可得，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得，则，然后分别考虑属于时的情况，再考虑，时，由是有限集即可舍去，从而证明. 【详解】（1）由题意可得，. （2）（ⅰ）设，则， 因为，所以，所以， 即，因此， 因为，所以，所以， 由此可知中至少有和两个元素，所以， 故或. （ⅱ）设，因为，所以， 又因为，所以，即， 若，则，故可以是； 若，则，故可以是，； 若，则，故可以是，； 若，则， 像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集； 若，则， 同样不符合是有限集； 同理可得，当或时，也不符合是有限集； 综上，可以是，，，，， 均满足. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 6 【提升训练】 9 知识回顾 1. 并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 2. 交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 3. 交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 4. 全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 5. 补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·湖北武汉·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知集合.若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一上·河北保定·期中）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）图中阴影部分用集合表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·四川泸州·期中）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·河南漯河·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·天津·期中）已知集合，或，且，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，且，，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知全集，集合，集合．求： (1)求； (2)求； (3)求． 16. (15分) （24-25高一上·河北唐山·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·河北保定·期中）若集合，. (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·天津北辰·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·湖南怀化·阶段练习）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 4．（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 6．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知集合满，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校被调查的200位学生阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数值是（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 8．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3. B．若，则或 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则. 11．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，，若，则实数的最大值为 ． 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则 . 14．（21-22高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·山东滨州·阶段练习）集合，，. (1)若，求实数a的取值范围， (2)若，求实数a的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合. (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 18. (17分) （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 7．（24-25高一上·北京·阶段练习）设A，B为两个非空有限集合，定义，其中表示集合S的元素个数.某学校甲､乙､丙､丁四名同学从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．64 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设全集为小于9的正整数}，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 11．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·山西·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，，若，则实数 ． 14．（23-24高一·全国·单元测试）设集合且A中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 16. (15分) （24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）设集合，非空集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·上海·阶段练习）已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足. (1)直接写出该一元二次方程； (2)若，求的取值范围； (3)若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，． (1)若集合，求和． (2)已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$