1.1集合的概念与1.2集合间的基本关系-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

1.1-1.2集合的概念及集合间的基本关系（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 5 【提升训练】 8 知识回顾 1. 元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 2. 集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 3. 元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 4. 常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 5. 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 6. 描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 7. 子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 8. 真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 4.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C： ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC. 9. 空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023高二上·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 8．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，则下列各项为中的元素的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 11．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合中有两个元素 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，且，则 . 13．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知集合，，且，则 ． 14．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是 ；若，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知方程． (1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式； (2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值 16. (15分) （24-25高一上·湖北随州·阶段练习）（1）设集合，，当时，集合的真子集有多少个？ （2）当时，实数的取值范围是多少？ 17. (15分) （24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 18. (17分) （24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 7．（22-23高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）有下列命题：①关于的方程是一元二次方程；②抛物线与轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·四川南充·期中）若集合，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列关于集合的说法不正确的有（    ） A． B．任何集合都是它自身的真子集 C．若（其中），则 D．集合与是同一个集合 11．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 13．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 14．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，若且，则的取值范围 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知，且． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 19. (17分) （23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一上·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 10．（21-22高一上·广东深圳·期中）设函数，集合，设，则下列说法正确的是（    ）. A． B．一定等于9 C．可能等于8 D．时， 11．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为 13．（21-22高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 14．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有 个数是. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 16. (15分) （23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 17. (15分) （22-23高一上·河南·期中）已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 18. (17分) （22-23高一上·广东江门·阶段练习）（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高三上·山东·期中）已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”. (1)若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合必为“理想集”. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1-1.2集合的概念及集合间的基本关系（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 11 【提升训练】 21 知识回顾 1. 元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 2. 集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 3. 元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 4. 常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 5. 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 6. 描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 7. 子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 8. 真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 4.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C： ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC. 9. 空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023高二上·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 8．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，则下列各项为中的元素的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 11．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合中有两个元素 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，且，则 . 13．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知集合，，且，则 ． 14．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是 ；若，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知方程． (1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式； (2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值 16. (15分) （24-25高一上·湖北随州·阶段练习）（1）设集合，，当时，集合的真子集有多少个？ （2）当时，实数的取值范围是多少？ 17. (15分) （24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 18. (17分) （24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C C C B C ABD BCD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 2．A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 3．D 【分析】直接根据集合的互异性即可得结果. 【详解】由集合的互异性可得，即， 所以不能取的数值的集合是， 故选：D. 4．C 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 5．C 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】由可得， ，故不同的的个数为. 故选：C 6．C 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 7．B 【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的为突破口，分类讨论求出的值. 【详解】集合，两个集合中元素完全相同， 由，则有，得，有， 所以，由集合中元素的互异性，有，得， 则有. 故选：B. 8．C 【分析】对参数进行讨论，再结合真子集的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】当时，是空集，而令，解得或， 所以，得到不是空集，而空集是任何非空集合的真子集， 故符合题意，当时，令，解得， 所以，令，解得，令， 解得，故的取值范围为，故C正确. 故选：C 9．ABD 【分析】元素与集合的关系，就是看元素是否符合集合的要求，逐个验证即可. 【详解】A选项：，且，∴，故A正确； B选项：，且，∴，故B正确； C选项：，且，∴，故C不正确； D选项：，且，∴，故D正确. 故选：ABD 10．BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 故需使或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 11．BD 【分析】A选项，分别求出两个集合的范围即可判断；B选项，该集合中是5的正因数，求出集合即可判断；C选项，由集合与元素的关系解出参数值，注意互异性；D选项，弄清集合内元素的特征即可做出判断. 【详解】对于A，，，则，所以A选项错误； 对于B，因为集合，所以它的元素有两个，所以B选项正确； 对于C，因为集合，且，所以或． 当时，解得：或．而，不符合元素的互异性， 故或，所以C选项错误． 对于D，集合是由奇数组成的集合，集合是由被4除余1的整数组成的集合，则，故D选项正确． 故选：BD. 12．4 【分析】根据集合相等，即两个集合的元素相同，即可求解. 【详解】∵，∴集合中的元素相同， 故，则. 故答案为：4 13． 【分析】利用集合间的基本关系及元素与集合的关系计算即可. 【详解】由题意，，且，可知，所以. 故答案为： 14． 或 【分析】根据集合的互异性求解即可. 【详解】对于①，由集合的互异性知，； 对于②，当时，即或， 由集合的互异性得满足条件，不满足； 当时，即或， 由集合的互异性得满足条件，不满足； 综上所述，或. 故答案为：①，②或. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据判别式小于0可得； （2）由韦达定理可解. 【详解】（1）若方程的解集为，则方程无实数解， 所以，即实数a，b满足 （2）由题意可知1，3是方程的两根， 由韦达定理有，即 16．(1)15；（2） 【分析】（1）由题意可得中共8个元素，从而可得结果； （2）根据子集关系,分类列不等式即可求解. 【详解】（1）当时，,,0,，共4个元素， 的真子集的个数为个； （2）由，得①若，则，即， ②若，则解得. 综上，实数的取值范围是. 17．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 18．(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 19．(1) (2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 7．（22-23高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）有下列命题：①关于的方程是一元二次方程；②抛物线与轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·四川南充·期中）若集合，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列关于集合的说法不正确的有（    ） A． B．任何集合都是它自身的真子集 C．若（其中），则 D．集合与是同一个集合 11．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 13．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 14．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，若且，则的取值范围 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 17. (15分) （24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知，且． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 19. (17分) （23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C C B C ABD ABD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 2．C 【分析】结合元素与集合的关系计算即可得. 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 3．D 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 4．B 【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B 5．C 【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可. 【详解】空集是任何非空集合的真子集，所以，A正确； 有理数集的补集为无理数集，所以，B正确； 正整数集不包括元素0，所以，C错误； 表示自然数集，表示整数集，所以，D正确． 故选:C． 6．C 【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 7．B 【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果. 【详解】因为 所以有，解得或 当时，不满足集合中元素的互异性， 故 则 故选:B. 8．C 【分析】①举反例可知；②由判别式符号变化可判断；③由集合相等的概念可知；④由空集的规定与真子集概念可得. 【详解】①当时，关于的方程不是一元二次方程， 故①不是真命题； ②由抛物线知，， 令，则， 当时，，则方程无解， 即抛物线与轴没有交点， 故②不是真命题； ③若，且则， 即互相包含的两个集合相等， 故③是真命题； ④由规定空集是任何集合的子集， 设任意非空集合，则存在元素，且， 则由真子集概念可知，空集是任何非空集合的真子集， 故④是真命题． 综上，真命题的个数为. 故选：C. 9．ABD 【分析】通过，两类情况讨论即可求解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，由题意可知：或，解得或， 综上的值可以是-1，0，1， 故选：ABD 10．ABD 【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项． 【详解】中含有一个元素，不是空集，A错； 任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B错； 由集合相等的定义得，，C正确； 集合中元素是实数，集合中元素是有序实数对，不是同一集合，D错， 故选：ABD． 11．BC 【分析】选项A：由二次根式和绝对值的非负性可得解集；选项B：由，的正负性分类可得；选项C：由得，故为2的倍数，取为2的非负整数倍可得；选项D：取为6的因数可得. 【详解】选项A：方程的解为，解集为，故A错误； 选项B：由知，， 当，同为正数时，； 当，一正一负时，； 当，同为负数时，， 故由所确定的实数集合为，故B正确； 选项C：， ，当时，；当时，；当时，， 故集合可以化简为，故C正确； 选项D：， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 故中含有4个元素，故D错误， 故选：BC 12． 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 13． 【分析】分离常数，即可根据整除求解，相加即可求解. 【详解】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 14． 【分析】根据且，列不等式组求的取值范围. 【详解】因为，且， 所以，解得，， 因此的取值范围为, 故答案为：. 15．(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 16．(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 17．(1) (2) 【分析】（1）将集合化简，再由集合的补集以及并集运算，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为非空集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，，则， 又，则或， 所以. （2）是的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则，且等号不能同时取到，解得， 所以的取值范围是. 18．(1)B A (2)或． 【分析】（1）解出集合，再判断结果即可； （2）分和两种情况分别在时求出对应的即可； 【详解】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 19．(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一上·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 10．（21-22高一上·广东深圳·期中）设函数，集合，设，则下列说法正确的是（    ）. A． B．一定等于9 C．可能等于8 D．时， 11．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为 13．（21-22高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 14．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有 个数是. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 16. (15分) （23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 17. (15分) （22-23高一上·河南·期中）已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 18. (17分) （22-23高一上·广东江门·阶段练习）（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高三上·山东·期中）已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”. (1)若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合必为“理想集”. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C C A D ABC ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 【详解】对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. 故选：B. 2．C 【分析】根据题意得到无实数根，故根据根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，故无实数根， 故，解得， 故的取值集合为. 故选：C 3．C 【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 4．B 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 5．C 【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数. 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 6．C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 7．A 【分析】选项A，B和C，利用方程至少有一个根，所有解的个数取决于；方程的解得个数取决于及，逐一分析判断即可得答案；选项D，根据条件得到，，，设为的一个根，从而得到，即为方程的根，即可求解. 【详解】令，， 对于选项A，当时，方程无实根， 所以，，或； 当时，，由得，此时； 当，时，，由得，此时，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有且只有一根，又一定是的根，所以， 又且时，无解，此时，所以选项B错误， 对于选项C，若时，则有且只有根， 又一定是的根，所以且，或且， 当时，存在，使且，此时只有一根，所以选项C错误， 对于选项D，当时，方程有三个根，所以，，， 设为的一个根，即，则， 且，所以为方程的根， 故有三个根，即时，必有，所以选项D错误， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分理解二次函数的根与系数的关系，观察分析两函数的区别与联系，从而得解. 8．D 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 【点睛】关键点点睛：需要判断题中说的所有条件，先利用条件③判断单位元，然后再利用条件④判断逆元. 9．ABC 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】因为集合且，若， 因为，故，故， 又， 故即， 又，故即，故. 对于①：，故①正确； 对于②：，故②正确； 对于③：，故③正确； 故选：ABC 10．ABD 【分析】由解集为正整数解集可知，，，再结合，即可判断各选项. 【详解】令，则， 因为解集为正整数解集，而， 当时，；当时，； 当时，，符合正整数解集. 因为只有3个正整数解，又，所以 对于A，，A对； 对于B， ，B对； 对于C，由B选项可知，C错； 对于D，时，，D对. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】根据题意，对集合是否为空集进行分类讨论，再对参数利用元素与集合间的关系进行分类计算即可. 【详解】将整理可得， 由可得，当时，可知，此时满足题意； 当时，可知，则易知，； 又，所以是方程的根； 即，所以，解得或； 经检验符合题意； 综上可知，或或. 故选：ABD 12． 【分析】若，此时，为的根，再分和两种情况，求出相应的， 得到两个三元数对，若，即，此时为的根，同理可得到两个三元数对，得到答案. 【详解】由题意得为方程的一个解， 是的一个解， 若，即，此时为的根， 故是的根，将代入得①， 若②， 式子①②联立得，此时中也只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，则是的另一个根， 故③， 式子①③联立得，此时中也只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，即，此时为的根， 故为的根，即④， 若⑤， 式子④⑤联立得，此时中只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，则是的另一个根， 故⑥， 式子④⑥联立得，此时中只有两个元素， 故一个三元数对为， 故答案为： 13．/ 【分析】依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得； 【详解】因为集合，且 所以或 （1）当时，此时，符合题意. （2）当时，解得或 当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去； 当时，符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 故答案为： 14．1008 【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果. 【详解】因为，且，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则，， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1008. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据和，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可. 15．(1)不能取0和4； (2)． 【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案； （2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 16．(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【分析】（1）令得到答案； （2）利用反证法进行证明或者构造一元二次方程利用判别式法证明； （3）设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，求出答案. 【详解】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2， 因为，故可设， ，两边同时除以得，， 因为，所以，与矛盾，不合要求， 故假设不成立，元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得：（舍）或，即， 所以至少有一个大于2. （3）设正整数集为“三元和谐集”， 则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案； （2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】（1）． 因为，均有，所以． 当时，，满足题意； 当时，，解得，所以． 综上，，即的取值范围是． （2）证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 18．（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据相等集合的概念可得或，解之，结合集合元素的性质即可求解； （2）易知，根据集合间的包含关系画出数轴，结合数轴建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）由已知，得或. 当时，解得或； 当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. （2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示， 或 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 19．(1)不是“理想集”，是“理想集”. (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分别取集合中的三个数，利用列举法，可得答案； （2）利用分类讨论的思想，根据集合的元素个数，结合元素的大小关系，可得答案； （3）利用反证法，任意取三个元素，假设不等式成立，结合元素之间的大小关系，可得答案. 【详解】（1）不是“理想集”，是“理想集”. 由题意，令，则； 令，则；令，则； 令，则；所以不是“理想集”. 令，则，所以是“理想集”. （2）共16个“理想集”. 若，有. 当时，若，则，由可知，故或； 若，则，由可知，则，故. 故含有三个元素的“理想集”，或，共3个. 当时，，，，，，，或，共7个. 当时，，，，，，共5个. 当时，，共1个. 综上所述，所有“理想集”的个数为16个分别为：，，，，，，，，，，，，，，，. （3）若，记且. 利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有， 则，，，…，. 记，于是，则. 因此，矛盾. 故集合必为“理想集”. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$