精品解析：福建省南安市侨光中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

侨光中学2024年秋季高二年第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分) 命题者：林凤灵 审题者：李垂锴 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若数列满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. 4 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 点与圆的位置关系是（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定，与的取值有关 6. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 7. 已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则 B. 当时， C. 当时，直线的倾斜角为 D. 直线始终过定点 10. 已知双曲线，点，在上，的中点为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的右焦点为 C. 与圆没有交点 D. 直线的方程为 11. 设为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，交抛物线于点，则（ ） A. 若，则 B. 是的中点 C. 不可能是等边三角形 D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，，若，则____________． 13. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是______． 14. 点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是__________. 四、解答题，本大题共5小题，共77分.解答请写在答题卡上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 16. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长. （1）求的方程； （2）若直线过的右焦点与交于，两点，，求直线的方程. 17. 如图，在直三棱柱中， 分别为的中点，点Q在线段上． （1）当时，证明：B，N，M，Q四点共面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为时，求的长度． 18. 已知圆O：，直线l：． （1）若直线l与圆O相切，求k的值； （2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当为锐角时，求k的取值范围； （3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点，若过定点，则求出该定点． 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）若曲线为曲线，求曲线的方程. （2）在（1）的条件下，曲线的右顶点为，左焦点为，点在曲线在轴上方的部分． （i）若直线的斜率为，求； （ii）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭圆 交于点．是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 侨光中学2024年秋季高二年第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分) 命题者：林凤灵 审题者：李垂锴 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简抛物线方程，进而求出焦点坐标． 【详解】抛物线方程可化简为 所以焦点坐标为 故选：D 2. 若数列满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定数列的周期即可求解. 【详解】, 所以， 所以， 所以数列周期为3，由，可得， 所以. 故选：D 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加法运算求出，再由可求出，即可得出答案. 【详解】因为，，则， 由可得：，解得：， 则. 故选：C. 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 5. 点与圆的位置关系是（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定，与的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【详解】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 6. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解. 【详解】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 7. 已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）. 【详解】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时, 在直线上另取点,连接,则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故 故选：C. 8. 已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过两个圆相切，列出关系式，然后求解表达式的范围即可. 【详解】圆，则，半径r1， 圆，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 则点在以为圆心，半径为3的圆上，即在圆上， 令，则k表示过点与点的直线的斜率， 则该直线一定过点，且与圆有公共点， 由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在若斜率不存在，则直线与圆相离， 设该直线方程为， 即为，圆心到直线的距离为d，则， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则 B. 当时， C. 当时，直线的倾斜角为 D. 直线始终过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平行和垂直在直线一般式满足的系数关系即可求解判断AB；根据直线的斜率即可判断C；将变形为，即可求解定点判断D. 【详解】对于A，若，则，解得或， 当时，：，：，满足， 当时，：，：，两直线重合， 所以，故A正确； 对于B，，等价于，解得， 所以当时，，故B正确； 对于C，当时，：，斜率为， 所以直线倾斜角为，故C错误； 对于D，：，即， 令，解得， 所以直线始终过定点，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线，点，在上，的中点为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的右焦点为 C. 与圆没有交点 D. 直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB，利用双曲线的性质即可求解；对于C，联立双曲线与圆的方程即可；对于D，利用点差法出直线的方程，再检验即可求解. 【详解】对于AB，由双曲线可得， 所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确； 对于C，联立消可得，代入，解得无实数根， 所以与圆没有交点，故正确； 对于D，设，则，， 两式相减，得， 因为的中点为，所以等式可得， 易得直线的斜率存在，故可得， 则直线为即， 联立双曲线的方程和直线，消去x，可得， 此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意， 故直线l的方程为，故正确. 故选：CD 11. 设为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，交抛物线于点，则（ ） A. 若，则 B. 是的中点 C. 不可能是等边三角形 D. 面积的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用抛物线定义求出点B坐标，再求出斜率k而判断选项A；联立l与C的方程组，求出点M的坐标，进而得点E坐标即可判断选项B； 在|ME|=|MF|时求出k即可判断选项C；求出面积的关系式，再求得最小值以判断选项D. 【详解】抛物线：的焦点为，准线：，如图： 对于A选项：设点B(x0，y0)，由抛物线定义知，则， 则直线l的斜率，A不正确； 直线l：，由得，设，则， 对于B选项：线段AB中点M，点，线段MD中点E满足抛物线C的方程，即B正确； 对于C选项：由|ME|=|MF|得，解得，即直线l倾斜角为或，从而有，是等边三角形，C不正确； 对于D选项：，点到直线的距离， 则面积，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：涉及过抛物线上的点到焦点的距离问题，用抛物线定义是快速准确求解的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的定义判断数列为等差数列，由通项公式求解. 【详解】由可得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 令，解得， 故答案为： 13. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出的坐标，然后求出投影向量即可得出答案. 【详解】因为，， 所以，向量在上的投影向量是， 其坐标为. 故答案为：. 14. 点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义与等差中项公式求得，再利用余弦定得得到关于的齐次方程，解之即可得解. 【详解】设，由椭圆的定义得， 因为的三条边，，成等差数列， 所以，所以， 所以由余弦定理得， 即， 整理得，所以， 所以或者（舍去）. 故答案为：. 四、解答题，本大题共5小题，共77分.解答请写在答题卡上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程； （2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程； （3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 所以直线的两点式方程为， 化简得； 【小问2详解】 因为，又， 则，所以， 则直线的方程为， 即. 【小问3详解】 点到直线：的距离 又的底边， 所以的面积为. 16. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长. （1）求的方程； （2）若直线过的右焦点与交于，两点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出a，b即可求解. （2）根据直线和双曲线的联立以及即可求解. 【小问1详解】 根据题意， ，， 所以， 所以. 【小问2详解】 双曲线C的半焦距，显然直线l不垂直于y轴， 设直线方程为， 联立直线方程和椭圆方程： ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线的方程为： . 即或. 17. 如图，在直三棱柱中， 分别为的中点，点Q在线段上． （1）当时，证明：B，N，M，Q四点共面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为时，求的长度． 【答案】（1） 如图，因三棱柱是直三棱柱，且，故可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 又由分别为的中点，且，则得： , 于是，,易得：， 因则, 故三向量共面，即B，N，M，Q四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，通过证明三向量共面，即可证得结论； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程，求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1）可得： 易得平面平面，故平面的法向量可取为； 不妨设，则，, 设平面的一个法向量为， 则故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 解得，或（舍去）. 即的长度为. 18. 已知圆O：，直线l：． （1）若直线l与圆O相切，求k的值； （2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当为锐角时，求k的取值范围； （3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点，若过定点，则求出该定点． 【答案】（1）；（2）或；（3）直线CD过定点． 【解析】 【分析】（1）由圆心到切线距离等于半径求参数值； （2）只要圆心到直线的距离大于弦长的一半即可． （3）利用点坐标，求出直线的方程，由方程确定是否过定点． 【详解】（1）原点到直线的距离为，由，解得； （2）因为，为锐角时等价于，即， ∴，解得或； （3）在直线上，设，则以为直径的圆方程为，即， 同，相减得，这就是直线的方程． 又， ∴，，由得， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中定点问题．直线与圆的位置关系一般用几何方法求解，即求出圆心到直线的距离，由与半径的关系确定直线与圆位置关系，而求直线与圆相交弦长就利用垂径定理得垂直后由勾股定理计算．直线过定点问题，采取基本方法，设动点的坐标为参数，由这个参数求出直线方程，分析方程，得定点． 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）若曲线为曲线，求曲线的方程. （2）在（1）的条件下，曲线的右顶点为，左焦点为，点在曲线在轴上方的部分． （i）若直线的斜率为，求； （ii）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭圆 交于点．是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程化简即可得解； （2）（i）由题意可得直线方程，联立椭圆方程，消元后由根与系数的关系及弦长公式得解； （ii）由题意求出点坐标，可得出关于原点对称，再由三角形面积解方程得出直线斜率即可. 【小问1详解】 设，则，， 所以由得， 化简得曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，设， 则直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以 . （ii）由（1）可知，，设，，如图， 直线的方程为， 由，得， 所以，由，即， 所以，即， 令，解得，即， 设，由题意有， 解得，即， 可得直线的方程为， 由，得， 解得，进而，即， 因为， 所以，关于原点对称，故直线过原点， 所以， 当时，即， 解得， 所以存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率． 【点睛】关键点点睛：本题中涉及点比较多，需要利用直线方程，根与系数的关系找出点的坐标，再由三角形面积建立方程即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $