比的应用专题：比与行程问题结合（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

《行程问题》专题：比与行程问题结合 解题关键： （1） 路程一定，时间和速度成反比； （2） 速度一定，时间和路程成正比； （3） 时间一定，速度和路程成正比。 用正反比例解题时，要注意题目中某一数量是否一定，然后再确定另外两个相关联的量是成正比还是反比。 1． 一列客车和一列货车同时从甲、乙两地同时相向而行，客车与货车的速度比是11∶8，甲乙两地相距380千米。求相遇时，客车比货车多行了多少千米？ 【答案】：60 【分析】：根据题意画图如下： 两车相遇时，行驶时间相同，且两车行驶距离和是380km。 已知V客∶V货=11∶8，根据“时间一定，路程和速度成正比”可得，S客∶S货=11∶8。 设相遇时，客车行驶的路程是11份，则货车行驶的路程是8份，两车行驶路程相差（11-8）份，两车行驶路程和是（11+8）份，又知路程和是380km，求出每份对应的路程后，再乘路程相差的份数即可。 【解】：V客∶V货=11∶8 相遇时，S客∶S货=11∶8 每份对应的路程：380÷（11+8）=20（千米） 客车比货车多行：20×（11-8）=60（千米） 答：相遇时，客车比货车多行了60千米。 2． 在田径运动会上，甲乙丙三人沿400米环形跑道进行800米赛跑，当甲跑完一圈时，乙比甲多跑圈，丙比甲少跑圈，如果他们各自跑的速度始终不变，那么，当乙达到终点时，丙离终点还有多少米？ 【答案】：200 【分析】：把一圈的长度看作单位“1”。由题可知，甲跑1圈的时间，乙能跑（1+）圈，丙能跑（1-）圈。据此可得： S乙∶S丙=（1+）∶（1-）=∶=8∶6=4∶3，也就是时间一定下，丙行驶的路程是乙行驶路程的；当乙达到终点，即乙跑了800米，丙行驶的路程是乙的，两人相差的（1-），就是丙距离终点的长度。 【解】：S乙∶S丙=（1+）∶（1-）=∶=8∶6=4∶3 距离终点还有：800×（1-）=200（米） 答：当乙达到终点时，丙离终点还有200米。 3． 货车的速度是客车的，两车分别从甲乙两站同时相向而行，在两站中点20千米处相遇。相遇后，两车分别用原来的速度继续前行，到达乙、甲两站。问当客车到达甲站时，货车还离乙站多远？ 【答案】：72 【分析】：根据题意画图如下： 由题可知，V货＜V客，所以两车相遇时，S货＜S客，两车相遇点应在中点左侧，且S货-S客=20×2=40（km），如上图所示。 货车的速度是客车的，即V货∶V客=4∶5，根据“时间一定下，路程和速度成正比”可得： 两车相遇时，S货∶S客=4∶5 设相遇时，货车行驶的距离是4份，则客车行驶的距离是5份，相差（5-4）份，对应的是40km； 甲乙合计（4+5）份，全程是（4+5）×40=360（km）。 客车到达甲站时，客车合计行驶360km，货车行驶距离是客车的，相差的（1-）也就是货车和乙站的距离，即：360×（1-）=72（km）。 【解】：V货∶V客=4∶5 两车相遇时，S货∶S客=4∶5 相遇时，两车路程差：20×2=40（km） 1、 乙两站距离：40×（4+5）=360（km） 货车距离乙站：360×（1-）=72（km） 答：当客车到达甲站时，货车还离乙站有72千米。 4． 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，速度比是3∶2；两车相遇后速度比改为4∶5，这样当甲车到达B地时，乙车离A地还有8千米。A、B两地相距多少千米？ 【答案】：80 【分析】：根据题意画图如下： 把A、B间的距离看作单位“1”。甲、乙两车同时从A、B出发，相向而行，相遇时，两车行驶时间相同。根据“时间一定，路程和速度成正比”可得： V甲∶V乙=3∶2，则相遇时，S甲∶S乙=3∶2，也就是甲行驶全程的=，乙行驶全程的1-=； 相遇后，两车继续行驶，且两车速度比改为4∶5，同理可得： V甲∶V乙=4∶5，甲到达B地时，S甲∶S乙=4∶5，也就是甲到达B地时，乙行驶的距离是甲的； 由图可知，自相遇至到达B点，甲行驶距离是全程的，则同时间下，乙行驶距离是×； 乙从B出发，合计行驶全程的（+×），又知乙距离A地还有8千米，也就是全程的（1--×）是8km，求全程，用除法，列式为：8÷（1--×）=80（千米）。 【解】：相遇前，V甲∶V乙=3∶2，则相遇时，S甲∶S乙=3∶2 相遇时，甲行驶全程的=，乙行驶全程的1-= 相遇后，V甲∶V乙=4∶5，则甲到达B地时，S甲∶S乙=4∶5 甲到达B地时，乙合计行驶全程的：+×= AB两地距离：8÷（1-）=80（千米） 答：A、B两地相距80千米。 5． 一艘观光船携带的燃料可以让它航行6个小时。观光船出发时顺水，每小时航行18km；返回时逆水，每小时航行12km。若想顺利返回出发地，该观光船最远能行驶出多少千米？ 【答案】：43.2 【分析】：方法1：比例法。“顺利返回出发地”，即一去一回的路程相等；求最远能行驶出多少千米，也就是燃料用尽，即一来一回总时间是6小时。 出发时顺水，且每小时航行18km；返回时逆水，且每小时航行12km，即：V顺∶V逆=18∶12=3∶2； 根据“路程一定，时间和速度成反比”可得： t顺∶t逆=2∶3，逆水行驶时间是总时间的，则逆水行驶时间是6×，又知逆水行驶速度，求路程，代入“路程=速度×时间”计算即可。 【解】：V顺∶V逆=18∶12=3∶2 t顺∶t逆=2∶3 逆水行驶时间：6×=3.6（小时） 最远能行驶：12×3.6=43.2（km） 答：该观光船最远能行驶出43.2千米。 方法2：方程法。“顺利返回出发地”，即一去一回的路程相等。 等量关系：顺水行驶路程=逆水行驶路程，即：顺水速度×顺水行驶时间=逆水速度×逆水行驶时间。 设顺水行驶时间是x小时，则逆水行驶时间是（6-x）小时，根据等量关系得方程：18x=12×（6-x）。 求出顺水行驶时间后，代入“路程=速度×时间”计算即可。 【详解】： 解：设顺水行驶时间是x小时，则逆水行驶时间是（6-x）小时。 18x=12×（6-x） 18x=72-12x 30x=72 x=2.4 最远能行驶：18×2.4=43.2（km） 答：该观光船最远能行驶出43.2千米 6． 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提速20%，可以比原来提前1小时，原来多少小时可以到达？如果减速20%，比原来迟到多少小时？ 【答案】：6小时；1.5小时 【分析】：（1）从甲地开往乙地，车速提速20%，把原速度看作单位“1”，则提速后的速度是原速度的（1+20%），即V原∶V提=1∶（1+20%）=5∶6； 根据“路程一定，时间和速度成反比”可得，t原∶t提=6∶5，从甲地到乙地，设原时间是6份，则提速后的时间是5份，又知提速后比原来提前1小时，也就是相差的1份对应的是1小时，原来需要6×1=6（小时）； （2） 同理，减速20%后，则减速后的速度是原速度的（1-20%），即V原∶V减=1∶（1-20%）=5∶4； 根据“路程一定，时间和速度成反比”可得，t原∶t减=4∶5，也就是减速后的时间是原时间的，结合第（1）问中原时间是6小时，则减速后比原来迟到6×（-1）=1.5（小时）。 【解】：（1）V原∶V提=1∶（1+20%）=5∶6 t原∶t提=6∶5 原时间：1÷（6-5）×6=6（小时） 答：原来6小时可以到达。 （2）V原∶V减=1∶（1-20%）=5∶4 t原∶t减=4∶5 比原来迟到：6×（-1）=1.5（小时） 答：比原来迟到1.5小时。 7． 甲、乙两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为3∶5，AB两地相距1000米，则甲乙两车第1次相遇时，距离B地多少米？ 【答案】：250 【分析】：根据题意画图如下： 由题可知，两人同向而行，且V甲＜V乙，所以在乙到达B地后返回A地途中两车相遇，如上图所示。相遇时，两车行驶的路程和是2个AB距离，即2×1000=2000米。 求相遇时距离B地多少米，也就是甲和B地的距离。 甲乙两车相遇，行驶时间相同，根据“时间一定，路程和速度成正比”可得： V甲∶V乙=3∶5，则相遇时，S甲∶S乙=3∶5。 设相遇时，甲行驶的路程是3份，则乙行驶的路程是5份，甲乙行驶的路程和是（3+5）份，又知路程和是2000米，则1份是2000÷（3+5）=250（米）； 相遇时，甲行驶（250×3）米，距离B地1000-250×3=250（米）。 【解】：V甲∶V乙=3∶5 两车第1次相遇时，S甲∶S乙=3∶5 1000×2÷（3+5）=250（米） 距离B地：1000-250×3=250（米） 答：甲乙两车第1次相遇时，距离B地250米。 8． 列车通过250米长的隧道用时25秒，通过210米长的隧道用时23秒。又知列车前方有一辆与它行驶方向相同的货车，货车车身长320米，速度为每秒行驶17米，则列车与货车从相遇到离开需要多长时间？ 【答案】：190 【分析】：火车过隧道问题，行驶路程=列车车身长+隧道长。由题可知： 列车以相同的速度，分别通过250米和210米的隧道，根据“速度一定，路程和时间成正比”可得： t250∶t210=25∶23，则S250∶S210=25∶23，其中： S250，即通过250米隧道，行驶路程=列车车身长+250； S210，即通过210米隧道，行驶路程=列车车身长+210。即： （列车车身长+250）∶（列车车身长+210）=25∶23。 设“列车车身长+250”合计是25份，则“列车车身长+210”合计是23份，前后路程相差（25-23）份，又知路程相差（250-210）米，则1份对应（250-210）÷（25-23）=20（米）； 已知“列车车身长+250”是25份，则列车车身长=20×25-250=250（米）； 根据“速度=路程÷时间”，可得列车速度=20×25÷25=20（米/秒）； 列车前方有一辆同方向的货车，列车和货车从相遇到相离，本质上是追及问题，其中： 距离差=列车车身上+货车车身长=250+320；速度差=列车速度-货车速度=20-17，代入“追及时间=路程差÷速度差”计算即可。 【解】：t250∶t210=25∶23 S250∶S210=25∶23，即（列车车身长+250）∶（列车车身长+210）=25∶23 列车车身长：（250-210）÷（25-23）×25-250=250（米） 列车速度：20×25÷25=20（米/秒） 时间：（250+320）÷（20-17）=190（秒） 答：列车与货车从相遇到离开需要190秒。 9． 王强从甲地到乙地去，的路程骑车，的路程乘车；从乙地回甲，的路程骑车，的路程乘车，结果回来比去时多用半小时。已知王强骑车每小时行12千米，乘车每小时行30千米。甲乙两地相距多远？ 【答案】：37.5 【分析】：根据题意画图如下： 把甲、乙两地距离，即全程看作单位“1”。由图可知，AB是全程的-=； 甲→乙：AB段是乘车；乙→甲：AB段是骑车，且回来时比去时多用半小时。 已知V骑∶V乘=12∶30=2∶5，根据“路程一定，速度和时间成反比”可得，AB段t骑∶t乘=5∶2； 设AB段骑车所需时间是5份，则乘车时间是2份，两种方式的时间相差（5-2）份，对应的是半小时，则1份的时间是÷（5-2）=（小时）； AB段乘车所需时间（×2）小时，又知乘车速度，则AB段是×2×30=10（千米），也就是全程的是10千米，求全程，用除法，列式为：10÷=37.5（千米）。 【解】：-= V骑∶V乘=12∶30=2∶5，则路程一定，t骑∶t乘=5∶2 ÷（5-2）=（小时） ×2×30÷=37.5（千米） 答：甲乙两地相距37.5千米。 1． 一列客车和一列货车同时从甲、乙两地同时相向而行，客车与货车的速度比是11∶8，甲乙两地相距380千米。求相遇时，客车比货车多行了多少千米？ 2． 在田径运动会上，甲乙丙三人沿400米环形跑道进行800米赛跑，当甲跑完一圈时，乙比甲多跑圈，丙比甲少跑圈，如果他们各自跑的速度始终不变，那么，当乙达到终点时，丙离终点还有多少米？ 3． 货车的速度是客车的，两车分别从甲乙两站同时相向而行，在两站中点20千米处相遇。相遇后，两车分别用原来的速度继续前行，到达乙、甲两站。问当客车到达甲站时，货车还离乙站多远？ 4． 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，速度比是3∶2；两车相遇后速度比改为4∶5，这样当甲车到达B地时，乙车离A地还有8千米。A、B两地相距多少千米？ 5． 一艘观光船携带的燃料可以让它航行6个小时。观光船出发时顺水，每小时航行18km；返回时逆水，每小时航行12km。若想顺利返回出发地，该观光船最远能行驶出多少千米？ 6． 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提速20%，可以比原来提前1小时，原来多少小时可以到达？如果减速20%，比原来迟到多少小时？ 7． 甲、乙两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为3∶5，AB两地相距1000米，则甲乙两车第1次相遇时，距离B地多少米？ 8． 列车通过250米长的隧道用时25秒，通过210米长的隧道用时23秒。又知列车前方有一辆与它行驶方向相同的货车，货车车身长320米，速度为每秒行驶17米，则列车与货车从相遇到离开需要多长时间？ 9． 王强从甲地到乙地去，的路程骑车，的路程乘车；从乙地回甲，的路程骑车，的路程乘车，结果回来比去时多用半小时。已知王强骑车每小时行12千米，乘车每小时行30千米。甲乙两地相距多远？ ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$