第四章 数列（提升卷）-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

第四章 数列（提升卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（    ） A．34 B．33 C．32 D．30 2．已知数列是递增数列，且，数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 4．已知等比数列单调递增，前项和为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．34 B．55 C．89 D．144 7．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（   ） A．4720 B．4722 C．4723 D．4725 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　） A．数列的首项为 B．数列的通项公式为 C．数列为递减数列 D．数列为递增数列 10．已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 11．下列说法正确的有（   ） A．若等差数列的前项和为，则也成等差数列 B．数列可能是等比数列，也可能是等差数列 C．若等比数列满足：.则 D．若等差数列的前项和为，则的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．观察给出的一列数：，，，，，…，根据其中的规律，那么第n个 （用含有n的式子表示） 13．在等差数列中，已知，则 ． 14．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 16．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 17．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的通项公式. 19．记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足： ，，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）求取最大值时的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列（提升卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（    ） A．34 B．33 C．32 D．30 【答案】B 【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，两位自然数有个， 三位自然数有个，四位自然数有个， 又四位自然数为 2024为四位自然数中的第6个，所以. 故选：B 2．已知数列是递增数列，且，数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】数列是递增数列，且，而数列的前10项和为定值， 为使取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与的差最小， 则，， 因此，解得，所以的最大值为7. 故选：C 3．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 4．已知等比数列单调递增，前项和为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】在等比数列中，，又，且是递增数列， 解得，，则数列的公比满足， 所以. 故选：D 5．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列满足，且， 可得数列为等差数列，且公差为3， 所以，即，所以. 故选：D. 6．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．34 B．55 C．89 D．144 【答案】D 【详解】依题意，（，），，， 所以. 故选：D. 7．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得， 即，则数列是以5为首项，2为公差的等差数列， 所以，即，则． 故选：A. 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（   ） A．4720 B．4722 C．4723 D．4725 【答案】C 【详解】, 可知数列是以3为周期的数列， 因为，所以， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　） A．数列的首项为 B．数列的通项公式为 C．数列为递减数列 D．数列为递增数列 【答案】ABC 【详解】对于A，因为， 所以当时，，知A正确； 对于B，当时，， 当时，也满足上式，故数列的通项公式为，故B正确； 对于CD，， 所以数列为递减数列，故C正确，D错误. 故选：ABC. 10．已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，故A 正确； 对于选项BC：当时，可知公差， 所以，故B正确； 则，令，解得， 所以是数列中的项，故 C错误； 对于选项D，当时，可知公差， 则，即， 所以若是数列中的项，则k 的值可能为6，故D正确. 故选 ：ABD. 11．下列说法正确的有（   ） A．若等差数列的前项和为，则也成等差数列 B．数列可能是等比数列，也可能是等差数列 C．若等比数列满足：.则 D．若等差数列的前项和为，则的最大值是 【答案】BCD 【详解】对于A选项，设等差数列的首项为，公差为 ， ， ， ，， 当时，，不成等差数列，A选项错误； 对于B选项，当时，数列为常数列，是等差数列， 当且时，数列是等比数列，B选项正确； 对于C选项，在等比数列中，， 已知，则，，， ，C选项正确； 对于D选项，因为，， 所以，，则的最大值是，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．观察给出的一列数：，，，，，…，根据其中的规律，那么第n个 （用含有n的式子表示） 【答案】 【详解】依题意，这列数的分母依次为：，因此第n个数的分母为； 这列数的分子依次为：，因此第n个数的分子为， 所以第n个数为. 故答案为： 13．在等差数列中，已知，则 ． 【答案】6 【详解】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 14．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 【答案】 【详解】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在数列中，，当时，， 当时，，则， 所以，又， 则数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，， 则， 所以 . 16．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【答案】(1) (2)6年 【详解】（1）由题意得 ， 所以． （2）由（1）得， ． 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， 即． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， ， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 17．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 所以．所以数列是常数列． 又，所以．所以． （2）因为， 所以数列的前n项和 ． 18．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，为等差数列，设公差为. . （2）由（1）得，， ，，，…，， . 19．记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足： ，，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）求取最大值时的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）设的公差为，则， 所以即，而，故， 故. （2）（ⅰ），, 而，故， 而，，所以 所以为等比数列且公比为2，首项为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，所以， 故当时，，当时，， 故， 故取最大值时. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$