第四章 数列（基础卷）-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

第四章 数列（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 2．将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 3．已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．数列满足且，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D． 5．已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（    ） A．1157 B．1177 C．1155 D．1122 7．已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（    ） A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是（    ） A．若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列 B．若和{是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列 C．若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项 D．若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项 10．已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（    ） A．将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 B．取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 C．从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列 D．数列不是等比数列 11．已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知等差数列的前项和为，则 . 13．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为 14．数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为 ，若，则数列的前项和为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列满足，，，求通项公式． 16．已知数列前项和满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 18．在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 19．设数列的前n项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为,,所以,,, 所以数列的周期为3,所以． 故选:C． 2．将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【详解】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 3．已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】先判断充分性：， 令，则数列的偶数项成等差数列， 令，则数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3， ∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件； 再判断必要性：若数列是等差数列，则， ，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 4．数列满足且，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D． 【答案】C 【详解】根据题意，由于， 可知数列是公差为的等差数列， 又， 所以数列的通项公式为， 所以， 故选：C． 5．已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 6．“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（    ） A．1157 B．1177 C．1155 D．1122 【答案】A 【详解】由题可知数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，得，， 所以的末位数依次为，故加密编号为1157. 故选：A. 7．已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 8．已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（    ） A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列 C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 ，即 ， 又 ， 数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，即 ， ，因不是常数，故数列 不是等比数列，即 D 正确，B 错误； 当 时， ， 又 时， ， ，数列 不是等比数列，故 A， C 均错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是（    ） A．若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列 B．若和{是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列 C．若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项 D．若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项 【答案】ABD 【详解】对于A，由于，是各项均为正数的等差数列， 若，公共项的最小的一项记为于，且，的公差分别为， 若的最小公倍数为，则均为，的公共项,且构成等差，故A正确. 对于B，由于，是各项均为正数的等比数列， 若，公共项的最小的一项记为于，且，的公比分别为， 则均为，的公共项，且构成等比，故B正确. 对于C，若，，则，只有1项是公共项，C错误. 对于D，若，由于， 则，公共项只有，故D正确. 故选：ABD 10．已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（    ） A．将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 B．取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 C．从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列 D．数列不是等比数列 【答案】ABC 【详解】由于数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为， 对于A：将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列，故A正确； 对于B：取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列且公比为，故B正确； 对于C：从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列且公比为，故C正确； 对于D：数列是一个无穷等比数列，故数列仍是公比为的等比数列，故D错误． 故选：ABC． 11．已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可得，即， 故， 对A：，故A正确； 对B：， 若为奇数，则， 若为偶数，则，随的增大而增大， 故，故B正确； 对C：， 当为奇数时，，且随的增大而减小， 当为偶数时，，随的增大而增大， 则当时，有最大值，即， 当时，有最小值，即， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知等差数列的前项和为，则 . 【答案】16 【详解】因为数列为等差数列，所以. 所以. 故答案为：16 13．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为 【答案】2 【详解】设公比为，且， ，由成等差数列， 得：， ， ， ，， ， ，，令， ， ， 时，上式有最小值. 故答案为：2. 14．数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为 ，若，则数列的前项和为 . 【答案】 【详解】（1）由得， 当时，，所以，则， 当时，①， ②， 由①-②得，得， 当时，适合上式， 故. （2）， 所以 ， 所以数列的前项和为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列满足，，，求通项公式． 【答案】. 【详解】因为， 所以， 所以， ， ， ……， ， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为满足上式， 所以. 16．已知数列前项和满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 时，也满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，，所以， 则. 17．已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1)，． (2)答案见解析 (3)数列是递增数列． 【详解】（1）由于，当时，， ， 所以首项，公差； （2）当；当；当；当. 在坐标系中分别描点. 由，数列的图象是直线上一些等间隔的点，如图所示． （3）由（1）可知， 所以数列是递增数列． 18．在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)6 (3) 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 19．设数列的前n项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，； 当时，即， 而，故，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以满足通项，所以. （2）当为奇数时，，当为偶数时，， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$