精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期阶段性数学练习九

重庆一中初2025届24-25学年度上期阶段性消化作业九 数学试题 （本试题共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、D中的图形都不是中心对称图形， 选项C中的图形是中心对称图形， 故选：C． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则 的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 4. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查一批圆珠笔的使用寿命 B. 调查全国九年级学生的睡眠情况 C. 调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D. 调查“神十八”载人飞船各零部件质量 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查和全面调查的区别，根据抽样调查和全面调查的特征即可，解题的关键是理解选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、调查一批圆珠笔的使用寿命，具有破坏性，适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； B、调查全国九年级学生的睡眠情况适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； C、调查重庆市民坐轻轨出行的意愿适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； D、调查“神十八”载人飞船各零部件质量，涉及安全性，适宜采用全面调查，故选项符合题意； 故选：D． 5. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：16 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是1：4，求出相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比． 【详解】∵两个相似三角形的面积之比是1：4， ∴两个相似三角形的相似比是1：2． ∴两个相似三角形的周长之比是1：2． 故选择A． 6. 如图，点 、 、 在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点 、 、 在上，， ∴，， ∴； 故选B． 7. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，先根据二次根式的乘法得出，估算出的大小即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即的值在6和7之间， 故选：C． 8. 如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第10个图案中白色正方形比黑色正方形多（ ）个． A. 43 B. 47 C. 53 D. 57 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律的探究．利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律． 【详解】解：第1个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色1个，白色个， 第2个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色2个，白色个， 第3个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色3个，白色个， 依此类推， …… 第n个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色n个，白色个， ∴第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个， ∴第10个图案中白色正方形比黑色正方形多， 故选：A． 9. 如图，正方形 边 上有一点 ，延长线上有一点F，连 、，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作交于 ，连接，则，设，，则，由正方形的性质可得 ，，证明得出，，再证明得出，再由勾股定理得出，求出，即可得解． 【详解】解：如图：作交于 ，连接，则， ， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以比类推，第n个数记为．已知，并规定：，．下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查与分式的运算有关的规律探究，熟练掌握分式的运算是解题的关键，根据题意，找到循环周期和规律，逐一计算判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， 即：这列数以 ，，，，每四个为一个周期循环， ， ∴，，故①正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ∴， 由此可得、都是以4个数为一周期的数列， ∵， ，故②正确； ∴，， ∴ ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案写在答题卡中对应的位置上． 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂进行计算，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108° ∴每一个外角为72° ∵多边形的外角和为360° ∴这个多边形的边数是：360÷72=5 故答案为：5 13. 甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握树状图法求概率的方法是解决此题的关键． 【详解】树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有9种等可能出现的结果，其中摸到两球颜色相同的有4种， ∴摸到两球颜色相同的概率是． 14. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为 ，根据“2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为 ， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为． 故答案为：． 15. 如图， 为斜边 上的中线，过点D作 的垂线交 于点E，过点B作 的垂线交 的延长线于点，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求出 ， ，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ 为斜边 上的中线， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 16. 若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少有3个整数解，， ∴， ∴， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴是整数，且， ∴或或， ∴或或或或， ∴符合题意的a的值有，，0， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 17. 如图，以 为直径的，点E在圆外，且， 与交于点D，过D作于点H，连接 交 于点F、交于点G．若，，则_________，____________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．连接，由垂径定理和勾股定理即可求出长；连接 ，分别证明，，，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，； 如图，连接 ， 在中，． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴，． 在中，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：8，． 18. 我们规定：若一个四位自然数各个数位均不为零，且千位与百位的积等于十位与个位的和，千位与十位的和为10，则称这个四位自然数为“加乘数”．例如：2786，满足，且，所以2786是“加乘数”．按照这个规定，最小的“加乘数”为_________；将一个“加乘数”M的千位与十位对调、百位与个位对调，得到新的数记为N，若能被11整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了数字类规律，整式的加减，二元一次方程的解等知识，求最小“加乘数”，先求千位为1的“加乘数”，没有则求千位为2的“加乘数”， 设“加乘数”M千位上数字为a， 则十位上的数字为，百位上的数字为b，则个位上的数字为，得，， 若能被11整除，则能被11整除，再进行分析即可得到答案． 【详解】解：①若最小的“加乘数”千位上数字为1，则十位上的数字为9，设百位上的数字为x，则个位上的数字为y， 则，又∵，，故此时不存在 ， 满足题意； ②若最小的“加乘数”千位上数字为2，则十位上的数字为8，设百位上的数字为x，则个位上的数字为y， 则，又∵，，故， 最小的“加乘数”为； 设“加乘数”M千位上数字为a， 则十位上的数字为，百位上的数字为b，则个位上的数字为，，， 、 为整数， 则， 由将一个“加乘数”M的千位与十位对调、百位与个位对调，得到新的数记为N，得： ， ∴ ∴ ∵能被11整除， ∴是的倍数， 设， 当时，，即 ∵，， 、 为整数， ∴没有符合条件的 ， 当时，，即， ∵，， 、 为整数， ∴当， 时，“加乘数”为； 当， 时，“加乘数”为； 综上所述：满足条件的“加乘数”最大值为，最小值为； ∴M的最大值与最小值之差为 故答案为：，， 三、解答题：本大题8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以解答本题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用 表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 八年级 89 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1）90；；25 （2）八年级的成绩更好，理由如下： 七年级和八年级的平均数一样，但八年级的中位数和众数大， 八年级的成绩更好． （3）580人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、求中位数、众数、由样本估计总体，由扇形统计图和题意得出必要信息和数据是解题的关键． （1）根据众数的定义可得出a的值，求出八年级20名学生的竞赛成绩在D组的人数可得出m的值，再根据中位数的定义求出b的值，即可解答； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，即可得出结论； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：由题中的信息可得，七年级抽取的学生的竞赛成绩众数为90，即； 八年级20名学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的所占百分比为，即； 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数是按从小到大顺序排列的第10和第11位的平均数， 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数位于C组中，且按从小到大顺序排列的第1和第2位的平均数， 八年级抽取的学生的竞赛成绩中位数为，即． 故答案为：90；；25． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580人． 21. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形 中，于点E．用尺规过点A作 的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形 中，于点 ，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形 是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形 是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵四边形 是平行四边形， ，，①． ． 在和中， ， ． ，②． ，即③． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④矩形． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯． （1）要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？ （2）10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，结果生产的茶具比9月少50套，求10月每套茶具的成本是多少元？ 【答案】（1）安排7名工人生产茶壶，安排18名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套． （2）300元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系． （1）根据生产总量=每人生产的数量×人数，得到每天生产的茶壶的数量，每天生产的茶杯的数量，根据题意列出方程求解． （2）设9月的成本是每套 万元，则10月的成本是每套万元，根据题意列出分式方程求解． 【小问1详解】 解：设安排 名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯， 每天生产的茶壶数为：个，每天生产的茶杯为：个， 根据题意得：， 解得 ， ， 答：应安排7名工人生产茶壶，安排18名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套． 【小问2详解】 解：设9月的成本是每套 万元，则10月的成本是每套万元， 根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）． 答：10月每套茶具的成本是300元． 23. 如图1，在中，， ，，点P为 上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交 于点Q，连接．点P，Q的距离为， 的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画出函数，的图象如图， 当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求出，易证，即得出，代入数据即可求出关于x的函数表达式；分别求出和，再作比，即可求出关于x的函数表达式； （2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象上方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ，， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵，， ∴，即． 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知与相交于点， ∴当时，的图象在的图象上方， ∴时x的取值范围为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识．根据三角形相似的判定和性质正确求出，分别关于x的函数表达式是解题关键． 24. 如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） （1）求 的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】（1） 的长度为米 （2）甲选择的路线较近 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解； （2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解． 【小问1详解】 解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， ∴在 中，，，米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴ 的长度为米； 【小问2详解】 解：在中，，，米， ∴米， ∴米， 在中，，，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线 上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交 于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； （3）将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）由抛物线对称轴，得到，再根据抛物线上点的坐标特征，求出 的值，即可求解； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点，进而利用待定系数法求出直线 的解析式为，设点，则，得出，即当时，线段长度取得最大值 ，过点 作关于 轴的对称点，则，连接，根据轴对称的性质可知，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为，求出的长，即可得到答案； （3）利用待定系数法，求出直线的解析式为，进而得出，再利用待定系数法，求出平移后的抛物线解析式为，由勾股定理得，连接，过点作于点 ，证明是等腰直角三角形，得到，，再利用等面积法和勾股定理，求出，，从而得到，设，分两种情况讨论：①若点在 轴上方；②若点在 轴下方，得到，分别过点作 轴的垂线，利用正切值列方程，求出 的值，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解： 抛物线的表达式为， 令，则，即， 令，则， 解得：，， ，， 设直线 的解析式为， 则，解得：， 直线 的解析式为， 设点，则， ， ， 当时，线段长度取得最大值 ， ， 过点 作关于 轴的对称点，则，连接， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值，最小值为， ，， ， 周长的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 设平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点，且与x轴的左交点为， ，解得：， 平移后的抛物线解析式为， 令，则， 解得：或， ， ，， ， 如图，连接，过点作于点 ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 设， ①若点在 轴上方，此时， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为． ②若点在 轴下方，此时或， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为， 综上可知，符合条件的点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形的应用，因式分解法解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 26. 如图，在等腰 中，，线段绕点 在平面上旋转． （1）如图 ，若，线段旋转到延长线上，过点作 ，交于 ，，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图 ，若，线段绕点 旋转过程中，点恰好落在边 上，过点 作，连接 ，使得且，试用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图 ，若，，连接 ，过点 作，交 延长线 于点 ．当 取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（ ）由，，得，再根据直角三角形的性质得，最后三角形的内角和定理即可求解； （ ）过 作于点，过 交 延长线于点 ，由旋转性质得，，证明，通过性质证明是等腰直角三角形，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （ ）当时， 取最大值，过 作交 于点，先证明点四点共圆，然后证明，则，设，，则，，，再由勾股定理得出，，最后解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由： 如图，过 作于点，过 作交 延长线于点 ， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在中，， ∵ 不变， ∴最小时， 最大，即有 最大， 则根据垂线段最短可知：当时， 取最大值，过 作交 于点， ∵， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，解一元二次方程，垂线段最短，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2025届24-25学年度上期阶段性消化作业九 数学试题 （本试题共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则 的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查一批圆珠笔的使用寿命 B. 调查全国九年级学生的睡眠情况 C. 调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D. 调查“神十八”载人飞船各零部件质量 5. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：16 6. 如图，点 、 、 在 上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第10个图案中白色正方形比黑色正方形多（ ）个． A. 43 B. 47 C. 53 D. 57 9. 如图，正方形 边 上有一点 ， 延长线上有一点F，连 、，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以比类推，第n个数记为．已知，并规定：，．下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案写在答题卡中对应的位置上． 11. 计算：_________． 12. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 13. 甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为_________． 14. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________． 15. 如图，为斜边上的中线，过点D作 的垂线交 于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则_________ 16. 若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为_________． 17. 如图，以 为直径的 ，点E在圆外，且， 与 交于点D，过D作于点H，连接 交 于点F、交 于点G．若，，则_________，____________． 18. 我们规定：若一个四位自然数各个数位均不为零，且千位与百位的积等于十位与个位的和，千位与十位的和为10，则称这个四位自然数为“加乘数”．例如：2786，满足，且，所以2786是“加乘数”．按照这个规定，最小的“加乘数”为_________；将一个“加乘数”M的千位与十位对调、百位与个位对调，得到新的数记为N，若能被11整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为_________． 三、解答题：本大题8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用 表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 八年级 89 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： __________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？ 21. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形 中，于点E．用尺规过点A作 的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形 中，于点 ，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形 是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形 是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 22. 某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯． （1）要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？ （2）10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，结果生产的茶具比9月少50套，求10月每套茶具的成本是多少元？ 23. 如图1，在中，， ，，点P为上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交 于点Q，连接．点P，Q的距离为， 的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线 上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交 于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； （3）将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 26. 如图，在等腰 中，，线段绕点 在平面上旋转． （1）如图 ，若，线段旋转到延长线上，过点 作，交于 ，，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图 ，若，线段绕点 旋转过程中，点 恰好落在边 上，过点 作，连接，使得且，试用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图 ，若，，连接，过点 作，交延长线于点 ．当 取最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $