精品解析：江西省部分高中学校2024-2025学年高三上学期十一月联考数学试卷

高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量、复数、数列、立体几何. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法运算，结合复数的几何意义判断即得. 【详解】依题意，， 所以在复平面内，对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 已知命题：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再根据选项逐一判断即得. 【详解】因对于命题：，，若取，则，故命题是假命题； 对于命题q：，，因函数在区间上为增函数，且值域为, 故必有解，即命题为真命题. 故A项错误；B项正确；C项错误；D项错误. 故选：B. 3. 若，则=（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出. 【详解】由，得，所以. 故选：B 4. 已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性求解不等式. 【详解】依题意，，不等式化为：， 而函数是R上的减函数，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 5. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或， 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去； 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D 6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质和求和公式可求得答案. 【详解】由已知，，，相加得：； 根据等差数列的性质，若两项下标和相等则两项和相等，可得：， 可得； 由等差数列前项和的公式得：. 故选：A 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则和对数函数、指数函数的单调性，进行合理的放缩分别比较和即得. 【详解】因， 故，即； 又， 故，即. 故有即. 故选：A. 8. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可. 【详解】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为 因为，所以点在线段上， 不妨设， 所以 易知 所以 因为 所以 因为 所以 故选：B 【点睛】关键点点睛：表示了两个向量的角平分线. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的定义域、值域化简集合，再结合集合的运算判断ABC；利用元素特征判断D. 【详解】函数中，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，集合的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，D正确. 故选：BCD. 10. 函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，求出解析式并结合图象变换判断AB；由给定实根计算判断CD. 【详解】依题意，函数， 由的最小正周期为，得，解得， 对于A，，A错误； 对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 则，B正确； 对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称， 依题意，，解得，C正确； 对于D，由，得，解得， 由选项C知，，因此，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由得到，再结合，确定，进而通过的对称性、周期性逐项判断即可. 【详解】①， ②， 由②可得：③， ①③联立可得：④， 所以的图象关于点对称，A错； 由④，又为偶函数，所以， 所以，两式相减可得：， 又，，结合 所以，B对， ，由，可知：， 所以，所以，C错； 由，可得，结合， 得：， 所以， 又，所以 即，，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义求出范围. 【详解】不等式，解得， 依题意，，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为： 13. 如图，在中，，，、是边上的两点，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，用余弦定理求出，分析可知，，可得出，利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，，则， 不妨设，则， 因为，则， 所以，，同理可得， 因为，则， 故， 由二倍角的余弦公式可得，可得， 所以，. 故答案为：. 14. 在正方体中，，为棱的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】易得光线从点射出通过两次反射到达点，则其路径在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，在矩形中，过点作于点，利用相似比及勾股定理求出即可. 【详解】 如图1，光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点， 则其路径必在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，如图所示. 在矩形中，，过点作于点， 由反射的性质，可得，且， 易得，则得，因，则， 故，， 于是， 所以该光线经过的路径长为： 故答案为： 【点睛】关键点点睛：明确入射光线和反射光线是共面的，都在平面内，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理可求得的值，进而可求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 因为，设，则，， 由余弦定理可得， 因为，故. 【小问2详解】 设的外接圆半径为，由正弦定理可得， 所以，，，， 所以， ， 所以，，， 由三角形的面积公式可得. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）； （2） 当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，递减区间是. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨单调区间即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，递减区间是. 17. 在四棱锥中，已知平面，，，，是线段上的点，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接交于点，连接，如下图所示： 因为，则，，所以，， 所以，， 又因为，所以，， 因为平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，且，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，， 则， 取，则， ， 所以，， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， （1）证明：数列是等比数列． （2）求和的通项公式． （3）在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和． 【答案】（1） 数列中，， 则，而， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为. （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式计算即可得证. （2）由（1）按奇偶求出的通项公式，再列式求出的公差，进而求出通项公式. （3）根据数列的构成规律，求出前项中数列与的项数，再结合等差数列、等比数列前项和公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以数列的通项公式为； 设等差数列的公差为， 由成等比数列，得， 即，则有， 又，即，于是， 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项， 因此数列中，前共有项，当时，， 当时，，因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项， 所以 . 19. 若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”． （1）已知函数在上是一个“函数”，求a的取值范围． （2）（i）已知当时，，证明：函数在上是一个“函数”． （ii）设，证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明：要证明函数在上是一个“函数”， 只需证当时，，下面证明. 证明：当时，， 由图象的对称性可知，当时，. 令， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，即，. 令， 则， 同理可得在上单调递增，在上单调递减. 则，即，. 综上所述，. 所以，函数在上是一个“函数”. （ii）证明：当时，， 由（i）可得，,且. 所以，即当时，. 令，则， 则有， 所以 . 故，得证. 【解析】 【分析】（1）由“函数”转化为不等式恒成立问题，再分离参数构造函数，利用导数判断单调性求最值可得； （2）结合定义转化为证明，分别构造两函数与，分别利用导数判断单调性证明不等式即可； （3）当时，由不等式与证得成立，赋值，可得，进而再利用放缩法，分别对赋值，各式累加裂项求和可证. 【小问1详解】 因为函数在上一个“函数”， 所以对任意，恒成立，即. 令， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当，， 又，则. 要使恒成立，则，解得. 故的取值范围为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法点睛：数列和式不等式的证明中经常遇到无法直接求和的情况，一般应用放缩法，通过对原不等式的放缩，把原本复杂数列转化为可求和数列.常用的放缩技巧有：通项放缩、添减项放缩、局部放缩、单调性放缩、基本不等式放缩、分数性质应用放缩（变分子、变分母或分子分母同时变，如真分数性质）等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量、复数、数列、立体几何. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知命题：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 若，则=（ ） A. B. 5 C. D. 4. 已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 13. 如图，在中，，，、是边上的两点，且，则______． 14. 在正方体中，，为棱的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若，求的面积． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 17. 在四棱锥中，已知平面，，，，是线段上的点，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， （1）证明：数列是等比数列． （2）求和的通项公式． （3）在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和． 19. 若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”． （1）已知函数在上是一个“函数”，求a的取值范围． （2）（i）已知当时，，证明：函数在上是一个“函数”． （ii）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $