精品解析：甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高三上学期高考模拟（11月月考）数学试题

高考模拟·数学 （120分钟 150分） 考生须知： 1．本卷侧重：高考评价体系之创新性． 2．本卷怎么考：①考查新颖的试题设问方式（题3、13）；②考查新颖的试题呈现方式（题7、9）． 3．本卷典型情境题：题3、7、9、14、19． 4．本卷测试范围：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 0或 D. 0或 3. 如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（ ） A. 18 B. 15 C. 16 D. 21 4. 在中，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 6. 已知抛物线：，若抛物线上的点处的切线恰好与圆：相切，则（ ） A. B. C. D. 7. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为．关于函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 是偶函数 C. 不是周期函数 D. 是单调递减函数 8. 已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），从而得到函数的图象，若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若实数，满足：对任意的，都存在，则称是集合的“围栏实数对”．若集合，则下列集合中存在集合的“围栏实数对”的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. D. 为奇函数 11. 如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥与三棱锥公共部分的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，其中点位于第二象限，若，则双曲线的离心率为__________． 14. 已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若数列是公比大于1的等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四棱台中，平面，2，，. （1）记平面与平面的交线为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知P为圆上任意一点，另有一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q. （1）当点P在圆上运动时，求动点Q的轨迹方程C; （2）直线l与C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求证:点O到直线AB的距离为定值. 18. 已知函数． （1）当时，证明：函数在区间上单调递增． （2）证明：当时，． （3）证明：对正整数恒成立． 19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”． （1）若，求； （2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为． （ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果） （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考模拟·数学 （120分钟 150分） 考生须知： 1．本卷侧重：高考评价体系之创新性． 2．本卷怎么考：①考查新颖的试题设问方式（题3、13）；②考查新颖的试题呈现方式（题7、9）． 3．本卷典型情境题：题3、7、9、14、19． 4．本卷测试范围：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则可求得，进而根据共轭复数的定义可求得. 【详解】由题意得，即． 故选：A. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 0或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到坐标之间的关系，从而求出参数的值. 【详解】因为向量，，， 所以，解得或． 故选：C. 3. 如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（ ） A. 18 B. 15 C. 16 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】分两类，中间为3或中间为4两种情况. 【详解】当中间数为3时，有（个）； 当中间数为4时，有（个）． 故共有（个）． 故选：A 4. 在中，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，求出. 【详解】∵在中，，∴， ∴． 故选：B. 5. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个图，结合选项，即可判断. 【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过20%， 所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确； 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确． 故选：D 6. 已知抛物线：，若抛物线上的点处的切线恰好与圆：相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点在抛物线上求出抛物线的标准方程，再由导数的意义求出切线的斜率，由点斜式得到切线方程，然后由圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】因为点在抛物线：上，所以，解得， 所以抛物线的方程为． 由，可得，则， 所以抛物线在处的切线斜率为， 则切线方程为，即． 圆：的圆心坐标为，半径为， 又抛物线在点处的切线恰好与圆相切，所以， 解得或（舍去）． 故选：A. 7. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为．关于函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 是偶函数 C. 不是周期函数 D. 是单调递减函数 【答案】C 【解析】 【分析】，求函数的值域可判断A；由与的关系可判断B； 由是增函数且恒为正数，知的单调性，可判断D，进而可判断C. 【详解】由， 因为，所以，可得，即，故A项错误； 因为的定义域为，且，所以是奇函数，故B项错误； ，因为是增函数，是增函数且恒为正数，所以是减函数，故是增函数，故D项错误； 由D项可知函数在上单调递增，所以当时，，所以函数不是周期函数，故C项正确． 故选：C. 8. 已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），从而得到函数的图象，若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，结合伸缩变换得到，整体法得到，根据极值点个数得到不等式，求解即可. 【详解】 ， 又将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），从而得到函数的图象， 所以，． 当时，， 因为在上恰有一个极值点，所以，解得． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若实数，满足：对任意的，都存在，则称是集合的“围栏实数对”．若集合，则下列集合中存在集合的“围栏实数对”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】有序实数对所构成的集合为以，，，为顶点的正方形及其内部，判断四个选项表示的图形是否与集合A有交点求解. 【详解】由题意可知，所有满足题意的有序实数对所构成的集合为， 则点分布的范围为以，，，为顶点的正方形及其内部， A，B，C项分别表示直线，圆，抛物线，它们与该正方形及其内部均有公共点， 选项D为双曲线，它与正方形没有公共点． 故选：ABC. 10. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值的方法对选项ABC进行判断，D选项，令，判断为奇函数，则通过判断来验证奇偶性. 【详解】令，，则，将代入得，即，故A项正确； 由，令，可得，若存在使得， 则上式变为，显然不成立，所以， 又， ，所以，故B项正确； 将整理为， 因为，即，所以，故C项错误； 令， 则， 且，所以为奇函数，故D项正确． 故选：ABD 11. 如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥与三棱锥公共部分的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用等边可求得，利用中位线定理可求得进而可判断；对于B，由勾股定理逆定理结合，可得与不垂直，由此即可判断；对于C，由中位线定理得，结合线面平行的判定定理即可判断；对于D，连接，交于点，连接并延长，则由对称性可知必定交于点，三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，再确定点的位置即可求解体积并判断D. 【详解】对于A，因为是等边中边上的高，所以， 因为，，分别是，的中点， 所以，显然，故A项错误； 对于B，因为三角形是边长为的等边三角形，三角形为等腰三角形， 是的中点，所以， 而，所以，这表明与不垂直，故B项错误； 对于C，因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C项正确； 对于D，连接，交于点，连接并延长， 则由对称性可知必定交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥， 因为，分别是，的中点， 所以为的重心，所以， 由上易知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，所以圆锥的高为， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为，故D项错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：根据线面垂直的判定定理，线线与不垂直可判断线面不垂直. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合诱导公式，二倍角公式以及平方关系，即可直接化简求值. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：. 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，其中点位于第二象限，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，易得，令，，利用双曲线的性质可得，，，进而由直角，可得，可求离心率. 【详解】设，，． 所以，所以，所以， 令，，则，，， 解得，则，． 在中，由，得， 则，所以双曲线的离心率为． 故答案为：． 14. 已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定有唯一零点2，得到，得到，设求导得到单调性得到，得到答案. 【详解】且在R上单调递减，所以有唯一零点2. 设为函数的一个零点，则， 故函数在区间上有零点；由， 令，，，在单增，在单减 ，，，，从而. 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若数列是公比大于1的等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式计算求参得出通项公式； （2）应用错位相减法计算求出. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 则 解得 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 数列的前项和为①， ②， ①式减去②式得， 所以． 16. 如图，在四棱台中，平面，2，，. （1）记平面与平面的交线为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面，所以 . 因为平面，平面，所以， 在中，，， 由余弦定理可得 ， 所以，所以， 又，平面， 所以平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面，所以平面， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则 ， 令，得，，所以. 又是平面的一个法向量， 记平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知P为圆上任意一点，另有一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q. （1）当点P在圆上运动时，求动点Q的轨迹方程C; （2）直线l与C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求证:点O到直线AB的距离为定值. 【答案】（1） （2） 设， ①当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，， 因为以AB为直径的圆经过坐标原点， 所以， 即，又点A在椭圆C上，所以， 所以， 所以点O到直线AB的距离； ②当直线l的斜率存在时，设直线， 联立，消去y， 得， 则即， 所以， 因为以AB为直径的圆过坐标原点O， 所以，所以， 即， 又， 所以， 将代入上式， 整理得. 所以点O到直线AB的距离. 综上所述，点O到直线AB的距离为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由椭圆的定义可求点的轨迹方程； （2）设，分直线l的斜率是否存在两种情况求解，当直线l的斜率不存在，，由已知可得，可得，当直线l的斜存在时，设，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系可得，进而利用点到直线的距离公式可求结论. 【小问1详解】 由题意得， 又点Q为NP垂直平分线上的点，可得， 因为，所以， 所以点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且， 所以，故， 所以动点Q的轨迹方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，证明：函数在区间上单调递增． （2）证明：当时，． （3）证明：对正整数恒成立． 【答案】（1）由，得， 令，则， 由解得，由解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以函数在区间上单调递增． （2）当时，，由（1）知，当时，， 即，所以． （3）由（2）知，，所以对于恒成立， 由此，，， 所以 ， 故． 【解析】 【分析】（1）求导得，令，求导可得，可证结论； （2）当时，结合（1）可证结论； （3）由（2）可得，由此可得，，累加可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论； 4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”． （1）若，求； （2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为． （ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果） （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知，则， 则， 设，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减； 所以，即（当且仅当时取等号）， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）首先得到的分布列，再根据所给定义求出； （2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，根据全概率公式求出，再由条件概率公式求出； （ⅱ）结合（ⅰ）及所给定义表示出，设，利用导数证明，从而得到，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的分布列为： 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件， 则，，，， 所以 ， 所以； （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解题干所给定义，第二问关键是利用导数证明（当且仅当时取等号），从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $