第1章 全等三角形 单元测试卷 2024—2025学年苏科版八年级上册

八年级上学期第1章《全等三角形》单元测试 一．选择题（共8小题） 1．如图，△ACB≌△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC＝70°，则∠ACA′的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 2．如图，在△ABC与△DEF中，已知AB＝DE，∠A＝∠D，还添加一个条件才能使△ABC≌△DEF，下列不能添加的条件是（　　） A．∠B＝∠E B．BC＝EF C．∠C＝∠F D．AC＝DF 3．如图，已知△ADC≌△AEB，且AC＝5，AD＝2，则CE的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠BCE的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 5．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．AAS 6．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，连接EF，下列结论： ①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4．则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 8．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝24°，∠F＝26°，则∠DEC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 二．填空题（共8小题） 9．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 　 　． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，若BD＝3cm，CD＝2cm，则线段BF的长度为 　 　cm． 11．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需添加条件 　 　． 12．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 　 　，使△ABF≌△DCE． 13．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为 　 　． 14．如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有　 　．（填序号） 15．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝　 　． 16．如图，方格纸中∠1+∠2的度数为 　 　． 三．解答题（共6小题） 17．已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE． 18．已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE． 19．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：△AEC≌△CFB； （2） 如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3） 在（2）的条件下，若BF＝4AE，EF＝5，求△BFC的面积． 20．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC． 求证：△ABC≌△DEF． 21．如图，已知BE⊥CD，BE＝DE，BC＝AD． （1）求证：△BEC≌△DEA； （2）求∠DFC的度数． 22．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°． （1）求证：△ABD≌△BAC； （2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数． 2024年苏科版八年级上学期第1章 全等三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，△ACB≌△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC＝70°，则∠ACA′的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】根据全等三角形的和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠A′＝∠BAC＝70°，AC＝A′C， ∴∠A′AC＝∠A′＝70°， ∴∠ACA′＝180°﹣∠A′﹣∠A′AC＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 2．如图，在△ABC与△DEF中，已知AB＝DE，∠A＝∠D，还添加一个条件才能使△ABC≌△DEF，下列不能添加的条件是（　　） A．∠B＝∠E B．BC＝EF C．∠C＝∠F D．AC＝DF 【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析． 【解答】解：A、添加∠B＝∠E，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； B、添加BC＝EF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意； C、添加∠C＝∠F，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； D、添加AC＝DF，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．如图，已知△ADC≌△AEB，且AC＝5，AD＝2，则CE的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由△ADC≌△AEB，推出AE＝AD＝2，即可求出CE＝AC﹣AE＝3． 【解答】解：∵△ADC≌△AEB， ∴AE＝AD＝2， ∵AC＝5， ∴CE＝AC﹣AE＝3． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由△ADC≌△AEB，得到AE＝AD＝2． 4．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠BCE的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据全等三角形的性质可得CE＝CB，进一步可得∠CEB＝∠B＝70°，再根据三角形内角和定理即可求出∠BCE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CE＝CB， ∵∠B＝70°， ∴∠CEB＝70°， ∴∠BCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，涉及等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上这些知识是解题的关键． 5．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．AAS 【分析】利用“HL”判断△BAD≌△BCD． 【解答】解：在Rt△BAD和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 6．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】连接AB、CD，然后利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等，根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：如图，连接AB、CD， 在△ABO和△DCO中，， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， ∴AB＝CD． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，连接EF，下列结论： ①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4．则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【分析】只要证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF即可解决问题； 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵AF⊥AD，BC⊥CF， ∴∠DAF＝∠BAC＝∠ECF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF＝45°， ∴△ABD≌△ACF，故①正确 ∴AD＝AF，BD＝CF， ∵AE＝AE，∠EAD＝∠EAF＝45°，AD＝AF， ∴△AED≌△AEF， ∴DE＝DF，故②正确， ∵若S△ADE＝10，S△CEF＝4． ∴S△ABD+S△AEC＝14， ∴S△ABC＝14+10＝24，故③正确， ∵EC+CF＞EF， ∴BD+CE＞DE，故④错误， 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，具体的关键性正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 8．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝24°，∠F＝26°，则∠DEC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据全等三角形的性质可得∠D＝∠A＝24°，最后根据三角形的外角性质，即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A， ∵∠A＝24°， ∴∠D＝24°， ∵点F，B，E，C在同一条直线上， ∴∠DEC是△DEF的外角， ∴∠DEC＝∠F+∠D＝26°+24°＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． 二．填空题（共8小题） 9．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 　180°　． 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°， ∵三个三角形全等， ∴∠4+∠9+∠6＝180°， 又∵∠5+∠7+∠8＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3的度数是180°． 故答案为：180°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，若BD＝3cm，CD＝2cm，则线段BF的长度为 　　cm． 【分析】先求∠DAB＝∠DBA，推导出BD＝AD，再求出∠BDF＝∠ADC，∠DBF＝∠DAC，根据ASA证明△BFD≌△ACD，可得DF＝CD＝2cm，在Rt△BDF中，再由勾股定理，即可得出答案． 【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠BEA＝∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣45°＝45°＝∠ABD， ∴BD＝AD， ∵∠C+∠CBF＝90°，∠C+∠DAC＝90°， ∴∠CBF＝∠DAC， 在△BFD和△ACD中， ， ∴△BFD≌△ACD（ASA）， ∴DF＝CD＝2cm， 在Rt△BDF中，BD＝3cm，DF＝2cm， ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等．证明两个三角形全等是解题的关键． 11．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需添加条件 　AB＝AC　． 【分析】根据已知和图形得出∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，再根据全等三角形的判定定理得出即可． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝AD， ∴要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”可添加条件AB＝AC； 故答案为：AB＝AC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 12．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 　∠B＝∠C（答案不唯一）　，使△ABF≌△DCE． 【分析】求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 添加∠B＝∠C， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， 故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 13．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为 　12　． 【分析】根据全等三角形的周长相等解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△ABC的周长为12， ∴△DEF的周长＝△ABC的周长＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等是解题的关键． 14．如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有　②④　．（填序号） 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件逐个判断即可． 【解答】解： ①∠E＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴①错误； ②EF＝BC，符合全等三角形的判定定理，可以用AAS证明△ABC≌△DEF，∴②正确； ③AB＝EF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴③错误； ④∵AF＝CD， ∴AF+FC＝CD+FC， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴④正确； 故答案为：②④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 15．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝　20　． 【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A＝70°，然后根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：如图，∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝20， 即x＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键． 16．如图，方格纸中∠1+∠2的度数为 　45°　． 【分析】根据题意可得：∠DBE＝45°，AB＝CD＝2，∠ABC＝∠CDE＝90°，DE＝BC＝1，从而可得△ABC≌△CDE（SAS），然后利用全等三角形的性质可得∠1＝∠DCE，再利用三角形的外角性质可得∠DBE＝∠2+∠DCE＝45°，从而利用等量代换可得∠1+∠2＝45°，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：∠DBE＝45°，AB＝CD＝2，∠ABC＝∠CDE＝90°，DE＝BC＝1， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠DCE， ∵∠DBE是△CBE的一个外角， ∴∠DBE＝∠2+∠DCE＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 17．已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE． 【分析】根据AF∥CE推∠AFD＝∠CEB，再根据BF＝DE，推BE＝DF，再加已知条件∠B＝∠D，根据（ASA）证明△ADF≌△CBE，得出AF＝CE． 【解答】证明：∵AF∥CE ∴∠AFD＝∠CEB， ∵BF＝DE， ∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF， ∵∠B＝∠D， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF＝CE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用，平行线的性质的应用是解题关键． 18．已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE． 【分析】此题只要先证明△ADF≌△BCE即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考． 【解答】证明：∵DE＝BF， ∴DE+EF＝BF+EF； ∴DF＝BE； 在Rt△ADF和Rt△CBE中 ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴AF＝CE． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE＝BF通过等量加等量和相等得DF＝BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用． 19．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：△AEC≌△CFB； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若BF＝4AE，EF＝5，求△BFC的面积． 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到∠FCB＝∠EAC，根据全等三角形的性质推出△AEC≌△CFB；（2）根据余角的性质得到∠CAE＝∠BCF根据全等三角形的性质得到CE＝BF，AE＝CF，等量代换得到结论；（3）由（2）得EF＝AE+BF且BF＝4AE，得到EF＝3AE＝5，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ECA+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥EF，BF⊥EF， ∴∠AEF＝∠BFC＝90°， ∴∠ECA+∠EAC＝90°， ∴∠FCB＝∠EAC， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， （2）解：EF＝BF﹣AE，理由如下： ∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， 又∵AC＝BC， ∴△CAE≌△BCF（AAS）， ∴CE＝BF，AE＝CF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE， 即EF＝BF﹣AE； （3）解：由（2）得EF＝BF﹣AE且BF＝4AE，EF＝5， ∴EF＝3AE＝5， ∴， ∵CF＝AE， ∴，则， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 20．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC． 求证：△ABC≌△DEF． 【分析】根据BF＝EC，可以得到BC＝EF，再根据AB∥DE，可以得到∠B＝∠E，然后根据SAS，即可证明△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 21．如图，已知BE⊥CD，BE＝DE，BC＝AD． （1）求证：△BEC≌△DEA； （2）求∠DFC的度数． 【分析】（1）由“HL”可证Rt△BEC≌Rt△DEA； （2）由全等三角形的性质可得∠B＝∠D，由三角形内角和定理可求∠DFC＝90°． 【解答】（1）证明：∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠DEA＝90°， 在Rt△BEC和Rt△DEA中： ， ∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）； （2）解：∵Rt△BEC≌Rt△DEA， ∴∠B＝∠D， ∵∠DAE＝∠BAF， ∴∠BFA＝∠DEA＝90°， ∴∠DFC＝90°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 22．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°． （1）求证：△ABD≌△BAC； （2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数． 【分析】（1）由∠C＝∠D＝90°可知△ABD和△BAC都是直角三角形，因为AB＝BA，AD＝BC，所以根据“HL”可以判定Rt△ABD≌Rt△BAC； （2）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出∠BAC的度数，再根据全等三角形的对应角相等求出∠BAD的度数，则由∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD即可求出∠CAO的度数． 【解答】（1）证明：如图，∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， 即△ABD≌△BAC； （2）解：∵∠C＝90°，∠ABC＝35°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°， ∵∠BAD＝∠ABC＝35°， ∴∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°， ∴∠CAO的度数为20°． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识，根据“有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”证明Rt△ABD≌Rt△BAC是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$