专题18 函数、一次函数、正比例函数（11考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题18 函数、一次函数、正比例函数 目录 【典型例题】 1 【考点一 对函数概念的理解】 1 【考点二 用表格表示变量之间的关系】 3 【考点三 用表达式表示变量之间的关系】 7 【考点四 用图象表示变量之间的关系】 10 【考点五 用描点法画函数图象】 15 【考点六 动点问题的函数图象】 18 【考点七 一次函数的识别】 22 【考点八 根据一次函数的定义求参数】 24 【考点九 由点一次函数直线上求代数式的值】 25 【考点十 根据正比例函数的定义求函数的表达式】 27 【考点十一 列一次函数解析式并求值】 30 【过关检测】 33 【典型例题】 【考点一 对函数概念的理解】 例题：（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各图能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：解：A、C、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，B选项符合函数的概念， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键．根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列不能表示y是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查函数的概念，正确理解函数的定义并灵活运用是解题的关键． 根据函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．对于任意的x，有唯一的y与之对应，故本选项不符合题意； B．当，有2个值与之对应，故本选项符合题意； C．对于任意的x，有唯一的y与之对应，故本选项不符合题意； D．对于任意的x，有唯一的y与之对应，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法 【分析】本题考查了用图象法表示函数、根据函数定义等知识点，理解函数的定义成为解题的关键. 根据函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 【考点二 用表格表示变量之间的关系】 例题：（24-25八年级上·安徽·期中）“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 【答案】(1)距离地面的高度，温度 (2) 【知识点】函数解析式、用表格表示变量间的关系 【分析】此题考查了列函数关系式、自变量、因变量等知识． （1）根据题意可得温度随着距离地面的高度变化，即可得到自变量和因变量； （2）由表格可知距离地面的高度每升高1千米，气温下降，据此即可得到表示的关系式． 【详解】（1）上表反映的变化关系中，温度随着距离地面的高度变化， ∴距离地面的高度是自变量，温度是因变量； 故答案为：距离地面的高度，温度 （2）解：根据表格可知，每升高1千米，气温下降， ∴用表示的关系式是； 即． 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字） (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；（不要求写的取值范围） (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温 (2) (3)1372m 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3）解： ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 2．（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示． 所处深度 1 2 3 4 5 6 7 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265 (1)表中，自变量为______，因变量为______； (2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式； (3)当岩层的温度为时，求所处深度． 【答案】(1)所处深度；岩层的温度 (2) (3) 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量、函数关系式， （1）根据自变量与因变量的定义作答即可； （2）根据“地表以下岩层的温度深度为处岩层的温度所处深度增加，岩层的温度升高量”计算即可； （3）将代入（2）中求得的关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：表中，自变量为所处深度，因变量为岩层的温度． 故答案为：所处深度，岩层的温度． （2）由表格可知，所处深度增加，岩层的温度升高， 则， 与的关系式为． （3）当时，得， 解得， 当岩层的温度为时，所处深度是． 【考点三 用表达式表示变量之间的关系】 例题：（24-25八年级上·宁夏银川·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3) 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当，， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？ 【答案】(1)， (2)6件 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用： （1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）根据（1）所求，结合甲、乙两个商场的收费相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：由题意得， ， 解得， 答：当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 【答案】(1) (2)她们各自买了10千克苹果？各自花了元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用， （1）分和，两种情况根据所给苹果价格方案列式求解即可； （2）当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，则在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同，故，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ∴； （2）解：当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元， ∴在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：她们各自买了10千克苹果？各自花了元． 3．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】(1)（或）的长，长方形的面积． (2)； (3)长方形的面积从变到． 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法． （1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积长宽求解； （2）分别代入两值求解即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积． 故答案为：（或）的长，长方形的面积． （2）长方形的面积，即， 答：长方形的面积与之间的关系式为：． （3）当时，， 当时，， 答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 【考点四 用图象表示变量之间的关系】 例题：（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． (1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______； (3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 【答案】(1)正 (2)香蕉 (3)4x， 【知识点】列代数式、用图象表示变量间的关系 【分析】此题考查了正比例和反比例的判断，并从图中获取数据，进行计算． （1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量．它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例． （2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价． （3）单价数量总价，总价单价数量，代入即可． 【详解】（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例； （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉； （3）从图象上看，买1千克苹果要用4元，买1千克香蕉要用8元， 买x千克苹果要用元，y元可以买千克香蕉； 故答案为：，． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看一场电影．在去的路上，小新画出了汽车的速度随时间变化的情况如图： (1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？ (2)汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？ (3)出发后分钟到分钟这段时间可能出现什么情况？ 【答案】(1)分钟，千米/时 (2)时，时 (3)加油或是乘客下车（答案不唯一） 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查根据图象获取信息， （1）根据图象的横轴、纵轴表示的信息即可求解； （2）根据图形中随着时间变化，速度不变的情况即可求解； （3）根据实际情况进行分析，答案不唯一． 【详解】（1）解：汽车行驶的时间为：（分钟），它的最大速度为：千米/时； （2）解：汽车在分钟，分钟时保持匀速，速度分别是千米/时，千米/时； （3）解：分钟到分钟，汽车的速度为千米/时，有可能是加油，或是有乘客下车（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【答案】(1)离开家的时间，离家的距离 (2)900；4 (3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家的距离， 故答案为：离开家的时间，离家的距离； （2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米， 李老师在小明家停留了（分钟）， 故答案为：900；4； （3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为（米/分）． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 (4)见解析 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水； （1）根据在时达到容器A顶部根据时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求注水速度和容器A高度，； （2）根据时注水总量为，设容器B的底面积是，根据注水总量列方程求解即可； （3）根据当时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要时间即可； （4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可． 【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 故函数图象为： 【考点五 用描点法画函数图象】 例题：（2024上·陕西榆林·八年级校考期末）如图1，在长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，．设点的运动时间为x，的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围． (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查动点的函数图象问题，根据题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键。 （1）分点在和点在上，两种情况进行讨论，求出函数关系式即可； （2）描点，连线画出函数图象，结合图象确定函数的性质即可。 【详解】（1）解：当时．． ． 如图，当时，， ． 综上所述． （2）列表如下： 0 1 2 3 6 7 8 9 10 0 2 4 6 12 9 6 3 0 画出函数图象如图所示． 由图象可知： ①当时，的值随值的增大而增大； 当时，y的值随x值的增大而减小． ②该函数在自变量的取值范围内有最大值：时，函数取得最大值，最大值为12． 【变式训练】 1．（2024上·北京西城·九年级北京市回民学校校考阶段练习）小朋在学习过程中遇到一个函数．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整： … 0 1 2 … … 0 …      (1)观察这个函数的解析式可知，的取值范围是________，函数值的取值范围是________； (2)进一步研究，与的几组对应值如表，请补充完整 (3)结合上表，画出函数图像： (4)结合函数图像，写出两条性质________． 【答案】(1)为任意实数，为任意实数 (2)见详解 (3)见详解 (4)函数关于原点成中心对称；随的增大而增大 (答案不唯一)． 【分析】本题主要考查通过描点画出函数图像，从图像得出相关性质． （1）由函数表达式即可求解． （2）将表格的值代入函数表达式，分别求解即可． （3）结合上表，通过描点然后画出函数图像即可． （4）观察函数图像可求解． 【详解】（1）解：从函数表达式看，的取值范围为∶ 为任意实数，的取值范围为∶ 为任意实数． （2）∵函数为： ∴当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 补充表格如下： … 0 1 2 … … 0 4 … （3）结合上表，画出函数图像如下∶    （4）从函数图像看，函数关于原点成中心对称；随的增大而增大 (答案不唯一) ． 【考点六 动点问题的函数图象】 例题：（2023下·广东佛山·七年级校考期中）动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．    (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； (2)______，______，______； (3)当的面积为时，求点F的运动时间的值． 【答案】(1)H的运动时间，的面积 (2)4，14，10 (3)或 【分析】（1）根据图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案； （2）由题意可知，点在上运动时的面积不变，在结合图象即可求得答案； （3）分两种情况，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，自变量为：H的运动时间，因变量为：的面积， 故答案为：H的运动时间，的面积； （2）∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点在上运动时的面积不变， ∴，，则， ∴，， 故答案为：4，14，10； （3）当在上时，的面积为：， 当的面积为时，可分两种情况： 当在上时，，则， ∴， 当在上时，，则， ∴， 综上，当的面积为时，求点F的运动时间为或． 【点睛】本题考查了动点问题的图象，三角形的面积，坐标与图形的关系等知识，解决问题的关键是深刻理解动点的图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从图象中获取相关的信息进行计算． 【变式训练】 1．（2023下·四川达州·七年级统考期末）如图1，，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是的面积S（）与点P运动时间x（秒）两个变量之间的关系．    (1)指出的长度，并求m的值； (2)当点P在线段上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系． 【答案】(1) (2)（） 【分析】（1）根据图2可得：点P在上运动了6秒，在上运动了2秒，进而求出，再根据求解即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）根据图2可得：点P在上运动了6秒，在上运动了2秒， ∵点P以每秒1cm的速度从B点出发的， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）当点P在线段上运动时，即当时，． 【点睛】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是关键． 2．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据图象可知点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，即可求得答案； （2）由题意可知，，利用时间路程速度即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可 【详解】（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为， ∴， 故答案为：10； （2）∵四边形是长方形， ∴， ∴， 则点由点运动到点的总时间为； （3）由（2）可知，， 则，， 若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 当时，此时点在上，点在上，不符合题意， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 ， 综上，． 【点睛】本题主要考查了动点问题的图象，在解题时要能根据图象求出，，，并表示出相应线段的长度是解决问题的关键． 【考点七 一次函数的识别】 例题：（23·24八年级上·贵州贵阳·期中）下列函数中，是一次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1，据此解答即可． 【详解】解：A. ，自变量的指数是2，不是一次函数，故选项A不符合题意； B. 属于一次函数，故选项B符合题意； C..不是整式方程，不是一次函数，故选项C不符合题意； D. 不是整式方程，不是一次函数，故选项C不符合题意； 【变式训练】 1．（23·24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数： ①； ②；③；④；⑤（为常数）， 其中一次函数的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是一次函数； ④不是一次函数； ⑤（为常数），不一定是一次函数． 综上可知一次函数的个数是2个． 故选A． 【点睛】本题考查识别一次函数．掌握形如（，且为常数）的函数叫一次函数是解题关键． 2．（23·24八年级上·陕西西安·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义：形如是常数的函数，叫做一次函数，解答即可． 【详解】①，当时，不是一次函数，故此选项不符合题意； ②，④，是一次函数，故此选项符合题意； ③，⑤，不是一次函数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【考点八 根据一次函数的定义求参数】 例题：（23·24上·宝鸡·期中）要使是关于x的一次函数，n，m应满足 ， 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数定义，解题的关键是理解一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，． 故答案为：，． 【变式训练】 1．（23·24下·咸宁·阶段练习）若为一次函数，则 ． 【答案】0 【分析】利用一次函数的定义可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（23·24八年级下·上海浦东新·期末）当 时，函数是一次函数，且不是正比例函数． 【答案】 【分析】根据一次函数的解析式为：，则；根据题意，，则，即可． 【详解】∵函数是一次函数，且不是正比例函数， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的定义． 【考点九 由点一次函数直线上求代数式的值】 例题：（23·24上·合肥·阶段练习）若点，在一次函数的图象上，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据点，在一次函数的图象上，可以得到，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可，熟练求解代数式的值是解题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山西运城·期末）若一次函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特点，代数式求值，将代入一次函数，可得，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：一次函数的图象过点， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 将点代入直线得到， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知点在一次函数的图像上，则的值是 ． 【答案】6 【分析】直接把点代入一次函数，求出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【考点十 根据正比例函数的定义求函数的表达式】 例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题综合考查了正比例的定义，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据正比例的定义设，然后把，代入计算求出k值，再整理即可得解； （2）将点代入（1）中所求的函数的解析式求的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴，即； （2）解：点在函数的图象上， ∴， 解得：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查的是函数关系式， （1）设与的函数关系式为，再把当时，代入求出的值即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可； 掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）由（1）知，与的函数关系式为， ∴当时，． ∴当时的函数值为． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，关于y轴对称点的坐标特征等知识，解题的关键是： （1）设，把，代入求解即可； （2）利用轴对称性求出对称点的坐标，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得， 解得， ∴ （2）解：点关于轴的对称点为， ∵在的图象上， ∴． 3．（23-24八年级下·吉林松原·期末）已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在该函数的图象上，理由见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】（1）先利用正比例函数的定义设，然后把，代入求出，从而得到与之间的函数解析式； （2）通过一次函数图象上点的坐标特征，计算自变量为2所对应的函数值可判定点是否在该函数的图象上． 【详解】（1）解：（1）设， 把，代入得， 解得， ， 与之间的函数解析式为； （2）解：点不在该函数的图象上． 理由如下： 当时，， 点不在该函数的图象上． 【考点十一 列一次函数解析式并求值】 例题：（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 【变式训练】 1．（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1) (2)1400元 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计． (1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式． (2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？ (3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由． 【答案】(1)类：，类： (2) (3)类，理由见解析 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）将两解析式联立求解即可； （3）分别将代入解析式求出y的值比较即可． 【详解】（1）由题意可知，类：，类： （2）因为，解得 所以当通话时间等于时，两类收费方式所缴话费相等； （3）当时，， 因为，所以应该选择类缴费方式． 【点睛】本题考查了列一次函数解析式并求值，正确列出两解析式是解题的关键． 3．（22-23八年级上·广东茂名·期末）习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩，收获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元． (1)请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少； (2)今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加千克和千克．由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去年的基础上每千克上涨元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降元．若甲、乙两个品种全部售出后总收入为元，请写出与的关系式；若今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，水的值． 【答案】(1)甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克 (2)的值为5 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、列一次函数解析式并求值 【分析】（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是千克，乙水稻品种去年平均亩产量是千克，根据：甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元，即可求解； （2）根据总收入等于甲乙两个品种的收入之和即可列出与的关系式，进而得到关于x的方程，解方程即得答案． 【详解】（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是千克，乙水稻品种去年平均亩产量是千克，根据题意得 ， 解得． 答：甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克． （2）根据题意得： ， 整理得， ∴y与x的关系式． ∵今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，可得 ， 解得． 答：的值为5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列出实际问题中的函数关系式，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入解析式求出函数值判断是否等于纵坐标逐个判断即可，熟知一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键． 【详解】A、当时，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查函数的定义和函数图象的含义，能作为函数图象，需满足：按照图象得出的对应关系，对于自变量的取值范围内的每一个值，按照图象得出的对应关系，都有唯一的一个值和它对应；从图象直观来看，平行与轴的直线与图象至多有一个交点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、平行与轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意； 、平行与轴的直线与图象有两个交点，不能作为函数图象，符合题意； 、平行与轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意； 、平行与轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的识别，一般地，形如（期中k、b是常数且）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：下列函数：①；②；③；④中．其中一次函数有①；②；③，共3个， 故选：C． 4．（13-14八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）问有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 下列说法一定错误的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为 【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的变量，用表格表示变量间的关系．解题的关键在于从表格中获取正确的信息． 根据表格中的信息，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数，A正确，故不符合要求； 弹簧不挂重物时的长度为，B错误，故符合要求； 物体质量每增加1，弹簧长度y增加0.5，C正确，故不符合要求； 所挂物体质量为7时，弹簧长度为，D正确，故不符合要求； 故选：B． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，根据一次函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为： 7．（2024·浙江·中考真题）有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，根据题意可得，，然后即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了公升水， 由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装公升的水得：； 由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩公升的水得：； 得：， ∴， 故答案为：． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 【答案】①④②③ 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 9．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息；根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；根据函数图象上的数据得出乙车到达城用的时间，判断出②正确；根据甲的速度和走的时间得出甲车出发时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以小时，求出甲车出发时，乙走的总路程，从而判断出③正确；再根据速度时间总路程，即可判断出乙车出发后经过或，两车相距的距离，从而判断出④正确． 【详解】解：①甲车的速度为，故本选项正确，符合题意； ②乙车到达城用的时间为：，故本选项正确，符合题意； ③甲车出发，所走路程是：，甲车出发时，乙走的路程是：，则乙车追上甲车，故本选项正确，符合题意； ④当乙车出发时，两车相距：，当乙车出发时，两车相距：，故本选项正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 【答案】 0 或． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求一次函数自变量或函数值 【分析】此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟知关联点的定义． （1）由关联点的定义可知，由可得出，再代入代数式计算即可． （2）由关联点的定义可知点P的坐标为或，分情况分别把和代入一次函数解析式，求出a的值，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）由“关联点”的定义可知：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：0． （2）∵点是一次函数图象上点的“关联点”， ∴点P的坐标为或， 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为； 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为∶ 或． 三、解答题 11．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 … 42 39 36 33 30 … (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？ (3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？ 【答案】(1)时间，速度 (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3； (3)估计经过，飞机的速度变为． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用表格表示变量间的关系 【分析】此题考查了自变量和因变量、用表格表示变量间的关系、一元一次方程的应用． （1）根据题意得到一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化，即可得到答案； （2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3，即可得到答案； （3）设估计经过x，飞机的速度变为，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3，据此列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化， ∴在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是速度； 故答案为：时间，速度 （2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3； （3）设估计经过x，飞机的速度变为， 则， 解得， 即估计经过，飞机的速度变为 12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是关于的一次函数； (2)当，时，该函数是关于的正比例函数． 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， 即当时，该函数是关于的一次函数； （2）解：由（1）知，， 由题意知：，所以， 即当，时，该函数是关于的正比例函数． 13．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与的函数解析式； (2)如果x的取值范围是，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 14．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）兴平大蒜是咸阳市兴平的特产，具有全国农产品地理标志，其种植历史悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富．个体户小李购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的大蒜质量（kg）与销售收入（元）之间的关系如下表所示． （kg） 1 2 3 4 5 … （元） 10.5 21 31.5 42 52.5 … (1)求出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求销售收入的值． 【答案】(1)；是的正比例函数； (2)． 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】此题考查了列函数解析式和正比例函数、求函数值等知识． （1）由表格可知： 大蒜质量量每增加，销售收入增加10.5元，据此得到函数解析式，再根据正比例函数的定义进行判断即可； （2）把代入（1）中的函数解析式即可． 【详解】（1）解：由表格可知： 大蒜质量量每增加，销售收入增加10.5元， ∴， 即； 则是的正比例函数； （2）当时，， 即当时，销售收入的值为． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． (1)圆的半径为x，周长为y； (2)每本练习本的价格为元，购买练习本的总费用y（元）与购买练习本的数量x（本）； (3)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶的时间为x小时，行驶的路程为y千米； (4)水箱中有水，以的流速往外放水，水箱中的剩余水量随放水时间的变化而变化． 【答案】(1)，是正比例函数 (2)，是正比例函数． (3)，是正比例函数 (4)，不是正比例函数 【知识点】正比例函数的定义、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，正比例函数的识别： （1）根据圆周长公式和正比例函数的定义求解即可； （2）根据总费用等于单价乘以数量和正比例函数的定义求解即可； （3）根据路程等于速度乘以时间和正比例函数的定义求解即可； （4）根据剩余水量等于原有水量减去放出的水量和正比例函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，y是x的正比例函数； （2）解：由题意得，，y是x的正比例函数； （3）解：由题意得，，y是x的正比例函数； （4）解：由题意得，y不是x的正比例函数． 16．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）有一个无水的圆柱水桶，尺寸如图1所示，一个水龙头从上午开始向水桶内注水，水的流量是立方分米/分，到关闭水龙头停止注水．接着在桶内放入一个高为30厘米的圆锥形铁块，使之全部浸没水中，水桶的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图2所示．（取）      (1)做一个这样的无盖圆柱水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ (2)你能计算出圆锥形铁块的底面积是多少吗？ 【答案】(1)平方分米 (2)1570平方厘米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、 圆柱的表面积 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、圆柱的表面积、圆柱的体积以及圆锥的体积，解题的关键是：（1）牢记圆柱底面积及侧面积的求法；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用所需铁皮的面积圆柱水桶的底面积圆柱水桶的侧面积，即可求出结论； （2）利用关闭水龙头停止注水时水面高度=水的流量×注水时间÷圆柱水桶的底面积，可求出关闭水龙头停止注水时水面高度，设圆锥形铁块的底面积是x平方厘米，利用圆锥形铁块的体积圆锥形铁块的底面积×高=圆柱水桶的底面积×水面上升的高度，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：1米分米，米分米． 根据题意得： （平方分米）． 答：做一个这样的无盖圆柱水桶至少需要的铁皮； （2）解：关闭水龙头停止注水时水面高度为： （分米）（厘米）． 设圆锥形铁块的底面积是x平方厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：圆锥形铁块的底面积是1570平方厘米． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，理由见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式 【分析】本题考查了求函数关系式和函数求值． （1）利用按甲方案所需总费用购买门票的费用杨梅的原价采摘量，可求出关于的函数表达式；利用按乙方案当采摘量千克时，所需总费用杨梅的原价杨梅的原价超过10千克的部分，可求出关于的函数表达式； （2）代入，求出、的值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意得：， 即； ， 即； （2）解：选择乙方案更划算，理由如下： 当时，， ． ， 选择乙方案更划算． 18．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，点为的中点，连结，动点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动，当点在点时停止运动，设运动的时间为秒，记点到线段的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的值． 【答案】(1) (2)画图见解析，该函数图象过原点的一条直线 (3) 【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象、动点问题的函数图象 【分析】（1）过点作于点，表示出，求出的长度，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，进而得到，进而得到的取值范围，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式． （2）描出两个点，连接这两个点即可画出函数图形，根据图象写出一条函数的性质； （3）把代入函数解析式求解． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图 由题意得， 在中，，，， ． 点为的中点， ， ， ． ，， ， ， ， ． （2）解：取时，，时，， 描出这两点，连接这两点 它是过原点的一条直线． （3）解：当时， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，函数解析式的求法，画函数图象，求函数的自变量的取值范围，求自变量的值．求出函数解析式是解答关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 函数、一次函数、正比例函数 目录 【典型例题】 1 【考点一 对函数概念的理解】 1 【考点二 用表格表示变量之间的关系】 3 【考点三 用表达式表示变量之间的关系】 7 【考点四 用图象表示变量之间的关系】 10 【考点五 用描点法画函数图象】 15 【考点六 动点问题的函数图象】 18 【考点七 一次函数的识别】 22 【考点八 根据一次函数的定义求参数】 24 【考点九 由点一次函数直线上求代数式的值】 25 【考点十 根据正比例函数的定义求函数的表达式】 27 【考点十一 列一次函数解析式并求值】 30 【过关检测】 33 【典型例题】 【考点一 对函数概念的理解】 例题：（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各图能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A．B．C．D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列不能表示y是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【考点二 用表格表示变量之间的关系】 例题：（24-25八年级上·安徽·期中）“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字） (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；（不要求写的取值范围） (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 2．（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示． 所处深度 1 2 3 4 5 6 7 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265 (1)表中，自变量为______，因变量为______； (2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式； (3)当岩层的温度为时，求所处深度． 【考点三 用表达式表示变量之间的关系】 例题：（24-25八年级上·宁夏银川·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？ 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 3．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【考点四 用图象表示变量之间的关系】 例题：（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． (1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______； (3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看一场电影．在去的路上，小新画出了汽车的速度随时间变化的情况如图： (1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？ (2)汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？ (3)出发后分钟到分钟这段时间可能出现什么情况？ 2．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【考点五 用描点法画函数图象】 例题：（2024上·陕西榆林·八年级校考期末）如图1，在长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，．设点的运动时间为x，的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围． (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的两条性质． 【变式训练】 1．（2024上·北京西城·九年级北京市回民学校校考阶段练习）小朋在学习过程中遇到一个函数．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整： … 0 1 2 … … 0 …      (1)观察这个函数的解析式可知，的取值范围是________，函数值的取值范围是________； (2)进一步研究，与的几组对应值如表，请补充完整 (3)结合上表，画出函数图像： (4)结合函数图像，写出两条性质________． 【考点六 动点问题的函数图象】 例题：（2023下·广东佛山·七年级校考期中）动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．    (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； (2)______，______，______； (3)当的面积为时，求点F的运动时间的值． 【变式训练】 1．（2023下·四川达州·七年级统考期末）如图1，，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是的面积S（）与点P运动时间x（秒）两个变量之间的关系．    (1)指出的长度，并求m的值； (2)当点P在线段上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系． 2．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 【考点七 一次函数的识别】 例题：（23·24八年级上·贵州贵阳·期中）下列函数中，是一次函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23·24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数： ①； ②；③；④；⑤（为常数）， 其中一次函数的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23·24八年级上·陕西西安·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点八 根据一次函数的定义求参数】 例题：（23·24上·宝鸡·期中）要使是关于x的一次函数，n，m应满足 ， 【变式训练】 1．（23·24下·咸宁·阶段练习）若为一次函数，则 ． 2．（23·24八年级下·上海浦东新·期末）当 时，函数是一次函数，且不是正比例函数． 【考点九 由点一次函数直线上求代数式的值】 例题：（23·24上·合肥·阶段练习）若点，在一次函数的图象上，则代数式的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山西运城·期末）若一次函数的图象过点，则 ． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）点在直线上，则代数式的值是 ． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知点在一次函数的图像上，则的值是 ． 【考点十 根据正比例函数的定义求函数的表达式】 例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 3．（23-24八年级下·吉林松原·期末）已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【考点十一 列一次函数解析式并求值】 例题：（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【变式训练】 1．（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计． (1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式． (2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？ (3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由． 3．（22-23八年级上·广东茂名·期末）习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩，收获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元． (1)请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少； (2)今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加千克和千克．由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去年的基础上每千克上涨元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降元．若甲、乙两个品种全部售出后总收入为元，请写出与的关系式；若今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，水的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（13-14八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）问有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 下列说法一定错误的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 7．（2024·浙江·中考真题）有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 9．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是 （填序号）． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 三、解答题 11．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 … 42 39 36 33 30 … (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？ (3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？ 12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 13．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与的函数解析式； (2)如果x的取值范围是，求y的取值范围． 14．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）兴平大蒜是咸阳市兴平的特产，具有全国农产品地理标志，其种植历史悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富．个体户小李购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的大蒜质量（kg）与销售收入（元）之间的关系如下表所示． （kg） 1 2 3 4 5 … （元） 10.5 21 31.5 42 52.5 … (1)求出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求销售收入的值． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． (1)圆的半径为x，周长为y； (2)每本练习本的价格为元，购买练习本的总费用y（元）与购买练习本的数量x（本）； (3)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶的时间为x小时，行驶的路程为y千米； (4)水箱中有水，以的流速往外放水，水箱中的剩余水量随放水时间的变化而变化． 16．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）有一个无水的圆柱水桶，尺寸如图1所示，一个水龙头从上午开始向水桶内注水，水的流量是立方分米/分，到关闭水龙头停止注水．接着在桶内放入一个高为30厘米的圆锥形铁块，使之全部浸没水中，水桶的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图2所示．（取）      (1)做一个这样的无盖圆柱水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ (2)你能计算出圆锥形铁块的底面积是多少吗？ 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 18．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，点为的中点，连结，动点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动，当点在点时停止运动，设运动的时间为秒，记点到线段的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$