11.1与三角形有关的线段课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.1与三角形有关的线段（三角形的边） 第十一章 三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学（初中） （八年级 上） 1 前 言 学习目标 1、能够说出三角形及其边、角、顶点的概念。 2、能说出三角形的两种分类方法。 3、知道三角形的三边关系，并会利用这个不等量关系判断已知的三条线段能否组成三角形及已知三角形的两边会求第三边的取值范围。 重点难点 重点：掌握三角形三边之间的关系。 难点：理解“首尾相连”等关键语句。 2 生活中常见的图形 3 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。 A B C 判断下列图形是三角形吗，并说明原因？ 不是，首尾无顺次相接 不是，首尾无顺次相接 不是，三条线段在同一条直线上 三角形的概念 4 组成三角形的三条线段叫做三角形的边。 三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角。简称三角形的角。 A B C 角 角 角 （线段AB,BC,CA） （ 点A,B,C ） ∠B，C） 三角形的基本元素 5 A B C 三角形用符号“△”表示。 顶点是A,B,C的三角形，记作“△ ABC”，读作“三角形ABC” 注意：表示三角形的三个字母不分顺序，如△ABC，也可记为△BCA或△CBA等等。 三角形的表示 6 c b a A B C 角 角 角 三角形的三边除了用线段AB,BC,CA表示外，有时也用a，b，c来表示。 如图， 顶点A所对的边BC，也可以记为边a ； 顶点B所对的边AC，也可以记为边b ； 顶点C所对的边AB，也可以记为边c 。 三角形三边表示 7 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形 （按角分） 三角形按角分类 8 等边三角形：三边都相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。 由概念可知，等边三角形是特殊的等腰三角形。 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 （按边分） 三角形 各边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按边分类关系 9 任意画一个△ABC，从A点出发，沿三角形的边到点B，有几条线路可以选择？各线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？ A B C 对任意一个△ABC，若把其中两个顶点看成顶点（点A，点B）,由两点之间线段最短，可得： AC+BC>AB AC+AB>BC AB+BC>AC 三角形两边之和大于第三边 BC>AB-AC AB>BC-AC BC>AC-AB 三角形两边之差小于第三边 变形 探究 10 A B C a c b 三角形任意两边 的和大于第三边 三角形任意两边 的差小于第三边 a-b<c b-c<a c-a<b b+c>a a+c>b a+b>c 三角形的三边关系 11 已知三角形两边的长度，第三边长度范围是: 三角形两边之差<三角形第三边<三角形两边之和 三角形第三边长度范围 12 A D C B E 2.以BC为边的三角形有哪些？ △ABC、△BEC 、△DBC 3.以D为顶点的三角形有哪些？ △BCD、 △CDE 4.以∠A为角的三角形有哪些？ △ ABC、 △ABE 1.右图中有多少个三角形？ △ABE, △ABC,△BCE, △BCD ,△CDE 课堂测试(概念理解) 13 5.△BCE的三边分别是: ___________________ 三个角分别是： ______________________ 三个顶点分别是： ________________ 其中∠EBC的对边是：_________ ∠D是由_____和______两边组成的内角 ∠BEC是△BCD的内角吗？ BC,CE,BE ∠EBC、 ∠BEC、 ∠CDE 点E、B、C EC DB DC 不是 A D C B E 课堂测试(概念理解) 14 判断： （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （1）不等边三角形就是有两边不相等的三角形.（ ） （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） （5）等腰直角三角形不是等腰三角形.（ ） √ × × × √ 等腰三角形两边相等 等边三角形 等腰直角三角形的两直角边相等 课堂测试(概念理解) 15 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） 3 ，10，8 （ ） （2） 12，5，6 （ ） （3） 8，1，10 （ ） （4） 3，15，9 （ ） 三角形两边之差<三角形第三边<三角形两边之和 不能 能 不能 不能 课堂测试 16 已知等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm,则它的周长为____cm。 分析：等腰三角形的两边分别为5厘米和11厘米，说明 1）假设5厘米的边为腰， 则等腰三角形三边长为5，5，11. 2）假设11厘米的边为腰，则等腰三角形三边长为5，11，11. 根据三角形三边关系，所以排除1），则周长为27厘米 27 课堂测试 17 1.已知等腰三角形的周长为16，且底边长为3，则腰长是_____. 2.已知等腰三角形的一边等于7，一边等于8，则它的周长是____. 3.等腰三角形的其中一个角是40度，则另一个角是____. 6.5 22或23 100度 课堂测试 18 用一条长为26cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为6cm的等腰三角形吗？为什么？ x+2x+2x=26 x=5.2 所以三角形的三边长为5.2、10.4、10.4厘米 课堂测试 19 2）6厘米可能是底边也可能是腰，需分两种情况讨论： 若底边=6厘米，则另外两腰的长度=10厘米； 则三边长为6，10，10，可以围城三角形。 若腰=6厘米，则底边=14厘米。 则三边长为6，6，14，则两边之和小于第三边，所以不能围城三角形。 用一条长为26cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为6cm的等腰三角形吗？为什么？ 课堂测试 20 如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 。若第三边为偶数，那么三角形的周长 。 分析：第三边的取值范围2<第三边长度<6 3或5 10 课堂测试 21 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学（初中） （八年级 上） 22 11.1与三角形有关的线段 （三角形的高、中线与角平分线） 第十一章 三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 23 前 言 学习目标 1、通过画图与观察的实践过程，认识三角形的高、中线与角平分线。 2、会画出任意三角形的角平分线、高、中线，通过画图了解三角形三条角平分线、三条中线、三条高交汇于一点。 重点难点 重点：会画出任意三角形的角平分线、高、中线。 难点：理解三角形的角平分线、高、中线的概念。 24 问题：你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 O 分析：即过点p做已知直线l的垂线。 p l 知识点回顾 25 问题：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C 分析：即过点A点做已知对边BC的垂线。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 O 课堂测试 26 概念：过三角形的一个顶点做它对边的垂线，顶点和垂足 所连接的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。 B A C O 三角形高的理解 ∵AO是△ABC的高 ∴AO⊥BC， ∠AOC=∠AOB=90°(高的定义) 三角形的高的概念 27 问题1：画锐角三角形三边的高? O A B C D E F 思考： 1.这三条高之间有怎样的位置关系？ 2.剪一个锐角三角形，你能通过其他方法做出三角形的高吗？ 在三角形内相交于一点。 对折 扩展 28 问题1：画直角三角形三边的高? A B C D ● 思考： 你能说出直角三角形三条边的高分别是哪条线段吗？ 扩展 29 问题1：画钝角三角形三边的高? D A B C E F ● O 思考： 钝角三角形有什么特点？ 三条高不相交，三条高所在的延长线相交。而且有两条高在三角形外。 扩展 30 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 3 1 1 相交 相交 相交 相交 不相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 总结（三角形的三条高的特性） 31 A B C ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD 三角形中线的理解 ∴BD= CD= BC BC ∴BC=2BD BC=2CD 概念：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 D 三角形的中线 32 概念：三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 A B C D E F O 三角形的重心 33 思考：△ABD和△ADC的面积相等吗？ E A B C D ∵D是BC的中点 ∴BD=DC 而△ABD的面积= BD×AE △ADC的面积= DC×AE 故△ABD的面积= △ADC的面积 三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。 扩展 34 概念：在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点和交点的连线，叫做三角形角平分线。 A B C D ︶ ︶ ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD =∠CAD = １ ２ ∠BAC （角平分线的定义） 三角形角平分线的理解 三角形角平分线 35 问题1：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？ 1、三角形的角平分线是一条线段 ； 2、角的平分线是一条射线。 问题2：任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么? 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部。 拓展 36 名称 基本图形 画法 性质 高 用边的垂线三角板画顶点到对段 三条高线相交于三角形内部、外部或边上一点 中线 用直尺画两点之间的线段 三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 利用量角器画角的平分线的一部分 三条角平分线相交于三角形内一点 D A C B D A C B D A C B 高、中线与角平分线的比较 37 1.如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2 ，BD= ,AE= 。 2.如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= , ∠3= , ∠ACB=2 。 AF CD AC ∠2 ∠ABC ∠4 课堂测试(概念理解) 38 3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空： （1）BE= = ； （2）∠BAD= = ； （3）∠AFB= =90°； CE BC ∠CAD ∠BAC ∠AFC 课堂测试(概念理解) 39 4.在下图中，如果AE=ED=DC，则BE、BD分别是 的中线，图中有没有面积相等的三角形？ △ABD 、△BCE △ABD和△BCE; △ABE和△BED和△BDC; 课堂测试(概念理解) 40 课堂测试(概念理解) 5.如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求下列角的大小. C A B E ∠CAE=_____度 ∠AEB=_____度 41 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 42 11.1与三角形有关的线段（三角形的稳定性） 第十一章 三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学（初中） （八年级 上） 43 前 言 学习目标 1、通过观察和实践得出三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。 2、能判断一般图形是否具有稳定性。 3、熟悉和了解三角形的稳定性在生活实际中的一些应用。 重点难点 重点：三角形的稳定性。 难点：三角形稳定性在实际生活中的应用。 44 生活中常见的图形 45 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ 问题 46 如图，工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？ 问题 47 1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 用手左右扭动三角形木框，形状不发生改变。 探究1 48 2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 左右扭动后，四边形的形状发生改变。 探究2 49 2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 左右扭动后，四边形的形状发生改变。 探究2 50 3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 用手左右扭动加固后的四边形木框，形状不发生改变。 探究3 51 三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变。 三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性。 结论 52 “只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”。 理解三角形的稳定性 53 为什么这个四边形的木架形状不会改变？ 这是因为钉入一根木条后，四边是变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形。 问题 54 找出图形中的三角形 55 木质活动挂架 伸缩门 四边形不稳定性的应用 56 1.人站在晃动的公共汽车上,若你分开两腿站立,则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳,这是利用了___________. 三角形的稳定性 课堂测试 57 如图，工人师傅砌门时，如何操作，使其不变形，这种做法的根据是________. A B C D E F G 三角形的稳定性 课堂测试 58 课堂测试 造房子的屋顶常用三角形结构，从数学角度来看，是应用了__________,而活动接架则应用了四边形的________. 三角形的稳定性 四边形的不稳定性 59 下列图形中具有稳定性有 [     ] A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 分析：1和3中的由若干四边形组成，不具有稳定性。2、4、5是由若干三角形组成的图形具有稳定性。 课堂测试 60 分组讨论：想想我们生活中日常见到的图形中还有哪些实例运用了三角形稳定性的性质？ 小组讨论 61 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学（初中） （八年级 上） 62 $$