精品解析：江苏省通州高级中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性测试数学试题

江苏省通州高级中学2024-2025学年度 第一学期高一第二次阶段性测试数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据集合的交集运算求解即可． 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 设是定义域为的函数，命题：“”，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题的否定是，. 故选：C 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数转化为分段函数，再选择图象即可. 【详解】，结合图形可知C适合题意. 故选：C. 4. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接求值即可. 【详解】由题意知，， ，. 故选：A 5. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质可得A错误，D错误；作差之后通分化简可得B正确；举反例令，，可得C错误； 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，，时，，，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D错误． 故选：B． 6. 下列运算中正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由于，所以，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 7. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】不等式对任意恒成立，则，成立， 而，当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则条件即为，利用的性质将条件转化为，推出A正确，最后构造其它选项的反例即可. 【详解】设，则，从而是单调递增的奇函数. 从而条件等价于，即，这又等价于，即，即，故A正确； 条件等价于，取，，此时B，C，D均不成立，故B，C，D错误. 故选：A. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（ ） A. 集合的真子集有个 B. C. D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个判断A，依题意可得，即可判断B，根据，判断C，由判断D. 【详解】对于A：因为含有个元素，则集合的真子集有个，故A正确； 对于B：因为且，所以，则，故B错误； 对于C：因为， 显然，，所以不是的子集，故C错误； 对于D：依题意， 所以，显然，故D错误. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，定义域为；B选项，根据定义域及得到B正确；C选项，表达出，根据且，得到不等式，求出值域；D选项，计算得到D正确. 【详解】A选项，由题意得，解得， 故的定义域为，A错误； B选项，的定义域为， ， 故为偶函数，B正确； C选项，由得， 由于且， 显然恒成立，故只需， 解得或，故的值域为，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 11. 已知，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先得到，A选项，由基本不等式“1”的妙用求解；B选项，根据得到；C选项，由A选项得到；D选项，先计算出，利用基本不等式得到D正确. 【详解】，故，故， A选项，由于， 故，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，由A选项知，，故由基本不等式得，C错误； D选项，，且， 故，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分． 12. 设，使和同时成立的一个充分条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的， 所以“”是“和同时成立”的充分条件， 即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件， 所以充分条件可以是． 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知，且，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，求出，代入解出． 【详解】∵，且， ∴令， ∴，解得， ∴，即， ∴． 故答案为：1. 14. 已知函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可． 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得 ，解得，所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】思路点睛： 确定函数特性：首先通过观察函数的解析式，确定其对称性以及单调性.利用函数是偶函数的性质，可以简化后续的求解过程. 求解关键区间：结合函数的单调递增和递减的区间，将整个函数在不同区间的表现形式整理清楚，以便在后续的不等式求解中可以直接应用. 最终解集的确定：利用函数的单调性，将不等式的求解过程逐步细化.通过数轴分析，确定每个可能的解区间，最终得出完整的解集. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答问题：已知集合，. （1）当时，求； （2）若________，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用一元二次不等式以及二次根式的定义，求得集合，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和， 若选择①：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解； 若选择②③，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以. 【小问2详解】 由集合或和， 若选择①：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； 若选择②：由，即， 可得，解得，所以实数的取值范围为； 若选择③：由，可得， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知命题：“，使等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）利用参数分离法将用表示，结合二次函数的性质求出的取值范围，从而可求集合； （2）若是的必要条件，则分类讨论①当即时，，②当即时，，两种情况进行求解； 【详解】解：（1）由题意，方程在上有解 令.只需在值域内 易知值域为.的取值集合 （2）由题意，，显然不为空集. ①当即时，. ②当即时，. . 综合：或 【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用． 17. 已知函数． （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是严格增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，根据奇函数的定义证明结论； （2）根据严格增函数的定义证明结论； （3）利用函数性质化简不等式，由条件可得不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数性质列不等式求结论. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数． 【小问2详解】 当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，，， 所以， 即，所以函数在上是严格增函数． 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是严格增函数， 所以函数在上也是严格增函数，所以函数在上是严格增函数. 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 18. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． 【小问2详解】 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. (i)证明函数的图象关于点对称； (ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）(i)证明见解析；(ii). 【解析】 【分析】(1)根据题意∵为奇函数，∴，令x＝1即可求出； (2)(i)验证为奇函数即可； (ii))求出在区间上的值域为A，记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论f(x)的值域B，分，，三种情况讨论即可. 【小问1详解】 ∵为奇函数， ∴，得， 则令，得. 【小问2详解】 (i)， ∵为奇函数，∴为奇函数， ∴函数的图象关于点对称. (ii)在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 由对，总，使得成立知， ①当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， ∴满足题意； ③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省通州高级中学2024-2025学年度 第一学期高一第二次阶段性测试数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是定义域为的函数，命题：“”，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 12 5. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若，则 D. 7. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（ ） A. 集合的真子集有个 B. C. D. ， 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 11. 已知，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分． 12. 设，使和同时成立的一个充分条件是______． 13. 已知，且，则________． 14. 已知函数，则不等式的解集为________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答问题：已知集合，. （1）当时，求； （2）若________，求实数的取值范围. 16. 已知命题：“，使等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 17. 已知函数． （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是严格增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 18. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. (i)证明函数的图象关于点对称； (ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $