精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

2024年育才高级中学高一年级11月月考 数学试卷 一､单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以，故A正确. 故选：A 2 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可 【详解】由条件知， ， 当且仅当时取等号. 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据代数式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】因为， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：C． 5. 已知函数，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 . 从而可得图像D选项. 故选：D. 6. 已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 7. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 8. 已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得和3为方程的根，且，进而结合韦达定理得到，进而判断ABC；将不等式化简可得，求解即可判断D. 【详解】由题意得，和3为方程的根，且， 则，即，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由，即， 即，解得，故D错误. 故选：BC. 10. 已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合基本不等式逐项判断. 【详解】令，由，得，解得，则， 对于A，，为偶函数，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，由选项C知，， 解得，D正确. 故选：ACD 11. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】赋值，令，可判断A；令，结合奇偶函数定义可判断B；根据抽象函数性质结合函数单调性定义可判断C；利用函数单调性解不等式判断D. 【详解】令，则，即，故A正确； 令，则，即， 所以函数为奇函数，故B错误； 任取，且，则，由题意可得， 所以， 则，则函数为上的减函数， 所以在区间上有最大值为，故C正确； 由，因为函数为上的减函数， 所以，即， 所以的解集为，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴与单调性求解即可. 【详解】由题意，图象的对称轴为， 因为在上是减函数，故，即. 故答案为： 13. 已知，化简______. 【答案】a 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的互化与指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】因为， 故答案为：. 14. 若命题：“，不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】{或} 【解析】 【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R上恒成立求解即可. 【详解】由题意得：，不等式成立为真命题， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围是{或}. 故答案为：{或}. 四､解答题：本大题共5小题，共63分. 15. （1）函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数的定义域为，且，判断的单调性，并用函数单调性的定义进行证明． 【答案】（1）或；（2）函数在区间上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，得到，从而对照系数，得到方程组，求出，得到解析式； （2）根据求出，得到，定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）设，则， ∴，∴，解得，或， ∴或； （2），即，故，故， 函数在区间上单调递增，理由如下： ，且， 有， 由于， 即， 所以函数在区间上单调递增． 16. 已知函数（其中，且）. （1）若，求的值. （2）求关于的方程的解. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，结合完全平方公式可求得的值. （2）将代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 17. 已知， （1）若“x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（1）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意转化为集合、存在公共元素，求出、无公共元素时，实数m的取值范围，取补集即可. （2）由题意转化为，再根据集合的包含关系可得，解不等式组即可. 【详解】， （1）若“x∈A，使得x∈B”为真命题，即集合、存在公共元素， 假设、无公共元素，则或， 解得或， 则集合、存在公共元素时，实数m的取值范围. （2）存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件， 若 “x∈A”是“X∈B”必要不充分条件， 则，所以，解得， 所以m的取值范围为. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的集合思想，考查了转化与化归的思想，属于中档题. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. （1）求函数的解析式； （2）若在上为增函数，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合奇偶性得，，解方程即可； （2）由函数为奇函数且单增可得，解不等式即可. 【小问1详解】 结合奇偶性可得，即，又可得，故，； 【小问2详解】 若在上为增函数，则，即，，解得 19. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 【答案】（1） （2）最大值为平方米，米. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式，将代入即可求出的值； （2）利用（1）中得到关系式结合基本不等式求出的范围即可求出面积的最大值以及此时，的值. 【小问1详解】 设圆与道路1、道路2、直线的切点分为，，，连接，，， 由切线长定理可知，，则， 由题知且，，， 即，化简得① 把代入①，解得； 【小问2详解】 由题有，， 因为，所以， 令，则，解得， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 解得，此时，， 则， 所以的面积的最大值为平方米，此时米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年育才高级中学高一年级11月月考 数学试卷 一､单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的图像是（ ） A. B. C D. 6. 已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 10. 已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. D. 若，则 11. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 三､填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 13. 已知，化简______. 14. 若命题：“，不等式成立”为假命题，则实数取值范围是______. 四､解答题：本大题共5小题，共63分. 15. （1）函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数的定义域为，且，判断的单调性，并用函数单调性的定义进行证明． 16. 已知函数（其中，且）. （1）若，求的值. （2）求关于方程的解. 17. 已知， （1）若“x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. （1）求函数的解析式； （2）若在上为增函数，解不等式. 19. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积最大值，并求此时，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $