精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中调研测试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角. 【详解】由直线得其斜率为， 设直线的倾斜角为（），则， 所以，所以直线的倾斜角为， 故选：D 2. 椭圆的焦点的坐标为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 求出的值，结合椭圆的焦点位置可得结果. 【详解】在椭圆中，，，则， 易知该椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的焦点的坐标为，. 故选：D. 3. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为相交. 故选：C. 4. 方程表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 5. 如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知圆心在直线上，即可得结果. 【详解】方程表示圆心为的圆， 由题意可知：圆心在直线上， 则，即. 故选：A. 6. 设为实数，若矩形的边所在的直线方程分别为，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知两直线平行，列式求解，并代入检验. 【详解】由题意可知：直线与平行， 则，解得或， 若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意； 若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意； 综上所述：的值为或. 故选：C. 7. 过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长，表示出三角形面积，再令，结合二次函数的性质求出即可； 【详解】 由题意可得，直线的斜率存在，设为， 则， 点到直线的距离为， 弦长， 所以， 令，则， 所以， 当时取等号，此时， 故选：A. 8. 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，根据渐近线和中位线可知，即可得离心率. 【详解】由题意可知：， 设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 则点到直线的距离， 可得， 又因为分别为的中点，则， 即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果，那么直线通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜率以及 轴截距判断即可； 【详解】因为，,所以 所以， 令 所以直线经过一三四象限. 故选：ACD. 10. 已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ） A. 周长为12 B. 的最小值为3 C. 存在点，使得 D. 的最大值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆定义即可判断；对于B：根据椭圆性质即可判断；对于C：可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况即可；对于D：根据椭圆定义结合基本不等式分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：， 则. 对于选项A：的周长为，故A正确； 对于选项B：的最小值为，故B错误； 对于选项C：存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点， 所以不存在点，使得，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故D正确； 故选：AD. 11. 已知圆：，则下列结论正确的是（ ） A. ，圆经过点 B. ，直线与圆相切 C. ，存在定直线与圆相切 D. ，存在定圆与圆外切 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将点代入圆，可求出进行判断；对于B，利用圆心到直线的距离验证；对于C，数形结合验证；对于D，当圆为时，利用圆与圆的位置关系验证. 【详解】对于A，将点代入圆，得， 整理得，此时，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为： ，故B正确； 对于C，因为圆的圆心为，且， 所以圆的圆心在以原点为圆心，半径为2的圆上，如图所示： 又圆半径为，， 当圆圆心在圆上运动时，显然没有定直线与圆相切，故C错误； 对于D，当圆为时，圆心为，半径为1， 所以圆与圆的圆心距为： 而圆与圆的半径和为， 故存在定圆：与圆外切，故D正确. 故答案为：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p. 【详解】由抛物线方程知，，， 所以焦点到准线的距离为2. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题. 13. 函数的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点距离公式的几何意义可得表示到点距离之和，作点关于轴的对称点，根据对称的性质结合不等式分析可得，运算求解 【详解】， 根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和， 如图所示，作出点关于轴的对称点， 连接，交轴于点，连接， 可得， 又由， 当且仅当点与重合时，等号成立， 所以，即函数的最小值为 故答案： 14. 设为正实数，若集合，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】画出集合表示的区域，通过直线与圆相切即可求解. 【详解】画出表示的区域，如图正方形及其内部， ，可知当与图中正方形相切时，取得最大值， 易知坐标原点到正方形边的距离为，所以， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，直线. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【小问1详解】 设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. 【小问2详解】 因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 16. 设为实数，已知方程表示椭圆. （1）求的取值范围； （2）若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程的特征直接构造不等式组即可求得结果； （2）由椭圆方程可得焦点坐标，将焦点横坐标代入椭圆方程可求得纵坐标，由此可得结果 【小问1详解】 表示椭圆，，解得：或， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，椭圆方程为：，焦点坐标为， 将代入椭圆方程可得：，即，. 17. 已知圆的一条对称轴方程为，并且与轴交于两点. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）通过已知条件先确定圆心坐标，再求得半径即可； （2）通过确定圆心到直线的距离，再结合斜率存在与不存在两种情况讨论即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由圆过得两点，得圆心在直线上， 由，解得， 所以 所以圆的方程为，即； 【小问2详解】 由，可得：为等腰直角三角形， ，, 所以圆心到直线的距离， ①若直线存在斜率，可设方程为，即， 由已知圆心到直线的距离，解得， 此时，直线的方程为，即； ②若直线斜率不存在，则的方程为，符合题意， 综上所述，直线的方程为或. 18. 双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解； （2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解. 【小问1详解】 由光学性质知，三点共线， 因为，所以， 当轴时，在双曲方程中令，解得，则， 所以，即， 又因为，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以，即，可得， 又，所以，，所以 所以方程为，即：. 19. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. （1）求抛物线的方程； （2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； （3）求证：直线经过原点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义求出得解； （2）设出直线方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系及中点坐标得解； （3）由根与系数的关系及直线的两点式方程，化简可得出直线在轴截距为0得证. 【小问1详解】 由抛物线的定义知：， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为的斜率不为，设方程为，， 由，化简， 所以， 又由，得， 所以方程为，即； 【小问3详解】 由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：， 又因为， 所以，， 所以直线经过原点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期中调研测试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点的坐标为 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 4. 方程表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 5. 如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（ ） A. B. C. D. 6. 设为实数，若矩形的边所在的直线方程分别为，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果，那么直线通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确是（ ） A. 的周长为12 B. 的最小值为3 C. 存在点，使得 D. 的最大值为16 11. 已知圆：，则下列结论正确的是（ ） A. ，圆经过点 B. ，直线与圆相切 C. ，存在定直线与圆相切 D. ，存在定圆与圆外切 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 13. 函数的最小值为_________． 14. 设为正实数，若集合，且，则的取值范围是___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，直线. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）若点在直线上，且，求点的坐标. 16. 设实数，已知方程表示椭圆. （1）求的取值范围； （2）若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 17. 已知圆的一条对称轴方程为，并且与轴交于两点. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 18. 双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求直线方程. 19. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. （1）求抛物线的方程； （2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； （3）求证：直线经过原点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$