精品解析：广东省广州市广东实验中学2025届高三上学期10月阶段检测数学试卷

广东实验中学2025届高三10月阶段检测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出共轭复数，根据复数的运算法则即可得解. 【详解】由题：，所以， . 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据交集的定义计算可得； 【详解】因为， 所以 故选：C 3. 若函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合导数的几何意义可得，从而可求出的值. 【详解】由，得， 因为函数在点处的切线与直线垂直， 所以，解得， 故选：A 4. 在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】，，， 则由正弦定理可得，， ， ， ， 的大小为或． 故选：C． 5. 若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图像，即可分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，再结合图像求出直线与圆相切和过点时的斜率，即可写出斜率k的取值范围. 【详解】因为圆为以为圆心2为半径的圆，经过一四象限， 又直线过定点， 所以直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，如下图所示， 又易知圆与轴的两个交点，， 当直线经过点时，， 如图，当直线经过点，即直线与圆相切时，设圆心到直线的距离为， 则，整理得到，解得， 结合图像可知， 故选：D. 6. 在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（ ） A. 77 B. 76 C. 75 D. 74 【答案】A 【解析】 【分析】先由题给条件判定数列为等差数列，进而求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可求得其前n项和的最大值. 【详解】因为，即，所以为等差数列，且公差为-3．又20， 所以，所以数列单调递减数列， 所以， 所以最大，且． 故选：A． 7. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，再结合函数草图判断方程解的个数. 【详解】易知函数的定义域为，函数的零点个数，可转化为方程：的根的个数， 在同一坐标系中，画出函数和的图象，如图： 两个函数图象有两个交点. 所以原函数有两个零点. 故选：B 8. 某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，则下列结论不正确的是（ ） （附：，，，.） A. B. 与的递推公式为 C. 按照计划2028年年初存栏数首次突破1000 D. 令，则（精确到1） 【答案】C 【解析】 【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出60头”建立与的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解. 【详解】由题意得，并且，故B正确； 则，故A正确； 设，则，则0.2x＝60，则x＝300， ∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则， 令，则， ∵，，∴n－1≥7，则n≥8， 故2029年年初存栏数首次突破1000，故C错误； ≈3000＋1000×(6.1917－1)≈8192，故D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 若且，则实数m的值可以为（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】令后可求，再令可得关于的方程，从而可求的值. 【详解】因为， 令，则， 令，则， 则，故即或. 故选：AD． 10. 已知曲线，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆，也可能是直线 B. 曲线C可能是焦点在轴上的椭圆 C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案. 【详解】设，故曲线C的方程可表示为， 对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确； 对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误； 对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线， 此时离心率为，由，可得， 即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 在长方体中，，，点P满足：，其中、、，下列结论正确的是（ ） A. 当，时，P到的距离为 B. 当时，点到平面的距离的最大值为1 C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性关系确定所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离，根据线面角的定义求直线与平面所成角的最大正切值，求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积. 【详解】A：，则，即，故在上运动， 所以到的距离为，即棱与的距离，正确； B：，则，故在面上运动， 所以，当在上时，到平面的距离最大， 而，面，面，则面， 所以，由长方体结构特征，最大值问题化为到的距离，，则，错； C：，则，故在上运动， 根据长方体的结构易知：当与重合时，直线与面所成角正切值的最大值为，正确； D：，则，故为中点， 如图，，，    所以的底面为矩形，顶点在的投影为底面中心，即的交点， 故外接球的球心一定在直线上，令球体半径为R， 所以，，且， 可得，则外接球的表面积为，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，=______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算将原式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 ， 因为，所以原式. 故答案为:. 13. 已知两条平行直线间的距离为，则____. 【答案】5 【解析】 【分析】先利用两直线平行求得m的值，再利用两平行直线间的距离公式求得n的值，进而求得的值. 【详解】根据题意，两条直线平行， 必有，解可得 则即，变形可得， 又由两条平行直线间的距离为，则有， 故，解之可得或， 则时；时. 故答案为：5. 14. 已知函数，若______；若，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 第一个空直接代入计算即可得答案；第二个空先根据题意得或，进而得或或或，再解不等式组求并集即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴ ； 因为，所以或， 即或， 所以或或或， 解以上四个不等式组得解集分别为：，，，， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】本题考查指对数运算与利用指对数函数解不等式问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.本题第二空解题的关键是下根据题意解得或，再进一步解不等式组或或或即可得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，由条件易知底面为直角梯形， 又，为的中点， 所以,, 因为，即为等腰三角形，， 所以， 易知，故， 因为底面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件证明线线垂直再证线面垂直即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上可知两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以, 设平面与平面的法向量分别为， 则，， 取，取， 即， 设二面角的大小为，易知为钝角， 则. 17. 在直四棱柱中，四边形为平行四边形，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可证得，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积运算可证得，，由线面垂直的判定可得结论； （2）利用面面角的向量求法直接求解即可. 【小问1详解】 四边形为平行四边形，，又， ，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ，即，， ，平面，平面. 【小问2详解】 由（1）：平面的一个法向量为； 设平面的法向量， ，，， 令，解得：，，， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列的前项和为，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知数列是公差为2为等差数列，求出首项即可写出通项； （2）先求出数列的通项，再用裂项求和的方法求前项和. 【小问1详解】 由可知数列是以公差的等差数列, 又得， 解得, 故， 即. 【小问2详解】 因为, 所以 . 19. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性 （2）设函数，若函数只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）为偶函数；（2）或者. 【解析】 【分析】第一问利用奇偶函数的定义判断，第二问先变形，转化为一元二次方程根的分布问题即可. 【详解】解（1）∵ ∴，∴定义域为R 由 ，∴为偶函数 （2） 只有一个零点，∴方程只有一个实根 即只有一个解， ∴，即只有一个解 令，则方程可转化为关于t的方程， 故方程，有且只有一个正实数根， 当，，显然不成立， 故，方程的解有两种情况 （1）有且只有一个实数根且为正根，则 ，解得或者（舍去） （2）有一正根一负根，则 ，解得. 综上所述：或者. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学2025届高三10月阶段检测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（ ） A. 77 B. 76 C. 75 D. 74 7. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 8. 某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，则下列结论不正确的是（ ） （附：，，，.） A. B. 与的递推公式为 C. 按照计划2028年年初存栏数首次突破1000 D. 令，则（精确到1） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 若且，则实数m的值可以为（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 1 10. 已知曲线，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆，也可能是直线 B. 曲线C可能是焦点在轴上的椭圆 C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 11. 在长方体中，，，点P满足：，其中、、，下列结论正确的是（ ） A. 当，时，P到的距离为 B. 当时，点到平面的距离的最大值为1 C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，=______________ 13. 已知两条平行直线间的距离为，则____. 14. 已知函数，若______；若，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 在直四棱柱中，四边形为平行四边形，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列的前项和为，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 19. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性 （2）设函数，若函数只有一个零点，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $