第04讲 简单几何体的表面展开图（1个知识点+9大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

第04讲 简单几何体的表面展开图（1个知识点+9大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.已知三视图求边长、侧面积或表面积； 2.圆锥的侧面积、底面半径、圆锥的高和圆锥的实际问题； 3.圆锥侧面上的最短路径问题； 1.掌握圆锥的侧面积、底面半径、圆锥的高和圆锥的实际问题等的计算； 2.圆锥侧面上的最短路径问题； 知识点一、圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积， 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【即学即练1】 1．已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是旋转体，需熟练掌握圆锥的侧面积公式及圆锥的几何特征，由圆锥的侧面积公式，先求出圆锥的母线长，进而可得圆锥的高． 【详解】解：解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为, ∴圆锥的母线长满足：，解得：, ∴圆锥的高h＝, 故选：B． 【即学即练2】 2．已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥表面积的计算：根据圆锥侧面积加上圆锥的底面面积计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：B 【即学即练3】 3．若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程求出即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的母线长为． 故选：D． 【即学即练4】 4．如图，圆锥的底面半径，高则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再利用底面周长展开图的弧长，圆锥的母线长展开图的扇形的半径，即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的母线长， 设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为，则 ， 解得：， 故选：C． 题型01 求圆锥侧面积 1．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，熟练掌握求圆锥侧面积公式是解题关键．首先求得圆锥底面半径，然后根据圆锥侧面积公式，求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径与母线的比为，母线长为6， ∴圆锥的底面半径， ∴该圆锥的侧面积． 故选：C． 2．如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 3．如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆锥的侧面积，根据勾股定理先求解，再结合侧面积公式：，（为底面圆半径，为弧长），从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴圆锥侧面积：， 故答案为： 4．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积，勾股定理求得母线，进而根据侧面积公式，即可求解． 【详解】解：图知圆锥的高为，圆锥的底面直径为，即底面半径为， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为， 故答案为：． 5．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 题型02 求圆锥底面半径 1．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即围成的圆锥的底面圆的半径为． 故选：B． 2．如图是一张圆形纸片，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥底面半径．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可列出方程计算． 【详解】根据题意可知，扇形的圆心角， 则， 解得：． 故选：A． 3．若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长．根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径． 【详解】解：∵圆锥的母线为， 设底面圆半径为r ∴ ∴． 故答案为：． 4．如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：连接，由题意得， 是边长为2的等边三角形， ∴ ， 扇形的弧长为， 圆锥的底面圆的半径是． 故答案为：． 5．一堆圆锥形黄沙，底面周长是，高，将这堆黄沙铺在宽的地面上，铺厚，能铺多少米长？（取3.14） 【答案】能铺长． 【分析】此题主要考查圆锥的体积计算公式以及长方体体积计算公式的运用情况．要求能铺多少米，应先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，进一步再求所铺路面的长度． 【详解】解： 黄沙堆的体积： ； 所铺地面的长度： ； 答：能铺长． 题型03 求圆锥的高 1．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为， ∴这个圆锥形筒的高为． 故选：B． 2．将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握公式是解题的关键．根据圆锥侧面积公式求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥的底面圆的半径，即直角三角形的一直角边为5，设直角三角形的另一条直角边的长为x，利用股沟定理求出，即这条边的长为圆锥的高． 【详解】解：扇形的面积，即， 解得，即圆锥的底面周长为， 由可得圆锥的半径，即直角三角形的一直角边为， 设直角三角形的另一条直角边的长为， 由勾股定理可知， 解得：， 直角三角形的另一直角边为，即圆锥的高为． 故选：B． 3．在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理． 先利用弧长公式得到圆心角为，半径为6的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：圆心角为，半径为的扇形的弧长， 圆锥的底面圆的周长为， 圆锥的底面圆的半径为2， 圆锥的高为． 故答案为：． 4．将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径r，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r， ∵圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆， ∴ 解得， ∴． 故答案为：． 5．如图，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm． (1)求扇形的弧长；（结果保留π） (2)如图所示，若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式求解即可； （2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算． 【详解】（1）解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm， ∴． （2）设圆锥底面圆的半径为r， ∴，解得， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查的是求解扇形的弧长，圆锥的高，掌握“圆锥的底面圆的周长对应展开图扇形的弧长”是解本题的关键． 题型04 求圆锥侧面展开图的圆心角 1．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 2．若一个圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度．则， 解得：． 故选：C． 3．如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】216 【分析】本题考查了圆锥侧展开图的圆心角的计算，熟知圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长是解题的关键．根据主视图得到圆锥的母线长和底面圆的直径，可得底面周长，再由扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得可知：圆锥的母线长为5， 圆锥的底面直径为6，则圆锥的底面周长为， 由圆锥的侧面展开图的弧长可得：． ∴ 故答案为：216． 4．圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角；根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵圆锥母线长，底面圆半径，， ∴， 故答案为：． 5．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 题型05 圆锥的实际问题 1．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：设底面圆的半径为，母线长为， 由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，是解题的关键． 2．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（    ）． A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】C 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长结合弧长公式列式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：l＝6， 即该圆锥母线l的长为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 3．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 4．如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为 cm． 【答案】12 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：底面圆的半径为， 底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 设母线长为 ∵侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳 ∴ 故答案为：12 5．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系．根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】 解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：． 题型06 圆锥侧面上最短路径问题 1．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图， 连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， 在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2， 解得AS＝10． ∵A，S两点之间线段AS最短， ∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 2．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，�从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ） A．6 B． C．3 D．3 【答案】C 【详解】分析：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题． 解： ： ∵如图扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=， ∴n=120°即扇形的圆心角是120°， ∴弧所对的弦长AA′=2×3sin60°=， 故应选C． 点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 3．如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 ． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝8π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝8π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：， 即展开后∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝4，AB＝8， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 4．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为 （结果保留根号） 【答案】6 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【详解】∵底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为2×＝3， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n． ∴， 解得n＝90°， 如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程， ∵∠O=90°，OA′=OA=6， ∴AA′＝． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点． 5．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【答案】详见解析． 【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 题型07 已知三视图求边长 1．一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．从顶点作出高线，标注各点，即为水面所在圆的半径，根据水面与容器底面平等，利用相似三角形对应边成比例求出的长即可． 【详解】解：标注主视图各点为A、B、C，作于点D，交水面线段于点E，水面线段交于点F，如图，由题意得，， ∵是圆锥容器的主视图， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是的垂直平分线，cm， ∵水面与容器底面平等，即， ∴， ∴，即为水面所在圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即上水面所在圆的直径长为6cm， 故选：A． 2．三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【答案】A 【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可． 【详解】过点E作于点Q， 根据三视图的意义，得到，    ∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键． 3．如图，是某圆锥的左视图，其中，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，三视图，根据三视图可知圆锥底面圆的直径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积等于底面圆周长与母线长乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥底面圆的直径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 4．如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为 【答案】5 【分析】过E作交于点，根据，，即可得到，根据左视图即可得到； 【详解】解：过E作交于点， ∵，，， ∴， 由左视图可得， ， 故答案为5； 【点睛】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正确理解三视图． 5．如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，因此，b等于底面三角形的高； （2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10， 因此，， 故答案为：，； （2）解： ， 即这个几何体的侧面积为． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状． 题型08 已知三视图求侧面积或表面积 1．如图， 是一个几何体的三视图， 那么这个几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三视图，求圆锥的表面积，根据三视图可知立体图形为底面圆半径为3，高线为4的圆锥，根据圆锥的表面积的计算公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：立体图形为底面圆半径为3，高线为4的圆锥， ∴母线长为， ∴表面积为：； 故选C． 2．如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积公式；根据三视图可得此几何体为圆锥，那么，从而得出答案． 【详解】根据三视图可得：这个几何体为圆锥， 直径为，圆锥母线长为， 侧面积. 故选：B. 3．一个长方体木块的长为8厘米，宽为6厘米，高为10厘米，在这个木块的一个角上挖掉一个棱长为3厘米的正方体，这个木块现在的表面积是 平方厘米． 【答案】376 【分析】本题考查立体图形表面积，明确挖去一个小正方体后，减少小正方体3个面，同时又增加小正方体3个面，故表面积不发生变化，据此利用长方体的表面积公式计算即可解答问题． 【详解】解：由题意得：长方体挖去一个小正方体后，减少小正方体3个面，同时又增加小正方体3个面，故表面积不发生变化， ∵原长方体的长宽高分别是8厘米、6厘米、10厘米， 所以表面积是： （平方厘米） 答：原长方体的表面积是376平方厘米． 故答案为：376． 4．如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求几何体的侧面积以及几何体的三视图，先由三视图得出这个几何体是正三棱柱，结合侧面积等于三个长方形的面积之和，即，据此作答． 【详解】解：依题意，这个几何体是正三棱柱 ∴ ∴这个几何体的侧面积是 故答案为： 5．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）．          (1)图中的立体图形的名称是：_________． (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体，计算圆柱的表面积： （1）根据左视图和主视图是长方形，则该几何体是柱体，再由俯视图为圆可知该几何体是圆柱； （2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，则该立体图形是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：， ， ∴制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为． 题型09 求小立方体堆砌的表面积 1．如图，用24块棱长分别为，，的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可是搭成的长方体表面积最小是解决问题的关键． 【详解】根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：将三块长方体按，面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为，，，再用两个大长方体(即个小长方体) 按, 面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为m的大长方体. 此时大长方体的表面积为： 将两块块长方体按面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为. 再用三个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体 (即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 此时大长方体的表面积为： 因为 所以搭成大长方体表面积的最小值为， 故选: B. 2．如图，棱长为4的正方体缺了一部分，将其表面全部涂成红色后，再切成若干个棱长为1的小正方体，则有三个面被染成红色的小正方体共有（    ） A．7个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查了几何体三视图，根据图形，找出露出三个面的小正方体，即可解答． 【详解】解：由图可知： 有三个面被染成红色的小正方体，角上有4个，面上有7个， 共 （个）． 故选：D． 3．用3个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体．这个长方体的体积是 立方厘米，表面积是 平方分米． 【答案】 24000 56 【分析】本题考查的是几何图形体积和表面积的计算，根据正方体的体积和表面积计算公式计算即可． 【详解】正方体体积： 立方分米， 三个立方体拼成的体积只是相加，总体积为立方分米=24000立方厘米； 正方体表面积：平方分米， 三个立方体叠加，但是有4个面是被盖住了的， 所以总表面积为平方分米 故答案为：24000，56 ． 4．如图是由同样大小的小方块堆积起来的几何体，已知每个小方块的棱长是1厘米，它的体积是 立方厘米，表面积是 平方厘米． 【答案】 8 28 【分析】本题主要考查了小立方块堆积成的几何体的体积和表面积，根据一个小立方块的体积为，再根据立方块的总数，求出体积即可；分别根据每个面看到的小正方形的个数求出表面积即可． 【详解】解：体积：； 表面积：． 故答案为：8；28． 5．如图1，是由6个棱长都为的小立方块搭成的几何体． (1)图2是从三个方向观察这个几何体所分别看到的三个平面图形，请直接写出从三个方向看到的形状图序号：从正面看是__________，从左面看是__________，从上面看是__________； (2)请直接写出这个几何体的体积为__________，表面积（包括底面）为__________． 【答案】(1)③，②，① (2)48；104 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体． （1）由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方数形数目分别为1，2，1，1；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，1；从上面看有4列，每列小正方形数目分别为2，1，1，1． （2）得出几何体中小正方体的个数，继而可得出表面积和体积． 【详解】（1）解：从正面看是③，从左面看是②，从上面看是①； （2）解：这个几何体的体积为， 表面积（包括底面）为：； 1．已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：A． 2．如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原立体图形并求组合体的表面积，涉及圆柱的表面积求法，根据三视图准确得到立体图形，熟练掌握圆柱表面积求法列式求解即可得到答案，发挥空间想象能力，熟记圆柱表面积计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：有这个几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱的组合体，上层是直径较小的圆柱、下层是直径较大的圆柱， 这个几何体的表面积是两个圆柱的表面积减去上层圆柱底面圆面积的2倍，则； ； 这个几何体的表面积是， 故选：C． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【详解】解：，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故选：A． 4．斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 故选：B． 5．小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 6．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的高跟底面圆半径以及母线构成直角三角形，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得， 圆锥的母线长为， 圆锥的高为． 故答案为：． 7．在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 【答案】216 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数，勾股定理求出的长，根据旋转的方式，得到底面圆的半径为，母线为，根据底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，得：圆锥的底面圆的半径为，母线为， 设展开后扇形的圆心角的度数为，则：， 解得：； 故答案为：216． 8．如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，勾股定理，面动成体，先利用勾股定理得到，再根据题意可得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，据此根据圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于， 故答案为：． 9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，列出方程计算即可，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，是解此题的关键． 【详解】解：由题意得；， 解得：， 该圆锥的底面圆的半径长为， 故答案为：． 10．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得，从而求得n的值；再利用勾股定理即可求得的长，从而完成解答． 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【分析】本题考查了画三视图、求几何体的表面积、根据三视图求添加小正方体个数，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）要保持主视图和左视图不变，可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加块小正方体； （3）将主视图、左视图、俯视图面积相加，再乘2即可得出这堆几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：∵要保持主视图和左视图不变， ∴可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加1块小正方体，即最多可以再添加2块小正方体， 故答案为：2． （3）解：∵小正方体的棱长都为， ∴块小正方形的面积， ∴这堆几何体的表面积； 答：添加最多的小正方体后该几何体的表面积为． 12．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． (1)请写出这个食品包装盒的几何体名称______． (2)如果用一个平面去截这个几何体，那么截面有哪些形状？（写出2种即可） (3)若，，，，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)三角形、四边形（长方形、梯形）、五边形（任选2种即可） (3) 【分析】本题主要考查了三棱柱的展开图与几何体之间的联系和体积的求法，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据图示可知有个长方形和个三角形组成，故可知是三棱柱； （2）根据三棱柱所截面即可求解； （3）根据多面体侧面积公式计算即可； 【详解】（1）解：由图形可知，共有个长方形组成侧面， 个三角形组成底面，即组成几何体三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：根据题意，用一个平面去截这个几何体，那么截面有三角形、四边形（长方形、梯形）和五边形； （3）解：，，，， ，，， ， 13．根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积．熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正， 主、左视图高平齐， 俯、左视图宽相等”的特点，确定几何体的尺寸． （1）从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥； （2）由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5；利用圆锥表面积=侧面积+底面积即可求出. 【详解】（1）解：这是一个圆锥， 故答案为：圆锥. （2）解：母线长：， 底面圆周长：， 侧面积：， 底面积：， 表面积： 故这个圆锥的表面积为 14．已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解题关键． （1）根据弧长公式计算即可； （2）设这个圆锥的半径是，根据题意列方程，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的高是． 15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）． (1)若米，求圆锥的侧面积； (2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)圆锥的侧面积为平方米 (2)亭盖的外部面积为平方米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆锥的侧面积．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．用到的知识点为：圆锥的侧面积母线长底面半径． （1）利用勾股定理求得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积母线长底面半径，可得圆锥的侧面积； （2）设长米，根据的值，可得的值，进而根据的值可得用表示的．计算出的值后利用勾股定理求得的长度，根据圆锥的侧面积公式求得圆锥的侧面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：． 米，米， （米． 圆锥的侧面积（米． 答：圆锥的侧面积为平方米； （2）解：由题意得：． 设长米． ， 米． 米， 米． ， ． 解得：． 米，米， 米． 米，． （米． 圆锥的侧面积（米． 答：亭盖的外部面积为平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 简单几何体的表面展开图（1个知识点+9大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.已知三视图求边长、侧面积或表面积； 2.圆锥的侧面积、底面半径、圆锥的高和圆锥的实际问题； 3.圆锥侧面上的最短路径问题； 1.掌握圆锥的侧面积、底面半径、圆锥的高和圆锥的实际问题等的计算； 2.圆锥侧面上的最短路径问题； 知识点一、圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积， 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【即学即练1】 1．已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 3．若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是(    )． A． B． C． D． 【即学即练4】 4．如图，圆锥的底面半径，高则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 题型01 求圆锥侧面积 1．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ． 4．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ． 5．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 题型02 求圆锥底面半径1．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．如图是一张圆形纸片，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B． C． D． 3．若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 ． 4．如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 5．一堆圆锥形黄沙，底面周长是，高，将这堆黄沙铺在宽的地面上，铺厚，能铺多少米长？（取3.14） 题型03 求圆锥的高 1．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 2．将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 3．在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ． 4．将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 ． 5．如图，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm． (1)求扇形的弧长；（结果保留π） (2)如图所示，若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．（结果保留根号） 题型04 求圆锥侧面展开图的圆心角 1．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 2．若一个圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 4．圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 度． 5．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 题型05 圆锥的实际问题 1．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（    ）． A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 3．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 4．如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为 cm． 5．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 题型06 圆锥侧面上最短路径问题 1．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 2．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，�从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ） A．6 B． C．3 D．3 3．如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 ． 4．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为 （结果保留根号） 5．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 题型07 已知三视图求边长 1．一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 2．三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 3．如图，是某圆锥的左视图，其中，则圆锥的侧面积为 ． 4．如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为 5．如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 题型08 已知三视图求侧面积或表面积 1．如图， 是一个几何体的三视图， 那么这个几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．一个长方体木块的长为8厘米，宽为6厘米，高为10厘米，在这个木块的一个角上挖掉一个棱长为3厘米的正方体，这个木块现在的表面积是 平方厘米． 4．如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是 ． 5．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）．          (1)图中的立体图形的名称是：_________． (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 题型09 求小立方体堆砌的表面积 1．如图，用24块棱长分别为，，的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，棱长为4的正方体缺了一部分，将其表面全部涂成红色后，再切成若干个棱长为1的小正方体，则有三个面被染成红色的小正方体共有（    ） A．7个 B．9个 C．10个 D．11个 3．用3个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体．这个长方体的体积是 立方厘米，表面积是 平方分米． 4．如图是由同样大小的小方块堆积起来的几何体，已知每个小方块的棱长是1厘米，它的体积是 立方厘米，表面积是 平方厘米． 5．如图1，是由6个棱长都为的小立方块搭成的几何体． (1)图2是从三个方向观察这个几何体所分别看到的三个平面图形，请直接写出从三个方向看到的形状图序号：从正面看是__________，从左面看是__________，从上面看是__________； (2)请直接写出这个几何体的体积为__________，表面积（包括底面）为__________． 1．已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 4．斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 5．小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 7．在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 8．如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留） 9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ． 10．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 11．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 12．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． (1)请写出这个食品包装盒的几何体名称______． (2)如果用一个平面去截这个几何体，那么截面有哪些形状？（写出2种即可） (3)若，，，，求这个几何体的侧面积． 13．根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 14．已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）． (1)若米，求圆锥的侧面积； (2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$