4.1 函数 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

4.1 函数 北师大版数学 八年级上册 行星在宇宙中的位置随时间而变化 导入新知 万物皆变 气温随海拔而变化 导 入 新 知 汽车行驶里程随行驶时间而变化 导入新知 导 入 新 知 为了更深刻地认识千变万化的世界，本节课，我们将 学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变 化的规律. 3. 经历对具体实例的研究过程，进一步发展抽象 思维能力. 2. 了解函数的三种表达方式，并会用含有一个 变量的代数式表示另一个变量. 1. 理 解函 数及其相关概念， 并能判断两个变 量之间的关系是不是函数关系. 素 养 目 标 函数及相关概念 如果你坐在摩天 轮上，随着时间的变 化，你离开地面的高 度是如何变化的? 由低变高， 再由高变低. 探究新知 知识点1 h(米) t(分) 探究新知 0123456789101112 t(分) 0123456789101112 < 探究新知 h(米) 之 探究新知 ■ 0123456789101112 h(米) t( 分 ) ■ ■ ■ ■ 探究新知 h (米) t( 分 ) 0123456789101112 ………………… … ■ … … … ■ 探究新知 ■ 0123456789101112 h(米) t( 分 ) ……………………………… …………………… …………………………………………………………… ■ t(分) 0123456789101112 探究新知 h ( 米 ) 探究新知 探究新知 如图反映了摩天轮 上一点的高度h(m) 与 旋转时间t(min) 之间的 关系. (1)根据右图填表： t/min 0 1 2 3 4 5 h/m 3 13 36 47 36 13 (2)对于给定的时间t, 相应的高度h确定吗? 确定 探究新知 做一做 1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。 随着层数的增加，物体的总数是如何变化的? 填写下表： 层数与物体总数 层数n 1 2 3 4 5 物体总数y 1 3 6 10 15 只要给定层数，就能求出物体总数。 探究新知 2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273 ℃,则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃作为热力 学温度的零度.热力学温度T(K) 与摄氏温度t(℃) 之间有 如下数量关系： T=t+273,T≥0. ( 1 ) 当t分别为-43 ℃,-27℃,0℃,18℃时，相应 的热力学温度T是多少? (2)给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T 值吗? 探究新知 ( 1 ) 当t分别为-43 ℃,-27℃,0℃,18℃时，相应的 热力学温度T是多少? 解 ：当t为-43℃时， T=-43+273=230(℃); 当t为-27℃时，T=-27+273=246(℃) ; 当t为0℃时， T=0+273=273(℃); 当t 为18℃时， T=18+273=291(℃). (2)给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T 唯一一个T 值 解 ：是，因为t≥-273时 ， T>0. 值吗? 上面的三个问题中，有什么共同特点? ①时间t 、相 应的高度 h ; ②层数n、物体总数y ; ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值， 相应地就确定了另一个变量的值. 探究新知 一般地，如果在一个变化过程中有两 个变量x和y, 并且对于变量x 的每一个值， 变量y都有唯一的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量。 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中 两个变量之间的关系. 探究新知 小结 函数 表示函数的一般 方法有： 列表法、关系式 法和图象法. (2)给定一个大于-273℃的：值，你都能求出相应的T 值吗? 表示函数的一般方法有哪些呢? 层数n 1 2 3 5 物体总数y 的总数是如何变化的? 填写下表： 作为热力学温度的零度.热力学温 关系：T=t+273,T>0. , 18℃时，相应的热力学温度T是 探究新知 t/min 0 A/m 关系式 法 压强为零，因 度T(K) (1)当 多少? 2. 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃,则气体的 1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体 图4-1反映了摩天轮上一点的高度h(m) 与旋转时间t(min) 之间的 图象法 (2)对于给定的时间t,相应的高度h 确定吗? (1)根据图4-1填表： 关系。 图4-1 素养考点 利用函数的定义判断函数 例 下列关于变量x,y 的关系式：①y=2x+3;②y =x²+3; ③y=2|x|;④y=± √x;⑤ y²-3x=10, 其中表示y 是x 的函数关 系的是 ①②③ 提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一 个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 探 究 新 知 < 巩固练习 变式训练 下列式子中的y是x的函数吗?为什么?若y不是x的函数，怎 样改变，才能使y是x的函数? (1)y=-2x-3 (3)y=±√x+2 解： ( 1 ) 、 ( 2 ) 中y是x的函数，因为对于x的每一个确定 的值，y 都有唯一确定的值与其对应；(3)中，y 不是x的函 数，因为对于x的每一个确定的值，y 都有两个确定的值与其 对应.将关系式改为 y=√x+2 或 y=-√x+2 ,都能使y 是x的函数. 问：变量y是x的函数吗?为什么?若要使y是x的 函 数 ，可 以怎样改动表格? 解 ：y 不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y 都 有两个确定的值与其对应.要使y是x的函数，可以将表 格中y的每一个值中的“±”改为“十”或“一 ”. < 巩 固 练 习 变式训练 变量x与y的对应关系如下表所示： X 1 4 9 16 25 y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ● 压强为零，因此，物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温 度T(K) 与摄氏温度：(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T>0. (1)当1分别为-43℃,-27℃,0℃,18℃时，相应的热力学温度T 是 多少? (2)给定一个大于-273℃的：值，你都能求出相应的T 值吗? 上述问题中，自变量能取哪些值? 注意：要根 据实际问题确定自 变量的取值范围。 层数 2 3 4 5 物体总数y 函数值及自变量的取值范围 1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体 的总数是如何变化的? /min 0 2 3 5 h/m 探究新知 知识点2 2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃,则气体的 图4-1 填写下表： 图4-1反映了摩天轮上一点的高度k(m) 与旋转时间t(min) 之间的 (2)对于给定的时间t,相应的高度h 确定吗? (1)根据图4-1填表： 关系。 探 究 新 知 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a, 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自 变量等于a时的函数值. 即：如果y是x的 函 数 ，当x=a时 ，y=b ,那 么b 叫做当x=a 时的函数值。 注 意 ：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变 量之间的关系.而函数值是一个数，它是自变量确 定时对应的因变量的值. 例1 汽车的油箱中有汽油50L, 如果不再加油，那么油箱中的 油量y (单位： L) 随行驶里程x (单位：km) 的增加而减少， 平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子. 叫做函数的解析式 解：(1)函数关系式为： y=50—0.1x 0.1x表示的意义是什么? 确定自变量的取值范围 素养考点① 探 究 新 知 0≤x≤500. 提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析 式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义. 探 究 新 知 (2)指出自变量x的取值范围； 解 ：( 2 ) 由x≥0及50—0.1x≥0 得 0≤ x≤500, 所以自变量的取值范围是 ● ● 探 究 新 知 (3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油? 解：(3)当 x=200 时，函数y的值为y=50—0.1×200=30. 因此，当汽车行驶200 km时，油箱中还有油30L. 变式训练 下列函数中自变量x的取值范围是什么? (1)y=3x+1; (3)y=√x-5; (2) (4)y=32x+1. 解：(1) x 取全体实数； ( 2 ) 由x+2≠0得 x≠-2; ( 3 ) 由x-5≥0得 x≥5 ; (4) x 取全体实数. 使函数解 析式有意 义的自变 量的全体。 巩 固 练 习 ● 例2 已知函数 (1)求当x=2,3,-3 时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 探究新知 素养考点② 求函数的值 解：(1)当x=2时， ; 当x=3时， 把自变量x的值代 入关系式中，即 可求出函数的值. 解得 即当 时，y=0. 当x=-3时，y=7. (2)令 ● 9 变式训 函数 y=√36-2x² (1)当x=3 时，求函数y的值； (2)当y=2时，求自变量x的值。 解 ：(1)当x=3时 ，y=√36-2x²=√36-2×3²=√ 18 =3√2 . (2)当y=2时，可得到2= √36-2x², 则4=36-2x²,即x²=16, 解得x=±4 . 已知 练 < 巩 固 练 习 连 接 中 考 已知A 、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千 米/小时，若用x表示行走的时间(小时),y 表示余下的路程 ( 千 米 ) , 则y关于x的函数解析式是 ( D ) A.y=4x(x≥0) C.y=3-4x(x≥0) 1.在下图中，不能表示y是x的函数的是( D ) 基础 巩 固题 课堂检测 B C D 2.下列说法中，不正确的是 ( C ) A.函数不是数，而是一种关系B.多边形的内角和是边数的函数 C.一天中时间是温度的函数 D. 一天中温度是时间的函数 3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( C ) A.y=3x² B. C.|y|=x(x≥0) D. y=18x 基础 巩 固 题 课 堂 检 测 (1)对于x的每一个值，y 都有唯一的值与之对应吗? 答 ： 不 是● (2)y 是x的函数吗?为什么? 答 ：不 是，因为y的值不是唯一的. X 1 4 9 16 y=+2x 2 和 一 2 8和一8 18和 — 18 32和—32 4.填表并回答问题： 课 堂 检 测 5.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x (单位：m) 落下时弹跳高度y (单位：m) 与下落高度x的关系，据表可以写 出的一个关系式是 y=0.5x X 50 80 100 150 y 25 40 50 75 课 堂 检 测 据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长 22.1%.假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我 省有效发明专利分别为a万件和b万件，则( B ) A.b=(1+22.1%×2)a B.b=(1+22.1%)²a C.b=(1+22.1%)×2a D.b=22.1%×2a 解析：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，所以b=(1+22.1%)²a. 故选：B. < 课 堂 检 测 我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里， 一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8 元；设乘坐出租车的里程为x (公里) (x 为整数),相对应的收 费为y ( 元 ) . (1)请分别写出当0<x≤3和x>3 时，表示y与x 的 关系式，并直接写出当x=2 和x=6时对应的y值； 解 ： ( 1 ) 当 0<x≤3 时 ，y=8 ; 当x>3 时 ，y=8+1.8(x—3)= 1.8x+2.6 . 当x=2 时 ，y=8 ;x=6 时 ，y=1.8×3+8= 13.4. 拓广探 索 题 < 课 堂 检 测 (2)当0<x≤3 和x>3 时 ，y 都是x 的函数吗?为什么? 解 ：当 0<x≤3和x>3 时 ，y 都是x的函数，因为对于x的 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应. 课 堂 检 测 课堂小结 概念：函数在某个变化过程中，如果有两 个变量x与y, 并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与它对应，那么x 是自 变 量，y 是x 的函数. 1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义 自变量的取值范围 函数值 函数的关系式：三种表示方法 函数 你还有什么疑惑? 请与同伴交流/ 这节课的学习你有 什么收获? 课后总结 通 过 这 节 课 的 学 习 ， 你 明 白 了 什 么 ? 还 有 什 么 疑 问 吗 ? 1.基础型作业：梳理本节课知识点。 2.发展型作业：完成本课时练习。 课后作业 同学们，这节课你们表现得都非常棒。 在以后的学习中，请相信你们是存在着巨 大的潜力的，发挥想象力让我们的生活更 精彩吧。 总结点评反思 谢 谢 观 看 $$