2024年上海市浦东新区中考数学二模试卷

2024年上海市浦东新区中考数学二模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C．π D． 2．（4分）下列计算中，结果等于a2m的是（　　） A．am+am B．am•a2 C．（am）m D．（am）2 3．（4分）直线y＝﹣x+1经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限． 4．（4分）如图，AB∥CD，∠D＝13°，∠B＝28°，那么∠E等于（　　） A．13° B．14° C．15° D．16° 5．（4分）下列命题中，真命题是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点D在边AB上，且，DE∥BC交边AC于点E，那么以E为圆心，EC为半径的⊙E和以D为圆心，BD为半径的⊙D的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．（4分）分解因式：a2﹣1＝　 　． 8．（4分）计算：　 　． 9．（4分）方程x的解是x＝　 　． 10．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 　 　． 11．（4分）在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是 　 　． 12．（4分）沿着x轴的正方向看，如果抛物线y＝（k﹣1）x2+1在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 　 　． 13．（4分）正五边形的中心角的度数是　 　． 14．（4分）如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为　 　． 15．（4分）如图，小丽在大楼窗口A处测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度AB＝h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC＝　 　米（用α和h的式子表示）． 16．（4分）如图，已知△ABC中，中线AM、BN相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 　 　． 17．（4分）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，那么△ABC的面积等于 　 　． 18．（4分）定义：四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE、EC，如果△DEC的面积是四边形ABCD面积的一半，且△BEC的面积是△ADE及△DCE面积的比例中项，我们称点E是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，BC＞AD，如果点E是它的边AB上的一个面积黄金分割点，那么的值是 　 　． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 21．（10分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高．已知AB＝AC，BC，tan∠BAC． （1）求AD的长； （2）如果点E是边AC的中点，联结BE，求cot∠ABE的值． 22．（10分）某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等级的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a＜60为不合格、60≤a＜80为合格，80≤a＜90为良好，90≤a≤100为优秀）．根据图中的信息回答下列问题： （1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有 　 　人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据； （2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论： ①中位数一定落在80分﹣90分这一组内； ②众数一定落在80分﹣90分这一组内； ③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强； ④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数． 上述结论中错误的是 　 　（填序号）． （3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？ 23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），AE交对角线BD于F，过点E作EG∥BC交BD于点G． （1）求证：DF2＝FG•BF； （2）当BD•DF＝2AD•DE时，求证：AE⊥DC． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c经过点A、B两点，顶点为点C． （1）求b、c的值； （2）如果点D在抛物线C1的对称轴上，射线AB平分∠CAD，求点D的坐标； （3）将抛物线C1平移，使得新抛物线C2的顶点E在射线BA上，抛物线C2与y轴交于点F，如果△BEF是等腰三角形，求抛物线C2的表达式． 25．（14分）已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C，CA、CB的延长线分别交⊙O于点D、E． （1）联结AB、DE，AB、DE分别与连心线O1O2相交于点H、点G，如图1，求证：AB∥DE； （2）如果O1O2＝5． ①如图2，当点G与O1重合，⊙O1的半径为4时，求⊙O2的半径； ②联结AO2、BD，BD与连心线O1O2相交于点F，如图3，当BD∥AO2，且⊙O2的半径为2时，求O1G的长． 2024年上海市浦东新区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C．π D． 【考点】无理数． 【答案】C 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：0，4是整数，是分数，它们都不是无理数； π是无限不循环小数，它是无理数； 故选：C． 2．（4分）下列计算中，结果等于a2m的是（　　） A．am+am B．am•a2 C．（am）m D．（am）2 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 【答案】D 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、am+am＝2am，故此选项不合题意； B、am•a2＝am+2，故此选项不合题意； C、（am）m，故此选项不合题意； D、（am）2＝a2m，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（4分）直线y＝﹣x+1经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限． 【考点】一次函数的性质． 【答案】B 【分析】】根据一次函数图象与系数的关系，由k，b的符号直接判断直线所经过的象限． 【解答】解：由于k＝﹣1＜0，b＝1＞0， 故函数过一、二、四象限． 故选：B． 4．（4分）如图，AB∥CD，∠D＝13°，∠B＝28°，那么∠E等于（　　） A．13° B．14° C．15° D．16° 【考点】平行线的性质；三角形的外角性质． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质求出∠BCD的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝28°， ∴∠BCD＝∠B＝28°． ∵∠BCD是△CDE的外角，∠D＝13°， ∴∠E＝∠BCD﹣∠D＝28°﹣13°＝15°． 故选：C． 5．（4分）下列命题中，真命题是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定． 【答案】B 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可． 【解答】解：A．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是假命题，不符合题意； D．对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故D是假命题，不符合题意； 故选：B． 6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点D在边AB上，且，DE∥BC交边AC于点E，那么以E为圆心，EC为半径的⊙E和以D为圆心，BD为半径的⊙D的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【考点】相似三角形的判定与性质． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求得AB，利用平行线的性质求得BD，CE，利用相似三角形的判定与性质求得DE，再利用圆心角等于两圆的半径之和时，两圆外切的性质解答即可得出结论． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵， ∴AD，BD． ∵DE∥BC， ∴， ∴EC＝1，AE＝3， ∵DE∥BC， ∴△AED∽△ACB， ∴， ∴DE， ∴以E为圆心，EC为半径的⊙E和以D为圆心，BD为半径的⊙D的圆心距为， ∵BD+EC＝1， ∴⊙E与⊙D的位置关系是外切． 故选：B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．（4分）分解因式：a2﹣1＝　（a+1）（a﹣1）　． 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【答案】见试题解答内容 【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 8．（4分）计算：　1　． 【考点】分式的加减法． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式 ＝1． 故答案为：1． 9．（4分）方程x的解是x＝　2　． 【考点】无理方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2＝x2，再对方程进行因式分解即可解出本题． 【解答】解：原方程变形为：x+2＝x2即x2﹣x﹣2＝0 ∴（x﹣2）（x+1）＝0 ∴x＝2或x＝﹣1 ∵x＝﹣1时不满足题意． ∴x＝2． 故答案为：2． 10．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 　m＞9　． 【考点】根的判别式． 【答案】m＞9． 【分析】根据根的判别式：Δ＝b2﹣4ac，来列出关于m的式子，再求出m的取值范围即可． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×m＝36﹣4m， ∵方程没有实数根， ∴Δ＜0， 即：36﹣4m＜0， 解得m＞9， 故答案为：m＞9． 11．（4分）在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是 　　． 【考点】概率公式． 【答案】． 【分析】直接利用概率公式计算． 【解答】解：任意抽取一张牌，抽到梅花的概率． 故答案为：． 12．（4分）沿着x轴的正方向看，如果抛物线y＝（k﹣1）x2+1在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 　k＜1　． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】k＜1． 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则k﹣1＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵抛物线 y＝（k﹣1）x2+1在y轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1， 故答案为：k＜1． 13．（4分）正五边形的中心角的度数是　72°　． 【考点】正多边形和圆． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【解答】解：正五边形的中心角为：72°． 故答案为：72°． 14．（4分）如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为　3　． 【考点】梯形中位线定理． 【答案】见试题解答内容 【分析】设出梯形的上底长，直接运用梯形的中位线定理列出关于上底λ的方程，求出λ即可解决问题． 【解答】解：设梯形的上底长为λ； 由题意得：， 解得：λ＝3， 故答案为3． 15．（4分）如图，小丽在大楼窗口A处测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度AB＝h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC＝　　米（用α和h的式子表示）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；列代数式． 【答案】． 【分析】根据题意可得：AB⊥BC，∠DAC＝α，DA∥BC，从而可得∠ACB＝∠DAC＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：AB⊥BC，∠DAC＝α，DA∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC＝α， 在Rt△ABC中，AB＝h米， ∴BC（米）， ∴旗杆底部与大楼的距离BC为米， 故选：． 16．（4分）如图，已知△ABC中，中线AM、BN相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 　2　． 【考点】三角形的重心；*平面向量． 【答案】2． 【分析】根据重心的性质可得AG＝2GM，BC＝2BM，利用三角形法则求出，进而可得到结果． 【解答】解：∵中线AM、BN交于点G， ∴AG＝2GM，BC＝2BM， ∴GMAG， ∵，即， ∴22． 故答案为：2． 17．（4分）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，那么△ABC的面积等于 　　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的图象和性质，设B（m，），根据题意则A（，），C（m，），则有：AB＝m﹣（），BC（），利用三角形面积公式列式计算即可． 【解答】解：点B在反比例函数的图象上，设B（m，）， ∵AB∥x轴，且点A、C在反比例函数的图象上 ∴A（，），C（m，），则有：AB＝m﹣（），BC（）， ∴S△ABC． 故答案为：． 18．（4分）定义：四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE、EC，如果△DEC的面积是四边形ABCD面积的一半，且△BEC的面积是△ADE及△DCE面积的比例中项，我们称点E是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，BC＞AD，如果点E是它的边AB上的一个面积黄金分割点，那么的值是 　　． 【考点】黄金分割；梯形． 【答案】． 【分析】过点E作EF∥AD，交CD于点F，设梯形的高为h，则EF•h，（AD+BC）h，利用新定义的规定得到EF为梯形ABCD的中位线，△ADE和△BEC中AD，BC边上的高为h，利用三角形的面积公式求得三个三角形的面积，再利用新定义的规定得到关于BC的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：过点E作EF∥AD，交CD于点F，如图， ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥AD∥CB． 设梯形的高为h，则EF•h，（AD+BC）h． ∵点E是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点， ∴， ∴EFh（AD+BC）h， ∴EF（AD+BC）， ∴EF为梯形ABCD的中位线， ∴△ADE和△BEC中AD，BC边上的高为h． ∴AD•hADh，BChBCh，（AD+BC）h（AD+BC）h． ∵点E是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点， ∴， ∴ADh•（AD+BC）h． ∴BC2﹣AD•BC﹣AD2＝0． ∴BCAD（负数不合题意，舍去）． ∴BCAD． ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：． 【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂；分母有理化． 【答案】7． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解： 22+3 22+3 ＝7． 20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【答案】﹣3≤x＜1． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由4x﹣2（x﹣1）＜4得：x＜1， 由得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜1， 将解集表示在数轴上如下： 21．（10分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高．已知AB＝AC，BC，tan∠BAC． （1）求AD的长； （2）如果点E是边AC的中点，联结BE，求cot∠ABE的值． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质． 【答案】（1）AD＝4； （2）cot∠ABE＝2． 【分析】（1）设CD＝3x，AD＝4x，可用x表示出BD，再利用勾股定理即可解决问题． （2）过点E作AB的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）∵tan∠BAC，且CD是边AB上的高， 则设CD＝3x，AD＝4x， 在Rt△ACD中， AC． ∵AB＝AC， ∴AB＝5x， 则BD＝5x﹣4x＝x． 在Rt△BCD中， （3x）2+x2＝（）2， 解得x＝1（舍负）， ∴AD＝4x＝4． （2）过点E作AB的垂线，垂足为M， ∵AC＝5，点E为AC中点， ∴AE． 在Rt△AEM中， tan∠BAC， ∴EM， ∴， 则AM＝2， ∴EM． 则BM＝AB﹣AM＝5﹣2＝3． 在Rt△BEM中， cot∠ABE． 22．（10分）某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等级的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a＜60为不合格、60≤a＜80为合格，80≤a＜90为良好，90≤a≤100为优秀）．根据图中的信息回答下列问题： （1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有 　45　人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据； （2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论： ①中位数一定落在80分﹣90分这一组内； ②众数一定落在80分﹣90分这一组内； ③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强； ④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数． 上述结论中错误的是 　②④　（填序号）． （3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？ 【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体． 【答案】（1）45人，补全图形见解析； （2）②④； （3）x＝10合理． 【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及60≤a＜70的人数，再求解扇形图中的各百分比补全图形即可； （2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案； （3）根据x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍建立方程求解x，结合得分60分以下的学生有200×5%＝10可得答案． 【解答】（1）解：∵（6+8）÷35%＝40， ∴40﹣2﹣8﹣9﹣8﹣6＝7， ∵20045， ∴六年级参赛学生中成绩为良好的学生有45人； ∵良好占9÷40＝22.5%， ∴合格占1﹣22.5%﹣35%﹣5%＝37.5% 补全条形图如下： （2）由40个数据，第20个，第21个数据落在80分一90分这一组，故①正确； 众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确； 仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确； 从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确； ∴上述结论中错误的是②④； （3）由（1）得：m＝200×35%＝70，样本容量为40， ∴x（70﹣x）＝40×15， 整理得：x2﹣70x+600＝0， 解得：x1＝10，x2＝60， ∵得分60分以下的学生有200×5%＝10， ∴x＝10合理． 23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），AE交对角线BD于F，过点E作EG∥BC交BD于点G． （1）求证：DF2＝FG•BF； （2）当BD•DF＝2AD•DE时，求证：AE⊥DC． 【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由菱形的性质得ED∥AB，则△EFD∽△AFB，得，由EG∥AD，证明△EFG∽△AFD，得，所以，即可证明DF2＝FG•BF； （2）连接AC交BD于点H，则BD＝2DH，由BD•DF＝2AD•DE，且AD＝DC，得2DH•DF＝2DC•DE，所以，而∠FDE＝∠CDH，即可证明△FDE∽△CDH，得∠DEF＝∠DHC＝90°，则AE⊥DC． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴ED∥AB， ∴△EFD∽△AFB， ∴， ∵EG∥BC，AD∥BC， ∴EG∥AD， ∴△EFG∽△AFD， ∴， ∴， ∴DF2＝FG•BF． （2）证明：连接AC交BD于点H，则AC⊥BD，DH＝BH， ∴BD＝2DH， ∵BD•DF＝2AD•DE，且AD＝DC， ∴2DH•DF＝2DC•DE， ∴， ∵∠FDE＝∠CDH， ∴△FDE∽△CDH， ∴∠DEF＝∠DHC＝90°， ∴AE⊥DC． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c经过点A、B两点，顶点为点C． （1）求b、c的值； （2）如果点D在抛物线C1的对称轴上，射线AB平分∠CAD，求点D的坐标； （3）将抛物线C1平移，使得新抛物线C2的顶点E在射线BA上，抛物线C2与y轴交于点F，如果△BEF是等腰三角形，求抛物线C2的表达式． 【考点】二次函数综合题． 【答案】（1）b＝1，c＝2； （2）点D（，1）； （3）抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+1或y＝﹣（x1）23． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明△DD′H为等腰直角三角形，则点D′在AB上，点D′代入上式得：m（2m）+3，即可求解； （3）当BE＝BF时，列出等式，即可求解；当BE＝EF或BF＝EF时，同理可解． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、点B， 则点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2）， 则，解得：， 即b＝1，c＝2； （2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2，则其对称轴为直线x， 作点D关于直线AB的对称点D′，DD′交AB于点T， ∵AB平分∠CAD， 则DT＝TD′， 过点D作x轴的平行线交AB于点H，连接D′H， ∵∠OAB＝45°， 则∠DHB＝45°，则△DTH为等腰直角三角形， 同理可得：△D′TH为等腰直角三角形， 则△DD′H为等腰直角三角形，则点D′在AB上， 设点D（，m），则DHm＝D′H， 则点D′（2﹣m，）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达yx+3， 将点D′代入上式得：（2﹣m）+3， 解得：m＝1， 则点D（，1）； （3）设点E（m，﹣m+2）， 则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2﹣m+2， 当x＝0时，y＝﹣（x﹣m）2﹣m+2＝﹣m2﹣m+2， 即点F（0，﹣m2﹣m+2）， 由点B、E、F的坐标得，BF＝m2+m，BEm，FE， 当BE＝BF时， 则m2+mm， 解得：m＝0（舍去）或1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣（x1）23； 当BE＝EF或BF＝EF时， 则m2+m或m， 解得：m＝1（不合题意的值已舍去）， 即抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+1， 综上，抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+1或y＝﹣（x1）23． 25．（14分）已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C，CA、CB的延长线分别交⊙O于点D、E． （1）联结AB、DE，AB、DE分别与连心线O1O2相交于点H、点G，如图1，求证：AB∥DE； （2）如果O1O2＝5． ①如图2，当点G与O1重合，⊙O1的半径为4时，求⊙O2的半径； ②联结AO2、BD，BD与连心线O1O2相交于点F，如图3，当BD∥AO2，且⊙O2的半径为2时，求O1G的长． 【考点】圆的综合题． 【答案】（1）见解答； （2）①3； ②． 【分析】（1）先证明CA＝CB，可得∠CAB＝∠CBA，再证明∠CAB＝∠D，可得AB∥DE； （2）①连接AO1，AO2，AE，AH，证明A，H，E三点共线，∠O2AH+∠O1AH＝∠O1AD+∠O1AH＝90°，再利用勾股定理求解即可； ②过O1作O1M⊥AD于点M，过O2作O2N⊥AC于点N，由O1M∥O2N得出，设CN＝AN＝2k，DM＝AM＝3k，根据平行线分线段成比例得出O2F＝3，O1F＝2，再根据平行线分线段成比例即可解答． 【解答】（1）证明：由题意知O1O2⊥AB，AH＝BH， ∴CA＝CB． ∴∠CAB＝∠CBA， ∵∠CAB+∠DAB＝180°＝∠DAB+∠E， ∴∠CAB＝∠E， 同理可得∠CBA＝∠D， ∴∠CAB＝∠D， ∴AB∥DE； （2）①如图，连接连接AO1，AO2，AE，AH， ∵DE为⊙O1的直径， ∴∠EAD＝90°＝∠EAC＝∠HAC， ∴A．H．E三点共线， ∵AB∥DE，AB⊥O1C， ∴DE⊥O1C． ∴∠AHO2+∠AHO1＝180°＝∠D+∠AHO1， ∴∠AHO2＝∠D， ∵O1A＝O1D，O2A＝O2H， ∴∠D＝∠O1AD，∠O2AH＝∠O2HA， ∴∠O1AD＝∠O2AH， ∴∠O2AH+∠O1AH＝∠O1AD+∠O1AH＝90°． ∵O1A＝4，O1O2＝5， ∴O2A3； ②如图，过O1作O1M⊥AD于点M，过O2作O2N⊥AC于点N， ∵O1M∥O2N， ∴， 由垂径定理知CN＝AN，DM＝AM， 设CN＝AN＝2k，DM＝AM＝3k， ∵BD∥AO2， ∴， ∵O2C＝2， ∴O2F＝3，O1F＝5﹣3＝2， ∵FO2垂直平分AB，BD∥AO2， ∴FHO2F， ∵， ∴4+2O1G， ∴O1G， 学科网（北京）股份有限公司 $$