2025年九年级中考数学一轮复习训练 -等腰三角形

2025中考一轮复习-等腰三角形 一、等腰三角形 笔记： 1．等腰三角形的概念与性质 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． （2）性质： 性质1：等腰三角形两底角相等．性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合．      简称：等腰三角形“三线合一”性质3：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是其顶角平分线所在直线．  2．等腰三角形判定① 有两条边相等的三角形是等腰三角形；② 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 例题： （1）等腰三角形性质 1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 2．（2023•淮安）若等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，则这个三角形的底边长是 　 　cm． 3．（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．70° B．45° C．35° D．50° 4．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（　　） A．39° B．40° C．49° D．51° 6．（2024•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° 7．（2024•内江）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 　 　． 8．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，边BC在x轴上，且点B（﹣1，0），点A（2，4），则△AOC的面积为（　　） A．5 B．8 C．10 D．20 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54°，则该等腰三角形底角的度数为（　　） A．72° B．72°或36° C．36° D．72°或18° 11．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（　　） A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150° 12．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　） A．2 B．2﹣3 C．2或 D．2或2﹣3 13．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）等腰三角形判定 1.在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　 　三角形． 3．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为x轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在平面直角坐标系中A（0，4）、C（6，0），BC⊥x轴，存在第一象限的一点P（a，2a﹣5），使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（5，5） C．（3，1）或（5，5） D．（3，3） 8．如图，直线MN与x轴，y轴分别交于A，C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，点P在线段AC上，点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点P的坐标是（　　） A．（4，3） B． C．（4，3）或 D．（4，3）或或或 二、等边三角形 笔记： 1.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例题： （1）等边三角形性质 1．已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为____________ 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形OAB的顶点O与原点重合，OB与x轴正半轴重合，顶点A在第一象限，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（　　） A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，） 4．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B在x轴上，C，D分别是边AO，AB上的点，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，则点A的坐标是 　 　． 5．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　） A． B．6 C．8 D． 6．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝9cm，DE＝3cm，则BC＝　 　cm． 8．（2024•自贡）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　） A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m 9．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，BD：BE＝2：3，DE同时平分∠BEF和∠BDF，则＝　 　，BD的长是 　 　． （2）等边三角形判定 1．在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是　 　（只要写出一个即可）． 2．若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3.△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE＝CD＝BF，则△DEF为　 　三角形． 4．如图，∠MON＝120°，OA平分∠MON，且OA＝5，若点B，C分别在OM，ON上，且△ABC为等边三角形，则满足上述条件的△ABC有（　　） A．2个以上 B．2个 C．1个 D．0个 5．△ABC中，|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0．则△ABC是（　　） A．等腰但不等边三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形 6．在△ABC中，（2cosA﹣1）2+|﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形 7.已知点C在线段BE上，分别以BC、BE为边做等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则①AE=BD；②△ACN≌△BCM;③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE;⑥BO=AO+CO;以上结论正确的个数是（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 （3）30度直角三角形 1．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（　　） A．4m B．6m C．10m D．12m 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（　　） A．1 B． C．3 D．6 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AB＝8，则AD＝（　　） A．2 B． C．4 D． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝4，则AC＝　 　． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为　 　． 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在边AB上，CA＝CD，BD＝8，则AD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为（　　） A． B． C． D． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 　 　． 10．已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1，含30°角的Rt△DEF三个顶点分在Rt△ABC的三边上，且直角顶点D在斜边AC上，则CD的长为 　 　． 11．如图所示，在等边△ABC中，AB＝8cm，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设点P与点Q运动的时间为ts．当0＜t＜12时，点P与点Q运动 　 　s后，可得到Rt△CPQ． 12．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝20cm，DC＝8cm，如果点M以6cm/s的速度运动． （1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由； （2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？ （3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少cm/s． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$