黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题

数学答案 1.D；2.A；3.A；4.D；5.D；6.B；7.C；8.D；9.BCD；10.ACD；11.ABD；12.AB 13． 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】因为，所以，，则， 故函数在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 14． 【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解. 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 15． 【分析】根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，根据已知求球体半径，进而求球体表面积. 【详解】由对称性知：该多面体的各顶点在棱长为的正方体的表面上， 如图，设其外接球的球心为，正方形的中心为， 则点到平面的距离，又， 所以该多面体外接球的半径， 故该球的表面积为. 故答案为： 16．1 【分析】根据函数图象及平移关系求得，进而可得，再利用均值不等式求最小值即可. 【详解】由题意可得， 由函数图象可得，，解得， 将点代入得， 解得，即， 又因为，所以， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为， 故答案为：1 17．(1) (2) 【分析】（1）根据函数的对称轴即可得，利用的取值范围即可求得函数解析式，由三角函数单调性即可求出单调递增区间； （2）根据函数解析式，利用的取值范围及三角函数单调性即可求得的值域. 【详解】（1），因为的图象关于直线对称， 所以，即. 因为，所以， 所以. 令， 则有. 所以的单调递增区间是. （2）因为，所以， 所以，则. 所以函数的值域是. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据相似可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，即可由线面垂直的判定，进而可得线线垂直. 【详解】（1）连接与相交于,连接， 由于，且, 所以, 又,所以, 平面,平面,所以平面，    （2）过作交于，由于平面平面，且两平面交线为，平面， 所以平面，平面,故， 又四边形为直角梯形，故, 是平面内的两相交直线，所以平面， 平面，故.    19．(1)，中位数为（分） (2) 【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可； （2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 由， 可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为， 则，解得， 所以此次问卷调查分数的中位数为（分）； （2）的市民有人，记为a，b， 的市民有人，记为1，2，3，4， 则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种， 则所求概率为. 20．（1）；（2），最小值为–16． 【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果； （2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以． [方法二]：函数+待定系数法 设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以的最小值为， 所以的最小值为． [方法2]：函数法 由题意知，即， 所以的最小值为，所以的最小值为． 【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解； （2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值． 21．(1)偶函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）定义法证明函数的奇偶性； （2）定义法证明函数的单调性； （3）由的解析式可知，，由的奇偶性和单调性可知，函数在上的值域为，令，可得，利用二次函数的性质求值域. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，可知函数为偶函数； （2）证明：设，有 ， ， ， 故函数在区间上单调递增； （3）由，有， 由函数在区间上单调递增，，可知函数在区间上的值域为， 又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为， 令，可得，有， 令，有， ①当时，，此时函数的值域为； ②当时，，此时函数的值域为， 由函数和函数的值域一样，故可得， 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为． 22．(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）导数几何意义求切线方程即可； （2）①设，因为，所以与零点相同，根据的单调性与极值情况来确定的范围； ②根据题意，利用放缩构造等思路结合导数，求出的范围. 【详解】（1）由题设，则，且， 所以，，则在点处的切线方程为，即. （2）①当时等价于， 设，则． 当时单调递减；当时单调递增； 所以，当时， 因为在上存在两个不同的零点，则，解得． 当时，取，则， 故，又， 所以在和上各有一个零点，故． ②因为，所以， 结合知：． 设，则，在上，在上， 所以在上递增，在上递减，故，即， 所以，即，当时取等号， 所以． 由①知，在上单调递增，且，所以，即． 因为在上是减函数，且， 所以，得证. 【点睛】方法点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹤岗一中2023-2024学年上学期高三年级 11月月考数学试题 命题人：高三数学组 考试时间：2小时 总分：150分 一、单选题（40分） 1．函数的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图像上，则（    ） A．，的最小值为 B．，的最小值为 C．，的最小值为 D．，的最小值为 4．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 6．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．的内角，，，的面积为，为的中点，且，，则为（    ） A． B． C． D． 8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 二、多选题（24分） 9．如图，在边长为2的正方体中，点E，F分别的中点，点P为棱上的动点，则（    ）    A．在平面内不存在与平面垂直的直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．过三点所确定的截面为梯形 10．定义满足以下两个性质的有穷数列为阶“理想数列”：（1）；（2），则以下说法正确的是（    ） A．若为阶“理想数列”，则不可能是等比数列 B．存在阶“理想数列”，使得 C．若公差为正的等差数列是阶“理想数列”，则 D．记阶“理想数列”的前项和为，则 11．已知函数的部分图象如图所示.则（    ）    A． B．在区间内有两个极值点 C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D．A，B，C是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则 12．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 三、填空题（20分） 13．函数在点处的切线方程为 ． 14．设为单位向量，且，则 . 15．印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 . 16．如图，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，若，则最小值为 . 四、解答题 17．（10分）已知函数. (1)若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间； (2)在（1）的条件下，当时，求函数的值域. 18．（11分）如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题. (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：. 19．（11分）经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； (2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 20．（10分）记为等差数列的前项和，已知，．     （1）求的通项公式；     （2）求，并求的最小值． 21．（12分）已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)令（其中），求函数的值域. 22．（12分）已知，设函数，是的导函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上存在两个不同的零点，. ①求实数的取值范围； ②证明：. 答案第1页，共2页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$