第一章 勾股定理 单元复习- 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理单元复习 一、选择题： 1.在中，若，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，，点在边上，且平分的周长，则的长是(    ) A. B. C. D. 3.在如图的方格中，的顶点、、都是方格线的交点，则三角形的外角的度数等于(    ) A. B. C. D. 4.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 5.我国南宋数学家秦九韶的著作数书九章中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是(    ) A. 平方里 B. 平方里 C. 平方里 D. 平方里 6.如图，已知点为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，点在上，且，点是上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，当时，线段的长是(    ) A. B. C. D. 8.数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得，之间的距离为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.直角三角形中，，是边上的中线，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为          ． 12.已知中，，，，则        ． 13.如图，在正方形网格中，点、、是网格线的交点，则 ______ 14.的高长为，且，，则的周长是______． 15.如图，四边形中，，，，与交于点，若，，则的面积为______． 16.如图，在中，，，，点、分别在、上，点关于的对称点落在上，设若，则        ；设，请写出关于的函数表达式：        ． 17.如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上，连接，若，则的长为______． 18.如图是马口生态公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”已知米，米，他们踩坏草坪，只为少走______米的路． 19.如图，中，，为边上一点，且点在射线上，且，连接则的最小值是______． 20.如图，在中，，点是边的中点，点和分别在边和上，，若，，则边的长为_______． 三、解答题： 21.如图，在的方格纸中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点，，，重合． 在图中画一个格点，使点，，分别落在边，，上，且． 在图中画一个格点四边形，使点，，，分别落在边，，，上，且． 22.如图，在中，，边上取一点，过点作，交于，连结，已知． 求证：． 若，求的长． 23.如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，点是对角线上一点． 求证：． 若，，，求四边形的面积． 24.如图，在中，，，请用尺规在边上找一点，使得保留作图痕迹，不写作法 25.如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是，与关于直线对称，且点在对角线上．    求线段的长； 求点的坐标及直线的函数表达式． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：作于点，如右图所示， ，，， ， 根据三角形面积得： ， ， 解得， 故选：． 根据题意画出图形，然后作于点，根据勾股定理可以求得的长，然后根据面积法，可以求得的长． 本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 2.【答案】  【解析】解：在中，，，， ， 的周长， 平分的周长， ， ，， 过作于， ， ∽， ， ， ，， ， ， 故选：． 根据勾股定理得到，求得的周长，得到，，过作于，根据相似三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解，设每个小方格的边长为， 由勾股定理可得，，， ， ，且， 为等腰直角三角形， ，， ， 故选：． 由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，得到为等腰直角三角形． 4.【答案】  【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为，则由勾股定理得： ，，； 即最大正方形的面积为：． 故选：． 分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为． 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，里， 的面积平方里， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：由题意知，底面圆的直径， 故底面周长等于， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得， 解得， 所以展开图中， 因为半径，， 故三角形为等边三角形， 又为的中点， 所以，在直角三角形中，，， 根据勾股定理求得， 所以蚂蚁爬行的最短距离为． 故选：． 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 本题考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 7.【答案】  【解析】解：如图，分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ，， ， 又点和点分别是线段和的中点， 和分别是和的中位线， ，， ，， ， ，， 设， ，， 在中，， 在中，， ， ， 解得，即， 在中，． 故选：． 分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段和的长，建立等式可求出结论． 本题主要考查中位线定理，勾股定理，构造中位线是解题过程中常见思路． 8.【答案】  【解析】解：在中，，， ， ， ， 故选：． 根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解． 本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：作交的延长线于点，作交的延长线于点， ，，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，，， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， ， 故选：． 根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到和的长，根据等面积法可以求得的长，再根据勾股定理求得的长，最后计算出的长即可． 本题考查勾股定理、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出和的长． 10.【答案】  【解析】解：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线，若， ， 设，则， ， ， ，， ， ∽，， ，即， 在中，，即， 在中，，即， 得， 解得：或舍去． 解法二：是边上的中线，若， ， 如图，以点为圆心，为直径作圆，交于点，连接，， ，， ， ，， ， ， ， 设，则， ，， ∽， ，即， 解得：舍去，， ，． 故选：． 解法一：由构造，使得∽，于是延长至点，使，连接，，则，利用相似三角形的性质得出，再由，，，利用双勾股定理求解即可． 解法二：以点为圆心，为直径作圆，交于点，连接，，易得，由垂径定理得，于是，结合已知和三角形外角性质，可得， 于是设，则，易证∽，利用相似三角形的性质得，以此列出方程求得的长，即可得出的长． 本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理，解题关键是根据易知已知条件，联想到利用三角形外角性质构造等腰三角形，进而可利用相似三角形的性质解决问题． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【解答】 解：如图，第一步到，第二步到，落点与出发点间的最短距离为， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， 解得负值舍去， 故答案为：． ：过作于，由，得，而，知，由勾股定理有，即可解得答案． 本题考查勾股定理，解题的关键是掌握含，角的直角三角形三边的关系． 13.【答案】  【解析】解：延长至，连接， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，可得，再根据三角形外角的性质即可求解． 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到是等腰直角三角形． 14.【答案】或  【解析】解：如图， 高长为，且，， ，， 的周长； 如图， 高长为，且，， ，，， 的周长， 综上所述，的周长是或． 故答案为：或． 根据题意画出图形，根据勾股定理求出各边长，进而可得出结论． 本题考查的是勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：过点作于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∽， ，即， ， ， ． 故答案为：． 过点作于点，解求出、，再由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求得，由勾股定理求得，再证明∽，求得，进而求得，最后由三角形面积公式求得结果． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形． 16.【答案】    【解析】解：连接，，如图： 点关于的对称点落在上， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得或舍去， 若，则，过作于，如图： ，，， ， ， ，， ∽， ，即， ，， ， 在中， ， ． 故答案为：，． 连接，，由点关于的对称点落在上，，可得，四边形是菱形，即知，而，在中，可得，解得；若，过作于，由∽，可得，，在中，有，变形可得答案． 本题考查勾股定理，涉及直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，利用勾股定理列方程解决问题． 17.【答案】  【解析】解：在中， ， ，， ． ， ， ， ． ． ． ． 将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上， ． ． 故答案为：． 在中，利用勾股定理求出的长，然后根据得出，再根据折叠的性质可得根据求得的长． 本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中根据通过推理论证得到是斜边上的中线是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：在中，米，米， ，， 他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路． 故答案为：． 先判断为直角三角形，然后根据勾股定理求出即可 本题主要考查勾股定理的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：如图，构造平行四边形， ，， ， 当、、三点共线时最小， 过作交于点， 在中，，， ，， ， ， 即的最小值是． 故答案为：． 看见线段和首先想到轴对称最短路径，因为题干的和不是共顶点，所以要转移线段构造共顶点的线段，然后三点共线即可求解． 本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识和添加合适的辅助线是解题关键． 20.【答案】  【解析】【分析】延长到，使，连接，，过点作于，结合题中条件利用“”得出，进而得出，，然后结合条件利用三角形内角和是得出，，即得到是以为斜边的等腰直角三角形，进而得出，再根据三角形等边对等角和三角形内角和是得出，进而得出，最后利用勾股定理得出的长进而得出的长，再得出的长即可． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，，过点作于， ， 是边的中点， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ，，，， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．   21.【答案】解：满足条件的，如图，所示． 满足条件的四边形如图所示．   【解析】本题考查作图应用与设计，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可． 如图中，构造矩形即可解决问题．如图中，构造即可． 22.【答案】【小题】 证明：，， ，， ， ， ， 在和中， ． 【小题】 ， ， ，， ．   【解析】  根据垂直的定义得出，根据平行线的性质及等量代换得出，利用即可证明；   根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理即可得答案． 23.【答案】【小题】 证明：平分， ， ，， ； 【小题】 解：由得， ， ， ， ，平分， ，， ．   【解析】  本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由角平分线的定义得出，再利用即可证明；   由全等三角形的性质得出，由勾股定理得出，由等腰三角形的性质得出，，最后再由计算即可得出答案． 24.【答案】解：如图，点即为所求．   【解析】作的角平分线交一点，点即为所求作于点，可以证明，可得结论． 本题考查作图复杂作图，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25.【答案】； ，．   【解析】【分析】根据点的坐标，利用勾股定理直接计算出长； 设，则，，，利用勾股定理可求出长，点的坐标可求，根据、坐标，待定系数法可求直线解析式． 【详解】点的坐标是， ，， 在中，由勾股定理得： ； 与关于直线对称， ，，， 在中，设，则，，， 由勾股定理得得，， 解得， ， ， 设的解析式为， 在直线上， ， ， 的解析式为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$