热点09 等比数列的通项公式及求和公式-2024-2025学年高二数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版选择性必修第二册）

热点09 等比数列的通项公式及求和公式 知识点一 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 知识点二 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 知识点三 等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 热点一 等比数列的判断及证明 例1．设是无穷数列，记，则“是等比数列”是“是等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 变式1-1．（多选）已知数列，都是正项等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 变式1-2．已知数列满足，．令，证明：数列为等比数列； 变式1-3．已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 热点二 等比数列基本量的计算 例3．已知等比数列的前3项和为28，且，则（    ） A．28 B．56 C．64 D．128 例4．已知等比数列单调递增，前项和为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1．设各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．31 变式2-2．在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2-3．若等比数列满足，则公比是 . 热点三 等比中项的应用 例5．若数列为等比数列，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 例6．数列是等比数列，和是方程的两根，则 . 变式3-1．在等比数列中，，则的值为 . 变式3-2．已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（    ） A．或 B．3或 C． D．9或 变式3-3．已知是等比数列，，且，是方程两根，则（    ） A． B． C． D． 热点四 等比数列的性质 例7．等比数列{an}中，a1+a4+a7=6，a3+a6+a9=24．则{an}的公比q为（    ） A．2 B．2或 C． D．3 例8．（多选）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A． B．5 C．6 D．7 变式4-1．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 变式4-2．正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-3．已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 热点五 等比数列前n项和的性质 例9．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 例10．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 变式5-1．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 变式5-2．设正项等比数列的前项和为，且，则公比 . 变式5-3．在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 热点六 等差等比的应用 例11．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 例12．已知数列是等差数列，且，，． (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式． 变式6-1．已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 变式6-2．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 变式6-3．已知是等差数列，，且的前n项和为，，且成等比数列，点在上． (1)求及； (2)判断是否存在正整数m、k使得、、成等比数列．若存在，求出所有m、k的值；若不存在，请说明理由． 热点七 等比数列an与Sn求通项 例13．已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 变式7-2．设等比数列的前项和为，若，则实数 ． 变式7-3．已知首项为3的数列的前n项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 热点八 等比数列单调性 例15．已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 例16．（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（    ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 变式8-1．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 变式8-2．（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（    ） A． B． C． D．与均为的最大值 热点九 等比数列的最值与范围问题 例17．已知等比数列的前n项和为，前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则 ；的最大值是 ． 例18．已知数列的前项和，且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项乘积为，求的最小值. 变式9-1．已知函数，数列为等比数列，其前项和为，若，则满足的的最大值为 ． 变式9-2．已知等比数列是递增数列，且. (1)求数列的公比； (2)若数列的前项和为，且，求的最小值. 变式9-3．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值. 热点十 等比数列的恒成立问题 例19．已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．（0，1） B． C． D． 例20．已知函数，数列满足，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 变式10-1．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式10-2．设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 变式10-3．已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 一、单选题 1．（2023-24高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则（   ） A． B．4 C．8 D．或4 2．（2023-24高三上·天津·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（    ）（参考数据：，，，） A．1240 B．1260 C．1280 D．1290 3．（2023-24高三上·河北邯郸·阶段练习）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新疆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）数列中，，．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2023-24高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 7．（2023-24高二上·浙江宁波·期中）在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 8．（2023-24高二上·甘肃酒泉·期中）为等比数列的前n项和，已知，，且公比，若存在常数，使得数列是等比数列，则的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 二、多选题 9．（2023-24高三上·江西上饶·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时，的最大值为22 D．当取得最大值时，的值为11 10．（2023-24高三上·重庆·阶段练习）已知由实数构成的数列满足，则以下说法正确的是（   ） A．存在且，使 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列的最大项为 D．若，设，的前项和为，则 11．（2023-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若数列为等比数列，为数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．，，成等比数列 D．数列是等比数列 三、填空题 12．（2023-24高二上·广东汕头 期中）若为等比数列，且，则公比是 ． 13．（2024·河北·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则 ． 14．（2023-24高二下·广东·期末）数列的前项和为，且，则满足的最小正整数为 . 四、解答题 15．（2023-24高三上·北京·期中）已知等差数列满足. (1)求的通项公式; (2)若等比数列，求的通项公式; 16．（2023-24高三上·黑龙江大庆·期中）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 17．（2023-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 18．（2023-24高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围. 19．（2023-24高三上·山西大同·期中）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点09 等比数列的通项公式及求和公式 知识点一 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 知识点二 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 知识点三 等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 热点一 等比数列的判断及证明 例1．设是无穷数列，记，则“是等比数列”是“是等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】非充分性：若的项为1，1，1，1，…，则的项为0，0，0，0，…． 此时是等比数列，但不是等比数列． 非必要性：若的项为1，1，1，1，…，则． 此时是等比数列，但是公差为1的等差数列，不是等比数列． 所以“是等比数列”是“是等比数列”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 例2．已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由得． 结合可猜想数列的通项公式为． （2）因为， 所以为正项递增数列，所以， 所以， 故数列是等比数列． 变式1-1．（多选）已知数列，都是正项等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】BC 【详解】因为数列，都是正项等比数列， 所以设数列，的公比分别为，，且，，且对任意的正整数有，成立； 对于A，不妨设， ，满足，都是正项等比数列， 此时，因为，， 所以，此时不是等比数列，故A不正确； 对于B，因为，所以数列是等比数列，故B正确； 对于C，因为，所以数列是等比数列，故C正确； 对于D，设，，满足，都是正项等比数列， 此时，，， 所以，，所以，此时数列不是等比数列，故D不正确； 故选：BC. 变式1-2．已知数列满足，．令，证明：数列为等比数列； 【答案】证明见解析 【详解】因为，则， ， 故是以首项为3，公比为3的等比数列． 变式1-3．已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由得，易知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以. 热点二 等比数列基本量的计算 例3．已知等比数列的前3项和为28，且，则（    ） A．28 B．56 C．64 D．128 【答案】D 【详解】因为，所以， 的前3项和为28，即，  ① ，   ② ②式比①式可得：，即，解得：（舍）或， 代入②式得，则. 故选：D 例4．已知等比数列单调递增，前项和为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】在等比数列中，，又，且是递增数列， 解得，，则数列的公比满足， 所以. 故选：D 变式2-1．设各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．31 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，， 当时，，，则，所以. 所以，整理得， 由于且，所以， 则，所以，则，所以. 故选：D 变式2-2．在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】在等比数列中，，，，所以， 由，及通项公式， 可得，解得. 故选：B. 变式2-3．若等比数列满足，则公比是 . 【答案】2 【详解】设等比数列的公比为q， 因为，则， 可得，即，所以. 故答案为：2. 热点三 等比中项的应用 例5．若数列为等比数列，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】若数列的公比为， 由，故，若，则，故充分性不成立； 由得，则， 所以，当且仅当，即时取等号，故必要性成立； 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：D. 例6．数列是等比数列，和是方程的两根，则 . 【答案】 【详解】在等比数列中，由题意知：， 所以， 所以， 所以由等比数列的性质可知， 即. 故答案为： . 变式3-1．在等比数列中，，则的值为 . 【答案】1或 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以，从而， 又，所以， 又，所以， 所以，所以， 当时，由，得， 当时，由，得， 综上，的值为或. 故答案为：或. 变式3-2．已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（    ） A．或 B．3或 C． D．9或 【答案】B 【详解】不妨设这三个数分别为，且， 三个数的乘积为， 由三个数的平方和为91， 所以，解得，或， 又，所以，或， 故选：B 变式3-3．已知是等比数列，，且，是方程两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是等比数列，所以，，又，所以， 又，是方程两根， 所以. 故选：C 热点四 等比数列的性质 例7．等比数列{an}中，a1+a4+a7=6，a3+a6+a9=24．则{an}的公比q为（    ） A．2 B．2或 C． D．3 【答案】B 【详解】由题意， 故选：B 例8．（多选）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】BD 【详解】∵是等比数列，∴， ∴， 又，， ∴分别为或或或， 或. 故选：BD． 变式4-1．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 变式4-2．正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 故选：A. 变式4-3．已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列的性质可知，，， 则， 当，时等号成立，联立和，得，时，取等号， 因为，所以等号取不到， 设，，其中 ，则， 设函数，函数在区间上单调递减，在区间单调递增， 由以上可知，不成立，则2两侧满足条件的数值有，此时， 以及，此时， ，， 因为，所以的最小值为， 所以的最小值为. 故选：A 热点五 等比数列前n项和的性质 例9．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 又为的前项和，则成等比数列，公比为， 于是， 所以. 故选：B 例10．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 【答案】10 【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数. 【详解】设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 变式5-1．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【详解】由题意，设等比数列的公比为， 因为成等比数列，可得， 又因为，即 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 变式5-2．设正项等比数列的前项和为，且，则公比 . 【答案】/ 【详解】由，得. 又正项等比数列的前项和为，故， ∴， ∵数列{an}是等比数列， ∴ 故，解得： 因为等比数列{an}为正项数列，所以，故 故答案为： 变式5-3．在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由题意得，，，即， 所以当为奇数时，；当为偶数时，； 设的前n项和为，则，. 若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意； 当为偶数，则 ，即，所以. 故选：B 热点六 等差等比的应用 例11．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由为等差数列，则，，， ，解得或（舍去）. 故选：C. 例12．已知数列是等差数列，且，，． (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设的公差为， 由得， 因为，所以， 所以 ， 所以， 因为，所以 由得， 所以． （2）由（1）得，所以， 故是首项为-1､公比为2的等比数列， 所以， 由得， 所以， 所以． 变式6-1．已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设数列的公差为， 由题意：. 又，所以. 所以. 所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：C 变式6-2．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，，成等比数列可得， 即，解得， 所以可得， 故选：D. 变式6-3．已知是等差数列，，且的前n项和为，，且成等比数列，点在上． (1)求及； (2)判断是否存在正整数m、k使得、、成等比数列．若存在，求出所有m、k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为点在上，所以，所以， 因为，又成等比数列，所以成等比数列， 则， 当时，，解得或（舍） 当时，，解得（舍）或（舍）， 综上得，则， 所以； （2）由（1）知， 假设存在正整数，，使得，，成等比数列， 则，即， 所以， 因为是奇数，所以是奇数， 所以当为偶数时，一定是偶数，找不到这样的正整数 当为奇数时，一定是奇数，找不到这样的正整数， 综上不存在正整数m、k使得、、成等比数列． 热点七 等比数列an与Sn求通项 例13．已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，则，且， 两式相减得：，因为，所以，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 由于随n的增大而减小，故单调递增，所以， 综上，. 故选：C 例14．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 当时，，可得， 当时，， 因为数列为等比数列，可得，解得. 故选：D. 变式7-1．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】是以为公比的等比数列,     所以， 所以公比进而， 所以， 故选：B 变式7-2．设等比数列的前项和为，若，则实数 ． 【答案】 【详解】根据题意，等比数列中，有， 则，， ， 因为是等比数列，则有，即，解可得. 故答案为：. 变式7-3．已知首项为3的数列的前n项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，，即， 故，即， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知，，即． 数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 故． 热点八 等比数列单调性 例15．已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】若是严格递减数列，显然能推出， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件； 若对任意的正整数都成立， 则中不可能同时含正项和负项，故， 所以，，即，， 或，，即，. 当，时，有，即，是严格递减数列； 当，时，有，即，是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件. 故选：C. 例16．（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（    ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 【答案】AC 【详解】对于A，∵，，∴，又，， ∴，故A正确； 对于B，C，等比数列满足，公比，， ， ， ， 为递增数列， 由等比数列的性质，， 又，， ，， ∵，， ，∴， ∵，，，∴，则， ，即， 为递增数列，故当时，最小，故B错误，C正确； 对于D，当时，，为递增数列，， 故D错误. 故选：AC 变式8-1．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 变式8-2．（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 变式8-3．（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（    ） A． B． C． D．与均为的最大值 【答案】ABD 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比， 又， ，，B正确； ，，即，A正确； 由得，，所以，而，，因此，C错； 由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确． 故选：ABD． 热点九 等比数列的最值与范围问题 例17．已知等比数列的前n项和为，前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则 ；的最大值是 ． 【答案】 64 【详解】由题意或， 当时，，，此时没有最大值，故这种情况不可能存在， 所以只可能，此时，， 而二次函数的对称轴是， 所以当或4时，有最大值且的最大值是， . 故答案为：；64. 例18．已知数列的前项和，且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项乘积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为. 所以当时， 当时，， 两式相减得 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则数列通项公式为 （2）记数列的前项乘积为， 所以，由（1）可知 则 令，开口向上且对称轴为， 所以或8时，取最小值且最小值为. 所以的最小值为. 变式9-1．已知函数，数列为等比数列，其前项和为，若，则满足的的最大值为 ． 【答案】6 【详解】设等比数列的公比为，且， 因为函数，且， 可得，所以， 所以，解得，故的最大值为6． 故答案为：. 变式9-2．已知等比数列是递增数列，且. (1)求数列的公比； (2)若数列的前项和为，且，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)4 【详解】（1）因为在等比数列中，，可得或， 且数列是递增数列，则 设等比数列的公比为， 可得，解得， 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可知：，，则， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 且，所以的最小值为4. 变式9-3．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为2 【详解】（1）由题意知：设数列公比为， 当时，① 当时，② 联立①②，，故或（舍），故. 所以数列的通项公式， 此时，符合题设条件， 故数列的通项公式. （2）证明：由（1）知，. 所以. 所以，所以， 因 ， 所以是递增数列，故的最小值为. 热点十 等比数列的恒成立问题 例19．已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，又， 可得，解得，所以， 所以． 当为偶数时，由，得， 所以对任意的偶数成立， 因为单调递减，所以当时取最大值， 故； 当为奇数时，由，得， 所以对任意的奇数成立， 因为单调递增，且当是无限接近于，故． 综上所述，． 故选：C． 例20．已知函数，数列满足，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为函数， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有； （2）由（1）可知：， 所以 （3）由（2）可知：， 所以由， 因为， 所以由， 设， 由， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有， 因此实数k的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用作差法判断函数的单调性进行求解. 变式10-1．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，令，解得， 当时，由，得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D 变式10-2．设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】在数列中，对任意正整数，，都有，对，取， 则有，因此数列是首项，公比的等比数列， 则，而恒成立，于是， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式10-3．已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 【答案】 1 【详解】由等比数列的前n项和知，， 所以，所以， 而，， ∴，即， 由上知：，则， ∴， 即， 当时，的最小值为， 所以. 故答案为：1； 一、单选题 1．（2023-24高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则（   ） A． B．4 C．8 D．或4 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由可得，解得， 当时，，不符合题意，故舍去； 所以，则. 故选：B 2．（2023-24高三上·天津·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（    ）（参考数据：，，，） A．1240 B．1260 C．1280 D．1290 【答案】B 【详解】依题意，当时，， 则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B． 3．（2023-24高三上·河北邯郸·阶段练习）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，若，则等比数列为摆动数列， 这与矛盾，故， 根据题意得，则，解得或（舍）. 则. 故选：A. 4．（2024·新疆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以， 所以，所以， . 故选：C 5．（2024高三·全国·专题练习）数列中，，．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】令，则由，得，即， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，所以， 所以 ，解得. 故选：C 6．（2023-24高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，， 即，则. 在等比数列中，. 即，则.   把，代入，得到. 故选：C. 7．（2023-24高二上·浙江宁波·期中）在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，即，所以， 所以或或 所以的值为或或，所以的最小值为． 故选：A． 8．（2023-24高二上·甘肃酒泉·期中）为等比数列的前n项和，已知，，且公比，若存在常数，使得数列是等比数列，则的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，又， 所以，又， 所以， ，解得：， 所以， 假设存在常数，使得数列为等比数列， 则，即，解得：， 此时，，即数列是等比数列， 所以存在，使得数列为等比数列. 故选：D 二、多选题 9．（2023-24高三上·江西上饶·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时，的最大值为22 D．当取得最大值时，的值为11 【答案】BD 【详解】设等差数列的公差为（）， 又是与的等比中项，所以， 即，所以， 又，所以，又， 所以， 解得，所以， 所以，故A正确；，故B错误；，令，解得， 所以当时，的最大值为22，故C正确； 因为，所以当取得最大值时，的值为11或12，故D错误. 故选：BD. 10．（2023-24高三上·重庆·阶段练习）已知由实数构成的数列满足，则以下说法正确的是（   ） A．存在且，使 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列的最大项为 D．若，设，的前项和为，则 【答案】BCD 【详解】对于A，假设存在且，，则， 即，该方程无实根，故A错误； 对于B，假设，则，又， 则对于，，那么， 数列是递增数列，B正确； 对于C，若，则， 由二次函数的性质可知，，由B选项的分析可知，当时，， 故数列的最大项为，C正确； 对于D，由得， 因为，所以， ， ，即， 又因为， 所以数列是以-1为首项，为公比的等比数列， ，故D正确. 故选：BCD. 11．（2023-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若数列为等比数列，为数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．，，成等比数列 D．数列是等比数列 【答案】BD 【详解】设等比数列的公比为， 则，当时，， 此时数列不是等比数列，故A错误； 因为是等比数列，所以， 又，所以数列是等比数列，故B正确； 当，且为正偶数时，， 此时，，不成等比数列，故C错误； 因为是等比数列，所以，又， 所以数列是等比数列，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（2023-24高二上·广东汕头 期中）若为等比数列，且，则公比是 ． 【答案】或3 【详解】设等比数列的首项和公比分别为, 则由题意可得, 当,数列不满足等比数列的定义， 所以，化简得：, 解得或. 故答案为：或3. 13．（2024·河北·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则 ． 【答案】1 【详解】解：由已知可得，，，， 再由，， 得，， 联立以上两式可得：， （舍去），或，即． 故答案为：1． 14．（2023-24高二下·广东·期末）数列的前项和为，且，则满足的最小正整数为 . 【答案】9 【详解】因为，所以， 所以,所以是公比为2首项为的等比数列， 所以. 则, 因为则单调递增， 又因为, . 则的最小正整数n为9. 故答案为：9. 四、解答题 15．（2023-24高三上·北京·期中）已知等差数列满足. (1)求的通项公式; (2)若等比数列，求的通项公式; 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， ∴， ∴，∴， ∴； （2）由题可知，又∵， ∴， ∴， ∴. 16．（2023-24高三上·黑龙江大庆·期中）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【答案】(1)证明见解析 (2)2022 【详解】（1）由得， 则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由(1)得，， 所以， 设，， 数列是单调递增数列， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为2022. 17．（2023-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见详解； 【详解】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则 ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴ 18．（2023-24高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得： 时，，两式相减可得：，所以， 时，，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，的通项公式为 （2），. ， ， 两式相减得：， 所以， 因为恒成立，可得， 记， 法一： 令，则，解得， 则，即当时，取到最大值2， 可得，所以实数的取值范围. 法二： ， 时，，即， 时，，即， 则，即当时，取到最大值2， 可得，所以实数的取值范围 19．（2023-24高三上·山西大同·期中）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，. （2）因为， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 所以，. （3）因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$