热点08 等差数列的通项公式及求和公式-2024-2025学年高二数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版选择性必修第二册）

热点08 等差数列的通项公式及求和公式 知识点一 等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 知识点二 等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 知识点三 等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 热点一 等差数列的判断及证明 例1．已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 例2．已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：设数列的前项和为， 因为， 可得，解得， 所以. （2）证明：由（1）知， 当时，可得； 当时，， 当时，适合上式，所以， 又由，所以数列表示首项为，公差的等差数列. 变式1-1．已知数列满足，，记，求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】证明见解析；. 【详解】由，得， 又，所以数列是首项为、公差为的等差数列. 于是，由，解得. 变式1-2．已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，令，， 所以时， ， 所以， 此时， 所以， 所以， 可得数列是公差为的等差数列. （2）， 令，得， 所以时， ， 所以， 所以， 可得时，数列是公差为的等差数列， 若数列是等差数列，则， 所以． 变式1-3．数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【详解】（1）由，， 令，得，又，所以， 令，得，又； （2）因为当时，， 所以， 所以数列为等差数列，首项为，公差为， 所以， 所以， 于是，当时， ， 当时，，满足上式， 故. 热点二 等差数列基本量的计算 例3．设为等差数列的前项和，若，则的公差为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由题设，又，故， 所以的公差. 故选：C 例4．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，所以， 所以. 故选：. 变式2-1．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】9 【详解】设等差数列的公差为， 由可得， 化简得，因，解得. 故答案为：9. 变式2-2．已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】5 【详解】设公差为，由得， ，解得. 故答案为：5 变式2-3．已知等差数列的前项和为，若，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可得，解得， 则， 所以， 由可得，，解得， 故满足的的取值范围是． 热点三 等差中项的应用 例5．等差数列中，设前项和为，，则等于（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】B 【详解】由题意可得， 故选：B. 例6．若数列 是等差数列，且 ，则 （    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】A 【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项， 有，即，解得. 故选：A 变式3-1．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 【答案】或 【详解】设这四个数依次为(公差为)． 因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40， 所以，解得：或， ∴这个数列为或 变式3-2．已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 【答案】C 【详解】由题，解得， 故选：C. 变式3-3．若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则 . 【答案】/ 【详解】，若，无解，舍去， 若，此时，此时，只有两个零点，舍去， 若，， 若，则，故， 若，则，故， 其中， 因为四个零点从小到大恰好构成等差数列， 所以，故，故，解得. 故答案为： 热点四 等差数列的性质 例7．已知等差数列中，，则=（     ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 故选：C. 例8．在与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】D 【详解】设插入的5个数依次为，则数列成等差数列， 因此，解得， 所以. 故选：D 变式4-1．公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 变式4-2．在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为，令的公差为d， 则， 故选：D． 变式4-3．在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与是方程的两根，由韦达定理得， 因为数列为等差数列，所以，， 所以， 故选：B. 热点五 等差数列前n项和的性质 例9．已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A．44 B．52 C．68 D．84 【答案】D 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 例10．已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据等差数列前项和公式，当时，. 由等差数列性质，所以. 同理，对于数列，当时，. 又因为，所以. 已知，当时，. 而，所以. 故选：C. 变式5-1．设等差数列的前项和分别为，若对任意的，都有，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由等差数列性质知：，， . 故选：D. 变式5-2．已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 变式5-3．（多选）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．成等差数列，且公差为 【答案】ABD 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得， 由等差数列性质可得当时，数列是递增数列，即A正确； 依题意可得， 所以，因此可得，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得， 当时，，所以C错误； 易知，则， 因此， 即可得，也即， 同理可得， 即， 因此成等差数列，且公差为，即D正确. 故选：ABD 热点六 等差数列an与Sn求通项 例11．若数列的前n项和满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C．为等差数列 D．为等差数列 【答案】D 【详解】当时，， 当时，，∴， 对于A：不满足，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C，，,，不满足，故C不正确； 对于D：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，故D正确； 故选：D． 例12．已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】2024 【详解】由于数列的各项均为正数，即， 当时，，即， 当时，由，可得，两式相减得， 又， 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，. 故答案为：2024. 变式6-1．设等差数列的公差是，如果它的前项和，那么 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 符合的情况， 故， 故答案为：. 变式6-2．（多选）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(    ). A． B．为等差数列 C．不可能为常数列 D．若为递增数列，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项：当时，，A正确； 对于B选项：当时，， 显然时，上式也成立，所以. 因为， 所以是以2k为公差的等差数列，B正确： 对于C 选项，由上可知，当时，为常数列，C错误； 对于D选项，若为递增数列，则公差，即，D正确. 故选：ABD . 变式6-3．设数列的前n项和为，且方程有一根为（）．求数列的通项公式． 【答案】 【详解】依题，且，将代入上式，得，记，令，求出不动点，由定理2（ⅱ）知：， ∴数列是公差为的等差数列， ∴，因此数列的通项公式为． 热点七 绝对值求和 例13．在等差数列中，，，求数列的前n项和 【答案】 【详解】设公差为d，由等差数列的求和公式 得，， 解得，，所以，由得， 即数列的前5项为正，其余各项为负，则数列的前n项和， 所以当时，；当时，， 即 ； 故答案为：. 例14．已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为成等比数列，则有， 即，而，解得，则， 所以的通项公式是． （2）由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值， 设的前项和为，则， 若，， 若， ， 所以. 变式7-1．已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项； (2)求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为， 则，解得， 所以； （2）因为，所以， 当时，，此时， ， 当时，，此时， ， 综上所述：. 变式7-2．已知在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得， 所以，. （2）解：. 因此，. 变式7-3．等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得：，解得，； （2），当时，，；时，，； 当时，； 当时，；即 ，综上所述：. 热点八 等差数列的最值与范围问题 例15．已知等差数列的前项和有最大值，若，，则时的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】由，可得，解得， 因为等差数列的前项和有最大值，所以数列为递减数列，即， 又因为，可得，即， 即是方程的两根，且， 解得，可得， 又由，解得， 所以， 令，即，解得且， 所以实数的最大值为. 故选：C. 例16．已知等差数列的前n项和为，若，公差. (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)求的最大值及取得最大值时n的值. 【答案】(1) (2)当或时取得最大值，最大值为30 【详解】（1）等差数列中，若，公差， 则有，. （2），又， ∴当或时取得最大值，最大值为. 变式8-1．（多选）在等差数列中，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设等差数列的公差为，其前项和为，由，得， 对于A，数列是递增等差数列，且前10项均为负数，从第11项起为正，则， 即，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，得，，D正确. 故选：AD 变式8-2．已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最大值时，n的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【答案】C 【详解】因为：， 所以，所以. 所以数列单调递减，又，所以，当时，. 所以当或时，相等且最大. 故选：C 变式8-3．等差数列中，，. (1)求数列的通项公式，并计算； (2)若，求； (3)若取到最小值，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设的公差为，则，解得， 所以，； （2）由（1）知，，得， 所以，即，解得（负值舍去），故； （3）由（2）知，， 所以当时，取得最小值. 热点九 等差数列的恒成立问题 例17．记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求； (2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设公差为，则，解得， 故 （2）由，可得， 即恒成立． 设，则， 当时，则， 当，即时，则， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为． 例18．已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则 解得 故 （2）由（1）可知，， 令，可知二次函数的对称轴为， 而，故当时，有最小值‑15， 故，即实数λ的取值范围为. 变式9-1．已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列． (1)求； (2)设，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，，…， 数列是以为首项，公差的等差数列， ， ，，，…，， 将所有上式累加可得，． 又也满足上式，． （2）由（1）得，，则， 恒成立，， 恒成立，，即的取值范围是． 变式9-2．已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列； (2)设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）得，所以， 要使对任意的恒成立，只需要即可， 令， 则 ， 所以数列是递增数列， 所以，即， 所以. 变式9-3．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意的正整数恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）当时，， 两式相减得， ， ，即， 数列表示首项，公差为2的等差数列， ． （2）， 即， 由得对任意的正整数恒成立， 又对任意的正整数恒成立． 设，则， 当时，最大，最大值为， ，解得，则的最大整数为4． 一、单选题 1．（2023-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 则 . 故选：B. 2．（2023-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 【答案】D 【详解】由知数列为等差数列，公差为1，故A错误； 因为，所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误； 由通项公式是知，数列是无穷数列，故C错误； 由通项公式是知该数列的图象是直线上满足的点集，故D正确. 故选：D 3．（2023-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，得， 因为是正项无穷的等差数列， 所以，所以，得， 即的公差的取值范围是. 故选：D 4．（2023-24高三上·四川眉山·阶段练习）已知正项等差数列满足，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即， 所以，.又，所以， 解得，故. 故选：C. 5．（2023-24高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（   ） A．98 B．50 C．49 D．7 【答案】C 【详解】设公差为，因为，， 所以，即，解得， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为. 故选：C 6．（2023-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知实数，满足，若下列四个数，，，经过适当排序后构成公差为的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不相等的实数，满足． 当时，显然有， 要想构成等差数列，则有：， 这与矛盾； 当时，， 要想构成等差数列，则有：或（舍去）， 此时四个数由大到小为，，，．故. 故选：D 7．（2023-24高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 8．（2024·广东广州·模拟预测）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，， 所以，所以， 所以 ， 函数的开口向下，对称轴为， 所以当或时，取得最大值为. 故选：D 二、多选题 9．（2023-24高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列关于等差数列单调性的结论正确的是（    ） A．若数列是递增数列，则公差 B．若公差，则数列一定是递增数列或者递减数列 C．若，则数列是递减数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】ABD 【详解】对于A，若数列是递增数列，则，即公差，故A正确； 对于B，若公差，则或， 当时，有，则是递增数列； 当时，有，则是递减数列，故B正确； 对于C，若，因为数列是等差数列， 则，所以数列是递增数列，故C错误； 对于D，若，因为数列是等差数列， 则，即，所以数列是递增数列，故D正确. 故选：ABD 10．（2023-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为数列为等差数列，则， 若始终是一个定值，所以是定值，故B正确； 又因为，， 所以与也为定值，所以C，D正确； 没有足够条件判断A，故A错误； 故选：BCD． 11．（2023-24高三上·福建·期中）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．是递增数列 C．当时，取得最小值 D．若，则的最小值为11 【答案】BD 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 所以，当时，取到最小值，故C错误； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为11，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12．（2024·陕西榆林·三模）已知为等差数列的前项和，且，则 . 【答案】2 【详解】由等差数列的前项和可得，， 则，所以. 故答案为： 13．（2023-24高二上·浙江宁波·期中）已知，，则 . 【答案】/0.1 【详解】由，得， 又，则， 所以数列首项为1，公差为1的等差数列，所以， 又可得，又，所以，得， 所以， 故答案为： 14．（2023-24高三上·重庆·期中）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为 ． 【答案】91 【详解】设该二阶等差数列为，则，，，， 由二阶等差数列的定义可知，，，，， 所以数列是以为首项，公差的等差数列， 即， 所以，，，，， 将所有上式累加可得， 所以． 故答案为：91． 四、解答题 15．（2023-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）一个等差数列的第3项是9，第9项是3，求它的第12项． 【答案】0 【详解】设该等差数列为，公差为， 则，解得， 所以. 16．（2023-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设为数列的前n项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【详解】（1）数列的前n项和, 则当时，； 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知，当时，， 因此（常数）， 所以数列是等差数列. 17．（2023-24高二上·吉林长春·期中）设等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)当为何值时，最大？并求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)当时，最大，且的最大值为123 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可得，， 所以； （3）令，解得， 令，解得， 又，所以当时，最大，. 18．（2023-24高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析 (2) 【详解】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 19．（2024·浙江宁波·一模）已知数列为等差数列，且满足. (1)若，求的前项和； (2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，由，则，由，则， 所以等差数列的公差为， 即通项公式， 所以前项和. （2）当时，，可得， 当时， ， 将代入上式，则， 综上所述，，. ，可得， 由（1）可知，则， 由方程，可得，解得， 由，则等差数列的公差为，所以， 由，，则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点08 等差数列的通项公式及求和公式 知识点一 等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 知识点二 等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 知识点三 等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 热点一 等差数列的判断及证明 例1．已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 变式1-1．已知数列满足，，记，求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 变式1-2．已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 变式1-3．数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 热点二 等差数列基本量的计算 例3．设为等差数列的前项和，若，则的公差为（   ） A． B．1 C． D．2 例4．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 . 变式2-2．已知等差数列的前项和为，若，则 . 变式2-3．已知等差数列的前项和为，若，则满足的的取值范围是 ． 热点三 等差中项的应用 例5．等差数列中，设前项和为，，则等于（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 例6．若数列 是等差数列，且 ，则 （    ） A．30 B． C．20 D． 变式3-1．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 变式3-2．已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 变式3-3．若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则 . 热点四 等差数列的性质 例7．已知等差数列中，，则=（     ） A．6 B． C．5 D． 例8．在与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 变式4-1．公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 变式4-2．在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-3．在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 热点五 等差数列前n项和的性质 例9．已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A．44 B．52 C．68 D．84 例10．已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．设等差数列的前项和分别为，若对任意的，都有，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 变式5-3．（多选）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．成等差数列，且公差为 热点六 等差数列an与Sn求通项 例11．若数列的前n项和满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C．为等差数列 D．为等差数列 例12．已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 变式6-1．设等差数列的公差是，如果它的前项和，那么 变式6-2．（多选）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(    ). A． B．为等差数列 C．不可能为常数列 D．若为递增数列，则 变式6-3．设数列的前n项和为，且方程有一根为（）．求数列的通项公式． 热点七 绝对值求和 例13．在等差数列中，，，求数列的前n项和 例14．已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 变式7-1．已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项； (2)求数列的前n项和为． 变式7-2．已知在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，求. 变式7-3．等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 热点八 等差数列的最值与范围问题 例15．已知等差数列的前项和有最大值，若，，则时的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 例16．已知等差数列的前n项和为，若，公差. (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)求的最大值及取得最大值时n的值. 变式8-1．（多选）在等差数列中，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最大值时，n的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 变式8-3．等差数列中，，. (1)求数列的通项公式，并计算； (2)若，求； (3)若取到最小值，求. 热点九 等差数列的恒成立问题 例17．记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求； (2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 例18．已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数λ的取值范围. 变式9-1．已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列． (1)求； (2)设，若恒成立，求的取值范围． 变式9-2．已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列； (2)设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围． 变式9-3．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意的正整数恒成立，求整数的最大值． 一、单选题 1．（2023-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．10 2．（2023-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 3．（2023-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高三上·四川眉山·阶段练习）已知正项等差数列满足，，则值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（   ） A．98 B．50 C．49 D．7 6．（2023-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知实数，满足，若下列四个数，，，经过适当排序后构成公差为的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2024·广东广州·模拟预测）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023-24高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列关于等差数列单调性的结论正确的是（    ） A．若数列是递增数列，则公差 B．若公差，则数列一定是递增数列或者递减数列 C．若，则数列是递减数列 D．若，则数列是递增数列 10．（2023-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 11．（2023-24高三上·福建·期中）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．是递增数列 C．当时，取得最小值 D．若，则的最小值为11 三、填空题 12．（2024·陕西榆林·三模）已知为等差数列的前项和，且，则 . 13．（2023-24高二上·浙江宁波·期中）已知，，则 . 14．（2023-24高三上·重庆·期中）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为 ． 四、解答题 15．（2023-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）一个等差数列的第3项是9，第9项是3，求它的第12项． 16．（2023-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设为数列的前n项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 17．（2023-24高二上·吉林长春·期中）设等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)当为何值时，最大？并求的最大值. 18．（2023-24高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 19．（2024·浙江宁波·一模）已知数列为等差数列，且满足. (1)若，求的前项和； (2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$