精品解析：云南省会泽县东陆高级中学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷

会泽县东陆高级中学校2024年秋季学期高二年级11月月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算求解出结果. 【详解】由，，得． 故选：C． 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，再结合共轭复数以及虚部的概念分析判断. 【详解】由题意可得：， 所以的虚部为2. 故选：D. 3. 已知数列是公比为的等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式即可求解. 【详解】由题意得，由，得. 故选：B. 4. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 5. “”的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对数函数单调性求得“”的充要条件，然后把必要条件转化为真子集关系，逐项判断即可. 【详解】由得，要成为“”的必要条件， 则是其对应的集合的真子集，而均不满足题意， 因为是的真子集，所以“”的一个必要条件是“”. 故选：C 6. 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则直线与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用外接球的体积公式和球心的几何性质，可利用球的半径来求出的长，再利用中位线平移思想来计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】设球的半径为，所以，解得． 设的外接圆的半径为，所以，解得， 根据球心的性质，假设底面的外接圆的圆心为，则外接球的球心一定满足平面， 又由于，取的中点为，连接，则， 又因为平面，所以， 而平面，所以，则， 即四边形是矩形，所以， 则由勾股定理得：，即，解得． 再取，的中点，，连接，，，， 因为平面，又，平面，所以，， 在等边中，，所以， 所以，， 又，，分别为，，的中点， 所以，， 又因为，，所以为直线与所成的角或其补角， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为． 故选：B． 8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据数量积的坐标运算分析判断；对于BD：根据向量垂直分析判断；对于C：根据向量平行分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若，则，所以，A正确； 对于选项B：若， 则，解得，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则，解得，故D错误． 故选：AC． 10. 已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列性质和求和公式可知是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 若始终是一个定值，所以是定值，故B正确； 又因为，， 所以与也为定值，所以C，D正确； 没有足够条件判断A，故A错误； 故选：BCD． 11. 已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且，都有，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 8为函数的一个周期 C. 在区间上单调递增 D. 在处取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合函数的单调性，对称性，周期性逐一判断即可. 【详解】对于选项A:由，得的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 由对称性可知，函数的图象关于点中心对称， 再根据奇偶性可知，函数的图象关于点中心对称，故A错误； 对于选项B:由与，得， 所以，则8为函数的一个周期，故B正确； 对于选项C:因为对于任意的且，都有，所以在上单调递减， 又函数的图象关于点中心对称，则在上单调递减，因为的图象关于直线对称，则在区间上单调递增，故C正确； 对于选项D:由上可知，在处取得最大值，由周期性可知，，则在处取得最大值，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组样本数据：95，92，94，88，92，98，96，90，91，99的分位数为______ 【答案】97 【解析】 【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义分析求解. 【详解】将数据按升序排列可得：88，90，91，92，92，94，95，96，98，99， 因为，可知分位数为第8位数与第9位数的平均数，即. 故答案为：97. 13. 已知函数在区间上的最大值为2，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的范围以及函数函数在区间上的最大值列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，， 当时，， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，再结合化简可得. 【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角的对边分别为且． （1）求； （2）求的大小及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边即可； （2）利用余弦定理及面积公式计算可得. 【小问1详解】 由正弦定理，又， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理， 又，所以， 所以. 16. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比中项可得，，结合题意解方程可得，进而可得公差和通项； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解即可. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，即， 又因为成等比数列，则， 联立方程，解得或， 且，则，可知公差， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点. （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为， 所以，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，则. 由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直 线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 当点为棱的中点时，. 设平面的一个法向量， 则即令，解得，故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知： （1）恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，概率为， （2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为， （3）书包都拿错了包含9个样本点，概率为 【小问1详解】 设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为 ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 共有24种情况． 恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为 ，，，，，， 故其概率为． 【小问2详解】 至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为 ，，，，，，， 故其概率为． 【小问3详解】 书包都拿错了包含9个样本点，分别为 ，，，，，， ，，， 故其概率为． 19. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标，即可求出点到直线的距离. 【小问1详解】 解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、， 联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会泽县东陆高级中学校2024年秋季学期高二年级11月月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知数列是公比为的等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. “”的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则直线与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且，都有，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 8为函数的一个周期 C. 在区间上单调递增 D. 在处取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组样本数据：95，92，94，88，92，98，96，90，91，99的分位数为______ 13. 已知函数在区间上的最大值为2，则实数的取值范围为________． 14. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角的对边分别为且． （1）求； （2）求的大小及的面积． 16. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点. （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 19. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $