精品解析：河南省创新发展联盟质量检测2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0，5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数､解三角形､平面向量､复数､立体几何､数列. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知正三棱锥中，两两垂直，，点满足，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：，且，则（ ） A. 1650 B. 1651 C. 651 D. 676 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上的值域为，则的取值范围是 D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 11. 已知定义在上的函数满足：不恒为0，为的导函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与平面交于点上的不同两点在上的射影分别为，若，则与所成角的大小为__________. 13. 近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本万元（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万元，则每年的运营成本应不高于__________万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：） 14. 已知是上的偶函数，为的导函数，.若，，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且. （1）求证：平面； （2）若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 16. 已知函数及点. （1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； （2）若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值. 17. 如图，在五棱台中，平面，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在中，角所对的边分别为. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的最大值； （3）利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：，这些公式在三角式的化简中有重要作用.若等于边上的高，求的值. 19. 若无穷数列的各项均为整数，且满足，则称是“和谐数列”. （1）若，求证：是“和谐数列”； （2）若是等比数列，求证：不是“和谐数列”； （3）若，将的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列；将的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列，求证：是“和谐数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0，5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数､解三角形､平面向量､复数､立体几何､数列. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量， ， 所以，解得， 故选：A. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解是任意实数，即可得求解. 【详解】，即关于的方程的解是任意实数， 则所以所以. 故选：B. 3. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得两球的半径，结合球的体积公式运算求解即可. 【详解】由葫芦摆件总高度为，且高度之比为， 可得两个球的直径分别为，故它们的半径分别为， 所以下面球的体积与上面球的体积之差为. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式和二倍角公式, 将所求式化成单角的正余弦式，代入求解即得. 【详解】由，可得， 故. 故选：B. 5. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】利用等差数列的性质，由得：， 即，又由， 故选：C. 6. 已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对恒成立求得的范围，再与比较即可得． 【详解】为递增数列 ， 而“”是“”的充分不必要条件，故“”是“是递增数列”的充分不必要条件. 故选：B. 7. 已知正三棱锥中，两两垂直，，点满足，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的中心为，连接，连接交于，结合等体积法易得，结合勾股定理可得点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（的内切圆），进而求得，再利用余弦定理求解即可. 【详解】设的中心为，连接，连接交于，则平面， 又两两垂直，，， 由，得， 即，解得. 由题意知点在以为两邻边的平行四边形内（包括边界），连接， 因为，则， 在正中，， 则，， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（的内切圆）， 所以，即，所以， 在中，由余弦定理得， 所以的取值范围是. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足：，且，则（ ） A. 1650 B. 1651 C. 651 D. 676 【答案】B 【解析】 【分析】由通过两次赋值后再相加，推得，结合题设条件可得，依次取，再左右两边分别相加，化简即得. 【详解】由，可得①， 则有②，③， 将①②③左右分别相加，得， 又，即， 故得， 所以 ，， 将以上式子左右分别相加，即得： ， 又，所以. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用函数不等式求函数的解析式和函数值，属于难题. 对于与函数有关的递推不等式，常常通过赋值消元转化，结合题设条件推得函数方程，再按规律赋值累加消项后即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求出实数的值，然后利用复数的运算、复数的概念、复数的模长公式和虚数不能比大小逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为在复平面内对应的点为， 由题意得，解得，则， 对于A选项，为纯虚数，A对； 对于B选项，，则，B错； 对于C选项，， 故，C对； 对于D选项，两个虚数不能比较大小，D错. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上的值域为，则的取值范围是 D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到范围的判断. 【详解】对于A，当时，， 又在上单调递增，所以，可得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，所以，故B错误； 对于C，由题意得，即，故C正确； 对于D，由题意得，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数满足：不恒为0，为的导函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据即可求解A，利用即可求解B，根据即可求导即可求解CD. 【详解】因为， 令，得，因为不恒为0，所以，故A正确； 令，得，所以，故为偶函数，故B正确； 由，得，令，得，故C正确； 令，得，所以，故D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与平面交于点上的不同两点在上的射影分别为，若，则与所成角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义，再结合平行线的性质和三角函数即可求解. 【详解】若在的同侧，如图所示，过作交于点， 则等于与所成的角，易证，所以， 又，所以，即与所成角的大小为. 若在的两侧，通过平移可转化为在同侧的情形，结果与上面情况一致， 故与平面所成角的大小为. 故答案为： 13. 近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本万元（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万元，则每年的运营成本应不高于__________万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：） 【答案】34.53 【解析】 【分析】列用列举法可得，即可利用等比数列的求和公式求解,即可列不等式求解. 【详解】记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，由题意知， 所以 ， 以此类推，， 所以，解得， 即每年的运营成本应不高于34.53万元，才能使得直播平台在第4年年底扣除运营成本后资金达到1500万元. 故答案为：34.53 14. 已知是上的偶函数，为的导函数，.若，，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，结合题意易得在上单调递增，转化为，可得在上恒成立，令，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求解. 【详解】令，则， 因为对，所以， 所以在上单调递增， 又为上的偶函数，所以， 所以为上的奇函数，所以在上单调递增. 由， 可化为，即， 所以在上恒成立，所以， 令，，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，结合题意得到在上单调递增，再将问题转化为在上恒成立，进而求解即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且. （1）求证：平面； （2）若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段的比例关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作，垂足分别为，分析可知绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为2的圆锥的侧面积之和，运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 连接，因为， 则， 可得， 且平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为四边形是等腰梯形，， 所以， 又因为，可知， 所以， 且，即， 在平面中，作，垂足分别为， 则，， 又因为，则，可得， 所以绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为的圆锥的侧面积之和， 故所得几何体的表面积为. 16. 已知函数及点. （1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； （2）若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）先设，再把与的图象相切的直线恰有2条转化为关于的方程有两个不等的实根，构造，再根据方程有两个不等实根求参. 【小问1详解】 因为点在的图象上，所以， 又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 所以的方程为， 将点的坐标代入得， 因为过点与的图象相切的直线恰有条， 所以关于的方程有两个不等的实根. 设，则， 令，得，或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 的极大值为,的极小值为, 因为方程有两个不等实根，则，或， 即的值为或. 17. 如图，在五棱台中，平面，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面可得，结合直角三角形中余弦定义易得，，进而得到，进而可得平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面平面， 所以. 在中，， 所以. 同理，可得. 又，所以， 所以. 又平面平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可得，， 因为，所以，所以， 所以， 则. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以为平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在中，角所对的边分别为. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的最大值； （3）利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：，这些公式在三角式的化简中有重要作用.若等于边上的高，求的值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和正弦公式化简得出结合角的范围即可求角； （2）结合角的值及两角和差公式化简得，再应用角的范围应用正弦的值域即可得出最值； （3）应用面积公式结合正弦定理，结合两角和差的正弦化简求值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 因为，所以，所以， 化简，得，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以 所以， 所以， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为2. 【小问3详解】 由（1）知，则， 又，所以， 由正弦定理，得，即， 又， ， 所以，解得或（舍）， 所以. 19. 若无穷数列的各项均为整数，且满足，则称是“和谐数列”. （1）若，求证：是“和谐数列”； （2）若是等比数列，求证：不是“和谐数列”； （3）若，将的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列；将的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列，求证：是“和谐数列”． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“和谐数列”的定义证明即可； （2）根据“和谐数列”的定义，假设是“和谐数列”，则存在，使得，再证明不存在即可得证； （3）对任意，必存在，使得，易得中最大的值为，最小的值是，分为奇数和偶数两种情况讨论即可得出结论. 【小问1详解】 当为正奇数时，设， 因为， 所以； 当为正偶数时，设，因为， 所以. 综上所述，， 所以，即是“和谐数列”； 【小问2详解】 因为，所以， 假设是“和谐数列”，则存在，使得， 因为是等比数列，所以，从而，所以. 因为存在，使得，又或， 所以或， 若，因为，且是等比数列且各项均为整数，则， 所以公比为，故，显然，与假设矛盾； 若，因为，且是等比数列且各项均为整数， 则，为中的相邻两项，其公比为， 所以不是整数， 所以中存在不是整数的项，与题意不符. 综上，不是“和谐数列”； 【小问3详解】 对任意，必存在，使得， 因为， 则中最大的值为， 最小的值是，共个不同的值， 所以可以取到中的所有整数， 因为，对每一个，存在唯一一组， 使得， 若为偶数，令， 则， 其中为中一项， 设为为中一项，设为，所以； 若为奇数，令， 则， 其中为中一项， 设为为中一项，设为，所以， 综上所述，对， 所以是“和谐数列”. 【点睛】方法点睛：1.求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 2.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将新定义的数列类比已经学习了的等比、等差数列求解.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $