专题15.3 分式的加法和减法-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题15.3 分式的加法和减法 目录 【典型例题】 1 【考点一 同分母分式加减法】 1 【考点二 异分母分式加减法】 4 【考点三 整式与分式相加减】 8 【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 9 【考点五 分式加减混合运算】 12 【考点六 分式加减的实际应用】 14 【考点七 分式加减乘除混合运算】 15 【考点八 分式化简求值】 17 【考点九 分式混合运算错解复原问题】 18 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 同分母分式加减法】 例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是关键． 同分母分式相减，分母不变，分子相减，再化简即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式的加减法． （1）根据同分母分式的运算法则计算即可； （2）根据同分母分式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】同分母分式加减法、整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果； （2）将分式变形后利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4.（24-25八年级上·广西来宾·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减． （1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加，再结合因式分解化简即可； （2）先通分，再进行同分母分式的加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点二 异分母分式加减法】 例题：（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法，解题的关键是掌握分式的减法法则．先将原式进行通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解： 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先通分，化为同分母分式，再计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据同分母分式的减法进行计算即可求解； （2）先计算括号里面的异分母分式减法，再计算分式的除法即可； （3）利用分式的除法法则先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则约分计算即可得解； （4）先化简，然后根据同分母分式的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】分式加减乘除混合运算、同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】（）原式两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； （）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结； 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【考点三 整式与分式相加减】 例题：（22-23八年级下·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通分，然后根据分式的加法进行计算即可求解； （2）根据分式的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 2．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据分式的加法法则相加，再约分即可； （2）先通分，再根据分式的加法法则相加，即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查了分式的加法，熟知计算法则是解题的关键． 【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 例题：（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； （2）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； 故答案为：，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点五 分式加减混合运算】 例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可； （3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可； （4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． （4）解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式； （3）通分，最简公分母为； （4）把看成是一项，为，再通分； （5）前两项先通分，再依次计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式． 【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 【考点六 分式加减的实际应用】 例题：（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减法的实际应用，根据速度路程时间分别求出提速前后火车的速度，再用提速后的速度减去提速前的速度即可得到答案， 【详解】解：千米/小时， ∴提速后火车的速度比提速前的快了千米/小时， 故答案为：． 2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．（用含a、b、m的最简分式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式减法的实际应用，根据题意可知，原计划每天读页，实际每天读页，用实际每天读的页数减去原计划每天读的页数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴平均每天比原计划要多读的页数为， 故答案为：． 【考点七 分式加减乘除混合运算】 例题：（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后根据同分母分式的减法法则进行计算； （2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的减法，同时将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式，分式混合运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式减法则计算，即可求出答案； （2）根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案； （3）先用完全平方公式和平方差公式分解分子分母，将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案； （4）先计算括号内异分母分式减法，再将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则； （1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． （2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】（1） （2）． 【考点八 分式化简求值】 例题：（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法． 先化简小括号内的分式，再将除法化为乘法，最后再代入求值． 【详解】解：原式， 当时，． 【变式训练】 1．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0， 中选取适合的数字求这个代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件得到，，据此得到，最后代值计算即可． 【详解】解： 由题得，，， 当时，原式． 2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的运算、二次根式，根据分式的运算法则即可进行化简，同时可知且且，根据，，可知，则的整数值可取． 【详解】原式 根据题意可知且且． ∵，， ∴，． ∴． ∴的整数值可取． 将代入，得 原式 【考点九 分式混合运算错解复原问题】 例题：（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程： 解：原式① ② ③… (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)③ (2)见详解 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号． （2）解：原式 ＝ ＝． ∵x是满足条件的非负整数 ∴， ∵由于分母不为0， ∴， ∴ ∴原式或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____． ②任务二：请写出完整的解答过程． 【答案】①三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；②，过程见解析 【分析】 本题主要考查了分式的混合计算：①根据分式通分的步骤和去括号法则解答即可；②按照分式的化简步骤重新计算即可． 【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号； 故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号； ② ． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 (1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 第         步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请写出正确的化简结果： ． (2)先化简再求值：，已知． 【答案】(1)①一，分式的基本性质；②三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；③ (2)， 【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②根据去括号的法则即可得出答案；③根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意得出，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：一，分式的基本性质； 第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； ． ， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 原式． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式分解因式、同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，先进行同分母分式减法运算，然后利用平方差公式对分子进行因式分解后约分即可，解题关键是熟练运用分式减法运算法则． 【详解】解： ， 故选：． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①；②；③；④，其中解答正确的有（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键. 根据分式的加减乘除运算的法则逐一计算，根据计算结果判定即可. 【详解】解：，故①计算错误， 是最简分式，不能进行约分，故②计算错误， ，故③计算错误， ，故④计算正确， 正确的解答共1道， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）下列等式中，正确的有（   ） ①  ②  ③  ④  ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】约分、判断分式变形是否正确、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了绝对值和分式的通分和约分． ①把等式右边的分式进行化简，然后判断即可；②把等式左边的分式的分子分解因式，然后约分，进行判断即可；③根据绝对值的性质进行化简，然后约分，进行判断即可；④根据分式的基本性质进行判断即可；⑤先把等式左边的式子通分，然后进行判断即可． 【详解】解：①，①不正确； ②∵，∴②正确； ③∵当时，； 当时，， ∴或，∴③不正确； ④当时，，∴④不正确； ⑤∵，∴⑤不正确， 综上，只有②正确． 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如果，那么代数式的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出的值，再把所求式子中的小括号内的式子通分化简，再计算分式乘法分解，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得，根据分母为2的因数即可求得x的值，再把所有这些值相加即可． 【详解】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）对于正数x，规定，例如：，，，则的值为（　　） A．2023 B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的加减运算，有理数的混合运算和代数式的求值，掌握分式的加减运算法则，有理数的混合运算法则和代数式的求值方法是关键．根据分式的加减运算法则，有理数的混合运算法则和代数式的求值方法利用裂项相消的方法进行计算． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·全国·期末）计算 的结果是 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母分式的相加减，熟练运用通分、约分法则是解本题的关键． 将原式通分，相加后再约分即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（2023·四川成都·模拟预测）如果，那么代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由得出，从而得出答案． 【详解】解：原式 ， ， ， 则原式． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】分式的求值、异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的运算． 由得到，从而，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知 则的值为 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、加减消元法 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，解二元一次方程组，先通分得到，进而得到，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查新定义，分式的混合运算，由 可得答案，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则. 【详解】解： 根据题意得： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于任意两个非零实数，，定义新运算“*”如下：，例如：．则 （1） ． （2）若，则的值为 ． 【答案】 / 506 【知识点】新定义下的实数运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． （1）按照新定义进行计算即可； （2）根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：（1）． 故答案为：； （2）， ， ， 故答案为：506． 三、解答题 13．（23-24八年级上·广东云浮·阶段练习）化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】 ． 14．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加减计算： （1）先通分，再计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把另一个分式约分化简，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、综合运用公式法分解因式、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式、提公因式法进行因式分解．熟练掌握分式的化简，利用平方差公式、提公因式法进行因式分解是解题的关键． （1）先计算括号，然后利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，最后进行除法运算即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，然后进行乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）已知，求A，B的值 【答案】， 【知识点】异分母分式加减法、构造二元一次方程组求解 【分析】此题考查了分式的加减运算法则，此题难度适中，注意掌握方程思想的应用． 由分式的加减运算法则可求得，继而可得方程组：，解此方程组即可求得答案． 【详解】解：    解得． 17．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．先根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 18．（24-25八年级上·河北沧州·期中）先化简再求值：，然后从0，1，2，3，4中选取一个合适的x值代入求值． 【答案】，当时，原式 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和分式有意义的条件是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件选取合适的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 依题意有， 解得：且且， 则当时，原式． 19．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值 【答案】，当时，原式为 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组，解题的关键是掌握相关知识．先求出不等式组的解集，再将所求的分式化简，最后代入合适的值计算即可，注意不要选使原分式无意义的值． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为：，，， ； ∵，， ∴，， 当时，原式． 20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】(1)，当时，原式； (2)，． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键 （1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的值代入计算即可； （2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减法，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ，即 当时，原式； （2）解：原式= ， 原式 ． 21．（2024九年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中x是满足条件的合适的非负整数； (3)，其中； (4)，其中． 【答案】(1)，4； (2)，当时，原式； (3)，； (4)，1． 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式的整数解： （1）先计算分式乘除法，再计算分式减法化简，最后代值计算即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据分式有意义的条件结合x是小于等于2的非负整数确定x的值，并代值计算即可； （3）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可； （4）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 且， 且， ∵x是满足条件的合适的非负整数， ， ∴原式． （3）解： ． 当时，原式． （4）解： ． 当，原式． 22．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知 (1)化简W； (2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，． 【知识点】分式化简求值、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了分式的混合运算，三角形三边的关系，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简； （2）根据三角形三边的关系求出a的取值范围，然后去一个使原分式有意义的整数代入计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵a，2，3恰好是△ABC的三边长， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴a可以取得整数为2或4， 当时，； 当时，． 23．（24-25八年级上·北京通州·期中）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是；2；证明见解析 (2)； 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的减法计算： （1）计算出的结果即可得到结论； （2）根据定义可得，则，据此求出，进而求出，再根据P为整数进行求解即可． 【详解】（1）解：C是的“优式”，优值为2，证明如下： ， 是的“优式”，“优值”为2．， （2）解：由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的值也为整数， 或， ． 24．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【知识点】倒数、通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或或或 【知识点】分式值为零的条件、同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减法运算，正确利用“凑分母”的方法将分式变形是解题关键． （1）把变形为，再把前面的分式分母提取公因式并约分，即可得答案； （2）①把表示成整式与分式和的形式，根据为整式，得出变形后的分式为0，根据分式值为0，分子为0即可得答案； ②根据的值及①中变形结果得出，根据的结果也为整数得出是整数，根据为整数得出或，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵分式可以表示成的形式，且为整式， ∴． （2）解：① ， ∵可以表示成一个整式， ∴， ∴， 解得：． ②∵， ∴， ∵的结果为整数， ∴是整数， ∵为整数， ∴或 解得：或或或， ∴的值为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.3 分式的加法和减法 目录 【典型例题】 1 【考点一 同分母分式加减法】 1 【考点二 异分母分式加减法】 4 【考点三 整式与分式相加减】 8 【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 9 【考点五 分式加减混合运算】 12 【考点六 分式加减的实际应用】 14 【考点七 分式加减乘除混合运算】 15 【考点八 分式化简求值】 17 【考点九 分式混合运算错解复原问题】 18 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 同分母分式加减法】 例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简下列式子： (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 4.（24-25八年级上·广西来宾·期中）计算： (1)； (2)． 【考点二 异分母分式加减法】 例题：（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算． (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点三 整式与分式相加减】 例题：（22-23八年级下·全国·假期作业）计算：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2) 2．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 例题：（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【考点五 分式加减混合运算】 例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【考点六 分式加减的实际应用】 例题：（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时． 2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．（用含a、b、m的最简分式表示）． 【考点七 分式加减乘除混合运算】 例题：（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 【考点八 分式化简求值】 例题：（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】 1．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0， 中选取适合的数字求这个代数式的值． 2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 【考点九 分式混合运算错解复原问题】 例题：（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程： 解：原式① ② ③… (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____． ②任务二：请写出完整的解答过程． 【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号； 故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号； 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 (1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 第         步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请写出正确的化简结果： ． (2)先化简再求值：，已知． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①；②；③；④，其中解答正确的有（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 3．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）下列等式中，正确的有（   ） ①  ②  ③  ④  ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如果，那么代数式的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）对于正数x，规定，例如：，，，则的值为（　　） A．2023 B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·全国·期末）计算 的结果是 ． 8．（2023·四川成都·模拟预测）如果，那么代数式的值是 ． 9．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）若，则 ． 10．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知 则的值为 ． 11．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 12．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于任意两个非零实数，，定义新运算“*”如下：，例如：．则 （1） ． （2）若，则的值为 ． 三、解答题 13．（23-24八年级上·广东云浮·阶段练习）化简：． 14．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算： (1)； (2) 15．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 16．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）已知，求A，B的值 17．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 18．（24-25八年级上·河北沧州·期中）先化简再求值：，然后从0，1，2，3，4中选取一个合适的x值代入求值． 19．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值 20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 21．（2024九年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中x是满足条件的合适的非负整数； (3)，其中； (4)，其中． 22．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知 (1)化简W； (2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 23．（24-25八年级上·北京通州·期中）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 24．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 25．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$