2024-2025学年新人教版·七年级上学期数学5.1 方程5.1.2等式的性质

第五章 一元一次方程 5.1 方程 -- 5.1.2 等式的性质 学习目标、重难点 01 01 学习目标 1. 能用文字和数学符号表达等式的性质. 2. 掌握等式的性质，能运用等式的性质进行等式的变形、解简单的一元一次方程，体会化归思想. 学习重难点 学习重点：等式的性质和运用 学习难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=m”的形式 02 02 新知讲解 新知讲解 （1）3x－5＝298； （2）0.28－0.13y＝0.27y＋1． 你能看出下列方程的解吗？ 发现是比较困难的. 因此，本节课我们还要讨论怎样解方程. 像2x=3，x+1=3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解. 新知讲解 像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2， 3x＋1＝5y 这样的式子，都是等式. 用a＝b表示一般的等式. 　 关于等式的两个基本事实： （1）等式两边可以交换. 如果a=b，那么b=a. （2）相等关系可以传递. 如果a=b，b=c，那么a=c. 新知讲解 诸如m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子，都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式. 首先，给出关于等式的两个基本事实： 等式两边可以交换.如果a=b，那么b=a. 相等关系可以传递.如果a=b，b=c，那么a=c. 思考 在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为 0 的正数，结果仍相等. 100g 100g 引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试. 新知讲解 3×3＋1＝5×2； 3×3＋1+6___5×2+6； 3×3＋1-6 ___5×2 -6； 3×3＋1+(-1) ___5×2 +(-1) ； 3×3＋1-(-1) ___5×2 -(-1) ； 3×3＋1+0___5×2 +0. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 7×8＝20+36； 7×8+ ___ 20+36+ ； 7×8- ___ 20+36-； 7×8+(-) ___ 20+36+(-) ； 7×8-(-) ___ 20+36-(-) ； 7×8+0___ 20+36 +0. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 新知讲解 等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等. 如果a＝b，那么a±c＝b±c. 新知讲解 等式两边同时加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等. 例如：对于等式a=b，在等式两边都加上-5， 计算a+（-5）与b+（-5）的值. 当a=b=2时，a+（-5）=2+（-5）=-3；b+（-5）=2+（-5）=-3. 因此，当引入负数后，这条性质仍然成立. 可见，a+（-5）=b+（-5） 类似地，a-（-5）=b-（-5） 新知讲解 探究 3×3＋1＝5×2； (3×3＋1)×6___5×2×6； (3×3＋1)÷6 ___5×2÷6； (3×3＋1)×(-2) ___5×2×(-2) ； (3×3＋1)÷(-2) ___5×2÷(-2) ； (3×3＋1) ×0___5×2×0. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 7×8＝20+36； 7×8×___ (20+36) × ； 7×8÷ ___ (20+36)÷； 7×8×(-) ___ (20+36)×(-) ； 7×8÷(-) ___ (20+36)÷(-) ； 7×8×0___ (20+36) ×0. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 新知讲解 等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b (c≠0)，那么 在利用等式的性质2时，一定要注意除数不能为0 新知讲解 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 例如：对于等式a=b，在等式两边都乘以-5， 计算a×（-5）与b×（-5）的值， 当a=b=2时，a×（-5）=2×（-5）=-10；b×（-5）=2×（-5）=-10. 因此，当引入负数后，这条性质也成立. 可见，a×（-5）=b×（-5） 类似地，a÷（-5）=b÷（-5） 新知讲解 例1 根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果2x=5-x，那么2x+_____ =5； (2)如果m+2n=5+2n，那么m= _____； x 根据等式的性质1，等式两边加x，结果仍相等. 5 根据等式的性质1，等式两边减2n，结果仍相等. 新知讲解 例1 根据等式的性质填空，并说明依据： (3)如果x=-4，那么_____x=28; (4)如果3m=4n，那么m=_____n. -7 根据等式的性质2，等式两边乘-7，结果仍相等. 根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等. 2 新知讲解 跟踪训练 根据等式的性质填空： (1)如果x=y，那么x+1=y+_____ ； (2)如果x+2=y+2，那么_____ =y； (3)如果x=y，那么_____ x=5y； (4)如果3x=6y，那么x= _____ y. 1 x 5 2 新知讲解 根据等式的性质进行变形，下列变形错误的是（ ） A . 若 x-a = y-a，则 x = y B. 若 ac2 = bc2，则 a = b C. 若 2x = x + y，则 x = y D. 若 ，则 x = y B 知识点睛 （1）只有等式两边进行同一种运算时，等式才仍然成立. （2）当等式两边除以同一个式子时，若确定该式子不为 0，则变形正确，若不确定，则变形错误. 新知讲解 例2 利用等式的性质解下列方程： (1)x+7=26; (2)-5x=20; (3)x-5=4. 分析：要使方程x+7=26转化为x=a(常数)的形式，需要去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出x的值. 解：(1)方程两边减7，得 x+7-7=26-7. 于是 x=19. 新知讲解 解： (2)方程两边除以-5，得 = . 于是 x=-4. 例2 利用等式的性质解下列方程： (1)x+7=26; (2)-5x=20; (3)x-5=4. 新知讲解 解：(3)方程两边加5，得 -x-5+5=4+5. 化简，得 -x=9. 方程两边乘-3，得 x=-27. 解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据. 例2 利用等式的性质解下列方程： (1)x+7=26; (2)-5x=20; (3)x-5=4. 新知讲解 一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等. 例如，将x=-27代入方程x-5=4的左边，得×(-27)-5=4. 方程左、右两边的值相等，所以x=-27是方程x-5=4的解. 例2 利用等式的性质解下列方程： (1)x+7=26; (2)-5x=20; (3)x-5=4. 新知讲解 解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=m（常数）的形式，等式的性质是转化的重要依据. 新知讲解 利用等式的性质解一元一次方程的一般步骤： （1）利用等式的性质 1，先把一元一次方程逐步变形成等号一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式； （2）利用等式的性质 2，把一元一次方程转化为 x = m（常数）的形式. 新知讲解 利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤： 第一步：利用等式的性质1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式； 第二步：利用等式的性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，即将未知数的系数化为1，从而求出方程的解. 系数1通常省略不写！ 03 03 课堂练习 课堂练习 1. 下列说法错误的是（ ） A.若x=3，则3=x. B.若x=y，y=z，则x=z. C.若ab=1，则a= . D.若2+a=b-3，则4+2a=2b-3. D 2b-6 判断等式的变形是否正确的方法 当等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确；当等式两边除以同一个数（或式子)时，要先判断这个数（或式子)是否为0，若确定该数(或式子)不为0，则该变形正确，否则错误. 课堂练习 2. 若等式 ac=bc 成立，则下列等式不一定成立的是( ) A.ac +a =bc +a. B.abc =b2c. C.a=b. D.b-ac =b-bc. 两边同时加a, 得ac+a=bc+a. 两边同时乘b, 得abc= b2c. 当c≠0时，两边同时除以c,得a=b; 当c=0时，不能得到a=b. 两边同时乘-1，得-ac=-bc,两边同时加b,得b-ac=b-bc. C 课堂练习 3.利用等式的性质解方程：2x-1=3. 解：两边加1，得 2x-1+1=3+1. 化简，得 2x=4. 两边除以2 ，得 x=2. 利用等式的性质1. 利用等式的性质2 将未知数的系数化为1. 课堂练习 4. 利用等式的性质解方程并检验. 5- x=-5 解：两边减5，得5-x-5=-5-5. 化简，得-x = -10. 两边除以-，得x = 50. 检验：当x = 50时，左边=5-×50 = -5 =右边, 所以x＝50是原方程的解. 课堂练习 5．已知2x2－3＝5，你能求出x2＋3的值吗？说明过程． 解：由2x2－3＝5，得2x2－3＋3＝5＋3，x2＝4， 所以x2＋3＝7. 课堂练习 6.小明学习了《等式的性质》后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程4x－2＝3x－2，等式的两边同时加上2，得4x＝3x，然后等式的两边再同时除以x，得4＝3.” (1)请你想一想，小明的说法对吗？为什么？ (2)你能求出方程4x－2＝3x－2的解吗？ 解： (1)不对．因为在等式4x＝3x的两边同除以x，而x刚好为0； (2)方程的两边加2，得4x＝3x，然后在方程两边减3x，得x＝0. 04 04 课堂小结 课堂小结 知识点 等式的性质 1 1. 两个基本事实 (1)对称性：若a=b，则b=a； (2)传递性：若a=b，b=c，则a=c. 课堂练习 2. 等式的性质 等式的性质 文字表示 用字母表示 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等 如果a=b， 那么ac=bc；如果a=b，c ≠ 0，那么= •••• •• •••• •••••••• 课堂练习 特别提醒 运用等式的性质时注意“两同”: 1. 同一种运算: 等式的两边必须都进行同一种运算; 2. 同一个数(或式子):等式两边加或减的必须是同一个数(或式子),乘的必须是同一个数, 除以的必须是同一个不为0 的数. 感谢欣 赏 $$