第26章 专题二 二次函数与几何的综合问题（课件PPT）-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版）

缓翡 初中数学 指南针•课堂优化·九年级数学HS下册 第26章二次函数 专题二二次函数与几何的综合问题 类型一线段的最值问题 1.(2024·德阳)如图，抛物线y=x2一x十c与x轴交于点A(一1,0)和点B,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)当0<x≤2时，求y=x一x十c的函数值的取值范围： (3)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+号PM的 最小值 (3)连接1，过A作AHL1于1，交抛物线对称轴直线x=)于严，设直线x=2交x轴于N,如图： 在y=x2-x-2中，令y=0得0=x2一x-2, 解得x=一1或x=2, -B2.0.BN=2-}=是 “将抛物线的顶点（分，一号）向下平移子个单位长度得到点M。 M(2-3MN=3, ∴BM=VBN+MN=√) +32=3 2 '.sin∠B= BN 32 BM 355 2 器-得rH=得pMPA+rM=Pa+PH=A 由美线段最短可知，当P与P重合时，PA+写N最小，最小值为AH的长度， ,2Sw=AB·MN=BM·AH=9. 3,5 ·AH=9 .4H=6⑤ 5 PA+学N的最小值为 类型二面积的最（定）值问题 2.(2024·遂宁)二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(一1,0)，B(3,0),与y轴交于点 C(0,一3)，P、Q为抛物线上的两点 (1)求二次函数的表达式； (2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； (3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m十1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小 值，若不存在，请说明理由。 解：(1)由题意得：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3), 则一3a=一3，a=1 则抛物线的表达式为：y=x2一2x一3： (2)△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时， ·.抛物线的对称轴为直线x=1,且点P、C关于抛物线对称轴对称， 则点P(2,-3), 设Q(m,m2-2m-3), .'∠0P0=90°， '.OP+P0=O, ,.[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-m)2+(-3-m2+2m+3)2]=[m2+(m2-2m-3)2] 整理得：3m2-8m+4=0, 解得：m,=号m:=2舍去 m=号号-5)月 (3)存在，理由： 设点P(m,m2一2m一3)，则点Q(m+1,(m+1)2一2(m+1)一3)，设直线PQ交x轴于 点H, 由点P、Q的坐标得直线PQ的表达式为：y=(2m一1)x+(一m2一m一3)， 令y=0. 则x=m2+2m+3 2m-1 则OH= m2+2m+3 2m-1 则5=5m-5w=2×01×(e-）=号×m法20+3+[(m+1P-2m+1)-3-m2+2m+3] 2m-1 =m+m+3》=(m+》+日>日 即S存在最小值为日 类型三特殊三角形的存在问题 3.(2024达州)如图1，抛物线y=a.x2+bx一3与x轴交于点A(一3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,点D是 抛物线的顶点： (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点，且 S△A=2S△DmC,求点P的坐标； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角 形，若存在，请直接写出满足条件的点V的坐标；若不存在，请说明理由. B x /BX 图1 图2 解：(1)由题意得C(0,-3).y=a(x+3)(x-1) 解得：a=1 则抛物线的表达式为：y=x2+2x一3： (2)由抛物线的表达式知，点C(0,一3)、D(一1，一4)，抛物线的对称轴为直线x=一1， 过点D作直线DG∥AC交y轴于点G,在点C上方取点L使CL=2CG,过点L.作直线BP∥AC交抛物线于 点P,则点P为所求点， 由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y=一x一3， ,DG∥AC, 则直线DG的表达式为：y=一(x+1)一4， 则点G(0,-5),则CG=5-3=2,则CL=4, 则点L(0,1) 则直线LP的表达式为：y=一x+1 联立上式和抛物线的表达式得：2+2x一3=一x+1, 解得：x=1或一4， 即点P(1,0)或（一4,5）： (3)存在，理由： 设点N(-1,m), 由点A、C、N的坐标得，AC2=18,AN2=4+m2,CN2=1+(m+3)2 ①当AC=AN时，则18=4+m2,解得：m=±14，则点N(一1，±√/14)： ②当AC=CN时，则18=1+(m+3)2. 解得：m1=一3+17，m2=一3一17（舍去） 则点（一1，一3+√17）， ③当AN=CN时，4+m2=1+(m+3)2 解得：m=一1， 则点N(-1,-1). 综上，N(-1,14)或N(-1,-/14)或N(-1,-1)或N(-1,-3+17).