重庆市育才中学校2024-2025学年高二上学期11月联考数学试卷

学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年重庆市育才中学校高二上数学 11月联考 数学 (本试卷共 150 分, 考试时间 120 分钟。) 注意事项: 1.答卷前,请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号: 2.选择题必须使用 2 B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答,超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、损毁；考试结束后,将答题卡交回。 第 I卷 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.直线 �: 3� − � + 1 = 0的倾斜角大小为 A. 5� 6 B. 2� 3 C. � 3 D. � 6 2.在空间直角坐标系 ����中,点 � 3,4,5 在坐标平面 ���内的射影点的坐标是 A.(-3,0, - 5) B.(3,0,5) C.(3,0,0) D.(0,0,5) 3.抛物线 � = 4�2 的焦点坐标是 A.(1,0) B.(0,1) C. 1 16 , 0 D. 0, 1 16 4.已知圆 �1: � + 1 2 + � − 2 2 = 16 ,圆 �2: � − 2 2 + � + 2 2 = 81 ,则圆 �1 与圆 �2 的位置关 系为 A.外离 B.外切 C．相交 D.内切 5.在四面体 ����中,棱 ��, ��, ��长度相等且两两互相垂直,棱 ��中点为 � ,则异面直线 ��与 ��所成角的大小为 A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘ 6.已知 �1, �2 为双曲线 �2 − �2 3 = 1的两个焦点, �为双曲线上一点, 3 ��1 = 5 ��2 ,则△��1�2 的面积为 A. 8 B. 6 C. 3 2 B. 3 2 2 学科网（北京）股份有限公司 7.在平面直角坐标系 ���中,点 � −2,0 , � 2,0 ,动点�满足 �� = 2 �� ,则△���面积的最 大值为 A. 16 3 B. 6 C. 20 3 D. 32 3 8.若椭圆 �: � 2 �2 + � 2 �2 = 1 � > � > 0 上存在四个点到 � � 3 , 0 的距离相等,则 �的离心率 �的取值范 围为 A. 3 3 , 1 B. 1 3 , 3 3 C. 1 3 , 1 D. 0, 1 3 二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6分,部分选对得部分分,有选错的得 0分. 0 .已知直线 �1: � + �� − 1 = 0 � ∈ � 和直线 �2: 2� − � − 1 = 0 ,则下列选项正确的是 A.直线 �1 过定点(1,0) B.直线 �2 的一个方向向量是(2,1) C.若 �1//�2 ,则 � =− 1 2 D.若 �1 ⊥ �2 ,则 � = 2 10.在直三棱柱 ��� − �1�1�1 中, ∠��� = 90∘, �� = �� = ��1 = 2 .点�为线段 ��中点,点 �为 棱 ��1 上的动点.则下列选项正确的是 A. ��1//平面 �1�� B.四棱锥 � − ���1�1 的体积为 16 3 C. �� + �1�的最小值为 2 5 D.直线 ��与平面 �1��所成角的正弦值为 6 3 11.直线 �: � − �� − 2 = 0 � ∈ � 与 �轴的交点 �为抛物线 �: �2 = 2�� � > 0 的焦点,若点 �为 坐标原点, �与 �交于 �、 �两点.则 A. � = 8 B. �� ⋅ �� =− 12 C.△���重心横坐标的最小值为 4 3 D.以线段 ��为直径的圆被 �轴截得的弦长为定值 学科网（北京）股份有限公司 第 II 卷 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12.写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线方程为_____ ①中心在原点,焦点在 �轴上;②两条渐近线互相垂直;③焦距大于 2 . 13.已知 � 1,0,0 , � 0,2,0 , � 0,0,3 , � �, 4,3 四点共面,则 � = _____. 14.已知两点� − 3, 0 , � 3, 0 ,动点 �满足 ∠��� = 60∘ ,直线 � − �� = 0与动点 �的轨迹交 于 �、 �两点.当� = 1时, �� = _____；当� ∈ �时,�� ⋅ �� 的最小值为_____. 四、解答题:本题共 5小题,共 77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (13分) 已知抛物线 �: �2 = 2�� � > 0 的焦点为 � ,位于第一象限的点 � 1, �0 在抛物线 �上,且 �� = 2 . (1)求焦点 �的坐标； (2)若过点 �的直线 �与 �只有一个交点,求 �的方程. 16. (15分) 已知点(4,5)在圆 �: �2 + �2 − 4� − 2� +� = 0 � ∈ � 上,点 � 2, � 关于直线 � − � + 1 = 0的对 称点 �在圆 �内. ( 1 )求圆 �的圆心坐标和半径； (2)求实数 �的取值范围. 17. (15分) 如图,在四棱锥 � − ����中, �� = �� = �� = �� = 4. △ ���为正三角形, �� = 2 3, �� = �� = 2 . (1)求证: �� ⊥ ��；(2)求平面 ���与平面 ���所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 18. (17分) 在平面直角坐标系 ���中,动点� �, � 的轨迹 �满足: � + 2 2 + �2 − � − 2 2 + �2 = 2 3 ⋅ �1 ⋅ �2 为过点 � 2,0 的两条互相垂直的直线, �1 与 �交于 �, �两点(点 �在第一象限), �2 与 �交于 �, �两点(点 �在第一象限).记点 �, �分别为线段 ��, ��的中点,点 �为直线 ��与 ��的交点. (1)求动点�的轨迹方程 �； (2)设 �1: � = �� + 2 . (i)求实数�的取值范围； (ii)从下列三个问题中选择一个问题作答 (作答时在答题卡上注明所选问题番号,若选择多个问题 作答,则以第一个作答计分). ①求 1 �� + 1 �� ; ②记直线 ��与直线 ��的斜率分别为 �1, �2 ,求 �1 ⋅ �2 ; ③记△���与四边形 ����的面积分别为 �1, �2 ,求 �1 �2 . 19. (17分) 已知曲线 �: �2 − ��' + �2 = 3 . ( 1 )点 � �, �' 在曲线 �上,求点 �的横坐标 �的取值范围； (2) �为坐标原点,直线 �与曲线 �交于�、 �两点. (i)若 �: � = � � ≠ 0 ,求△���面积的最大值； (ii)若 �� ⋅ �� = 0 ,求证: �与圆心为 �的定圆相切. 数学答案 第 1 页 共 6 页 高 2026 届高二（上）十一月联合诊断性考试 数学试题参考答案及评分建议 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1—4：CBDD 5—8：CBAA 【详细解答】 1．直线斜率 3 ，倾斜角 3 π ，故选C． 2．由右图，射影坐标为 (3,0,5) ，故选B． 3．将方程化为标准方程 2 1 4 x y= ，其焦点在 y 轴正半轴上，焦点为 1(0, ) 16 ，故选D． 4．圆心 1( 1,2)C − ，半径 r1＝4；圆心 2 (2, 2)C − ，半径 r2＝9， 1 2 2 1| | 5C C r r= = − ，所以圆 1C 与圆 2C 内 切．故选 D． 5．作 DC 中点 F ， AEEF //所以 ，则 AEF∠ 为异面直线 AE 与 BC 所成角或其补角． 设 aAB 2= ，则 aEFAFAE 2=== ， o60=∠AEF ．故选 C． 6．设 1 5PF m= ， 2 3PF m= ，由定义可得 1 2 2PF PF− = ，所以 1m = ．故 1 5PF = ， 2 3PF = ， 1 2 4F F = ，因此 1 2PF F∆ 为直角三角形，故面积为 1 2 2 1 6 2 F F PF = ，故选 B． 7．设点 ),( yxM ，则 2222 )2(2)2( yxyx +−=++ ，整理得 9 64 3 10 22 =+− yx ）（ ． 所以 3 16 3 84 2 1|| 2 1 =⋅⋅≤⋅⋅=∆ MABM yABS ，故选 A． 8．设椭圆上的点 0 0( , )M x y ，则 2 2 2 2 2 2 0 0 0 02 2( ) 3 3 9 a c aPM x y x ax b a = − + = − + + ． 由题意可知只需 2 2 2 2 0 02 2 3 9 c ax ax b a − + + 的对称轴 3 23 a a c < ，即可得到 2 1 3 e > ，故 3( ,1) 3 e∈ ，故选 A． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 9．ACD 10．ACD 11．BC 【详细解答】 9．A选项正确；B选项：直线 2l 斜率为2，它的一个方向向量是 (1,2)，故B错误； C选项： 1 2 a − = ，即 1 2 a = − ，故C正确； D选项： 1 2 1 a − ⋅ = − ，即 2a = ，故D正确． 故选ACD． 10．A选项：连接 1AC 与 CA1 交于点 P ，四边形 11AACC 为正方形，所以点 P 为 CA1 中点，所以 PMBC //1 ．因为 CMAPM 1平面⊂ ， CMABC 1平面⊄ ，所以 CMABC 11 //平面 ．故A正确； 数学答案 第 2 页 共 6 页 B选项： 3 8 1-1- 11 == BBCCABBCCQ VV ．故B错误； C 选项：如图，将平面 11AABB 沿 1AA 翻折到平面 11AACC ． 52≥ 11 =+ BCQCBQ ，当 1CQB 、、 三点共线时取最小值 2 5 ．故C正确． D选项：作 CMAAH 1�平面 ，垂足为 H ， AMH� 为所求角． 因为 ACMACMAA VV −=− 11 ，所以 ACMCMA SAASAH ∆∆ ⋅⋅=⋅⋅ 13 1 3 1 1 ． 16 ΔΔ 1 == ACMCMA SS ， ，所以 3 6 =AH ， 3 6 sin� == AM AH AMH ．故 D 正确．故选 ACD． 11．A选项： 直线 l 与 x 轴的交点为 F（2，0），故 2 p ＝2，p＝4，故 A 错误； B选项： 由 2 2, 8 = +  = x my y x 得 2 8 16 0− − =y my ，故 1 2y y ＝－16， 1 2x x ＝ 2 2 1 2 8 8 ⋅ y y ＝4， ⋅OA OB   ＝ 1 2x x ＋ 1 2y y ＝－12，故 B 正确； C选项： 由 x1x2＝4，△OAB 重心横坐标为 x1＋x2 3 ≥ 2 x1x2 3 ＝ 4 3时，当且仅当 x1＝x2＝2 时等号成立，故 C 正确； D选项： 以线段 AB 为直径的圆方程为 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0− − + − − =x x x x y y y y ，令 x＝0，有 2 1 2 1 2 1 2( ) 0− + + + =y y y y x x y y ，即 2 8 12 0− − =y my ，记其两根为 3y 、 4y ，则弦长为 3 4| |−y y ＝ 24 4 3+m ， 与 m 取值有关，故 D 错误．故选BC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12． 2 2 1 2 2 y x − = （答案不唯一）； 13．－2； 14． 14 2+ ； 6− ． 【详细解答】 12．由①知双曲线为标准方程 2 2 2 2 1 y x a b − = ，由②知 a＝b，由③，2c＞2，因 c＝ 2a，需 a＝b＞ 2 2 即 可，可取 2 2 1 2 2 y x − = ，符合此条件的双曲线均为正确答案． 13． ( 1,4,3)AP x= −  ， ( 1,2,0)AB = −  ， ( 1,0,3)AC = −  ，由 A、B、C、P 共面，设 AP AB ACλ µ= +    ． 则 1 , 4 2 , 3 3 . x λ µ λ µ − = − −  =  = 即 2, 2, 1. x λ µ = −  =  = 故 x＝－2． 14． 动点 P 的轨迹为以 C1(0，1)，C2(0，－1)为圆心的两段优弧 (如图，除去 M，N 两点 )，当 m＝1 时，分别过 C1、C2作 AB 垂线，垂足为 H1、H2，则 C1H1＝ C2H2＝ 2 2 ，H1H2＝ 2 ，AH1＝BH2＝ 14 2 ．故 | |AB ＝ 14 2+ ； 由对称性，MA  ‧MB  ＝ ( )+MO OA   ‧( )+MO OB   ＝ 2 MO  ＋ MO  ‧( )+OA OB   数学答案 第 3 页 共 6 页 ＋ ⋅OA OB   ＝ 2 MO  － 2 OA  ＝3－ 2 OA  ．当 m R∈ 时， max| |OA  ＝3，则（MA  ‧MB  ）min＝3－32＝－6． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15．（13 分） 解：（1）点 ( )0A y1, 在抛物线C 上，由抛物线定义可得 1 22 pAF = + = ． ·················· （2 分） 解得 2p = ，故抛物线C 的焦点坐标为 ( )F 1,0 ． ·················································· （5 分） （2）由（1）可知抛物线C 的标准方程为 2 4y x= ，将 ( )0A y1, 代入方程可得 ( )A 1,2 ． 当过点 A的直线 l 的斜率为 0时符合题意，此时直线 l 的方程为： 2y = ． ·················· （7 分） 当直线 l 斜率不为 0时，设 l 的方程为 ( 2) 1x m y= − + ． 与 2 4y x= 联立可得： 2 4 8 4 0y my m− + − = ， 216 32 16m m∆ = − + ． ························· （9 分） 令 216 32 16 0m m− + = ，可得 1m = ，此时直线 l 的方程为： 1 0x y− + = ． ·················· （12 分） 综上：直线 l 的方程为 2y = 或 1 0x y− + = ． ······················································· （13 分） 16．（15 分） 解：（1）由题， 2 24 5 16 10 0m+ − − + = ，所以 15m = − ． ········································ （2 分） 圆C ： 2 2 4 2 15 0x y x y+ − − − = ． 化为标准方程 2 2( 2) ( 1) 20x y− + − = ． ································································· （5 分） 所以圆心C 的坐标 (2,1)，半径 2 5r = ．···························································· （7 分） （2）设圆心 (2,1)C 关于 1 0x y− + = 的对称点为 0 0( , )C x y′ ，则 0 0 0 0 2 1 1 0, 2 2 1 1. 2 x y y x + + − + =  − = −  − 解得 0 0 0, 3. x y =  = ····································································· （11分） 则 (0,3)C′ ，所以圆C关于直线的对称圆为 2 2( 3) 20x y+ − = ． 故 (2, )a 在圆C′内，有 2 2( 3) (3 1) 20a − + − < ，得 ( 1,7)a∈ − ． ·································· （15分） 另解：设点 (2, )P a 关于 1 0x y− + = 的对称点为 0 0( , )Q x y ，则 0 0 0 0 2 1 0, 2 2 1. 2 x y a y a x + + − + =  − = −  − 解得 0 0 1, 3. x a y = −  = 则 ( 1,3)Q a − ． 故 2 2( 3) (3 1) 20a − + − < ，解得 ( 1,7)a∈ − ． ························································· （15分） 17．（15 分） （1）证明：取 AC 中点O．连接 DOPO, ． 因为 PCPA = ， DCDA = ，所以 ACDOACPO ⊥⊥ , . ·········································· （2 分） 又因为 ODOPO = ，所以 PODAC 平面⊥ . ···················································· （4 分） 因为 PODPD 平面⊂ ，所以 PDAC ⊥ . ···························································· （5 分） 数学答案 第 4 页 共 6 页 （2）解：过点 P 作平面 ACD 垂线，垂足为M . 连接 BO，因为 BCAB = ，所以 ACBO ⊥ . 由（1） ACDO ⊥ ，所以 DOB 、、 三点共线. 如图，以O为原点， OCOB、 为 yx、 轴，以过 点O 且垂直与平面 ABCD 的方向为 z 轴，建立空间直角坐标系. 则 (0, 3, 0) (1, 0, 0) (0, 3, 0) ( 3, 0, 0)A B C D− −、 、 、 . ··········· （8 分） 因为三棱锥 ACDP − 为正三棱锥，所以 ODM为点 的三等分点， 32,2 22 =−== MDPDPMDM ，所以 )32,0,1(−P ． ······································· （9 分） 设平面 ABP 的法向量 1 1 1( , , )n x y z=  ， )32,3,1(),0,3,1( −== APAB ． 由     =⋅ =⋅ 0 0 APn ABn ，得 1 1 1 1 1 3 0, 3 2 3 0. x y x y z  + =  − + + = 令 1 1 13, 1, 1x y z= = − =得 ， )1,1,3( −=n ． ························································ （11 分） 设平面CDP 的法向量 2 2 2( , , )m x y z=  ， )32,0,2(),0,3,3( −−=−−= PDCD ． 由     =⋅ =⋅ 0 0 PDm CDm ,得 2 2 2 2 3 3 0, 2 2 3 0. x y x z  − − =  − − = 令 2 2 23, 3, 1x y z= = − = −得 ， )1,3,3( −−=n ． ····················································· （13 分） 所以 13 65,cos >=< mn . ················································································ （14 分） 记平面 PAB 与平面 PCD所成角为θ ， ] 2 ,0[ πθ ∈ . 所以 13 65cos =θ . 即平面 PAB 与平面 PCD所成角余弦值为 65 13 ． ·························· （15 分） 18．（17 分） 解：（1）由 2 2 2 2( 2) ( 2) 2 3 4x y x y+ + − − + = < ， 可得动点M 的轨迹是以 ( 2,0)− ， (2,0)为焦点， 2 2 3a = 为长轴的双曲线的右支． ······· （3 分） 易得 3a = ， 2c = ， 1b = ，所以点M 的轨迹方程Γ为 2 2 1 3 x y− = ( 3)x ≥ ． ············· （6 分） （2）设 ( )1 1,A x y ， ( )2 2,B x y ， 由题意可得直线 1l 和 2l 斜率都存在且不为 0， 将直线 1l ： 2x my= + （ 0m ≠ ），与 2 2 1 3 x y− = 联立消去 x， 整理得 2 2( 3) 4 1 0m y my− + + = ． ······································································· （8 分） 数学答案 第 5 页 共 6 页 （ⅰ）由题意 2 2 1 2 2 16 4( 3) 0, 1 0. 3 m m y y m ∆ = − − >   = < − 解得 ( 3,0) (0, 3)m∈ −  . ···························· （10 分） 由 l2与曲线Γ也有两个交点，则 1 ( 3,0) (0, 3) m − ∈ −  ，得 3 3( ) ( ) 3 3 m∈ −∞ + ∞，− ， ． 取交集，则有 3 3( 3, ) ( , 3) 3 3 m∈ − −  ． ························································· （12 分） （ⅱ）由（ⅰ） 1 2 2 4 3 my y m − + = − ， 1 2 2 1 3 y y m = − ． 若选①: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | (1 )( ) (1 )[( ) 4 ]AB m y y m y y y y= + − = + + − 2 2 2 3(1 ) | 3 | m m + = − ． 用 1 m − 替换m ， 2 2 2 3(1 )| | |1 3 | mCD m + = − ． ································································ （15 分） 2 2 2 2 1 1 | 3 | |1 3 | | | | | 2 3(1 ) 2 3(1 ) m m AB CD m m − − + = + + + 2 2 2 (3 ) (3 1) 2 3(1 ) m m m − + − = + 3 3 = ． ······················· （17 分） 若选②: 由（ⅰ） 1 2 2 4 3 my y m − + = − ， 1 2 2 1 3 y y m = − ． 1 2 1 2 2 12( ) 4 3 x x m y y m − + = + + = − ． ∴ 2 2 6 2( , ) 3 3 mG m m − − − − ． 同理，用 1 m − 替换m ，可得 2 2 2 6 2( , ) 1 3 1 3 m mH m m − − − ． ················································· （15 分） 则 1 2k k⋅ 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 6 6 3 1 3 m m m m m m m − − −= ⋅ − − − − 1( ) 3 3 m m = ⋅ − ＝－ 1 9 ． ·········· （17 分） 若选③: 连接 BC 并取线段 BC 中点 E，由 E，G 分别为 BC，BA 中点， 知 EG∥AC，则 S△PEC＝S△PGC，同理 S△PEB＝S△PHB． 所以 S1＝S△PGH＝S 五边形 PCGHB－S△PGC－S△PHB ＝S 五边形 PCGHB－S△PEC－S△PEB＝S 四边形 BCGH＝S2． 故 1 2 1S S = ． ··································································································· （17 分） 19．（17 分） 解：（1）由题，得 (y－ x 2) 2 ＋ 3 4x 2 ＝3，则 3 − 3 4x 2 ≥0，解得 x∈[－2，2]． ···················· （4 分） 另解：由 C：y2－xy＋x2－3＝0，Δ＝x2－4(x2－3)≥0，解得 x∈[－2，2]． （2）设A(x1，y1)， B(x2，y2)． （ⅰ）由   x＝m， x2－xy＋y2＝3．得 y 2 －my＋m2－3＝0．所以 y1＋y2＝m，y1y2＝m 2 －3． 数学答案 第 6 页 共 6 页 由 Δ＞0，有 m∈(－2，2)． ············································································ （7 分） 则 (y1－y2) 2 ＝(y1＋y2) 2 －4y1y2＝3(4－m 2 )． 所以 S＝ 1 2|m|‧|y1－y2|＝ 3 2 |m| 4－m 2 ＝ 3 2 m 2 (4－m2)≤ 2 3 × m2＋(4－m2) 2 ＝ 3． 当且仅当 m＝± 2时等号成立．故△OMN 面积的最大值为 3． ···························· （10 分） （ⅱ）当直线 l 斜率为 k 时，设 l：y＝kx＋n． 由   y＝kx＋n， x2－xy＋y2＝3．得 (k 2 －k＋1)x2＋(2k－1)nx＋n2－3＝0． 所以 x1＋x2＝ (1－2k)n k2－k＋1，x1x2＝ n2－3 k2－k＋1．由 Δ＞0，有 n 2 ＜4(k2－k＋1)． ··················· （12 分） 由 ⋅OM ON   ＝0，有 x1x2＋y1y2＝0，即 (k 2 ＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n 2 ＝0． 即 (k2＋1) n2－3 k2－k＋1＋kn 2 ‧ 1－2k k2－k＋1＋n 2 ＝0．即 n2＝ 3 2(k 2 ＋1)，满足 Δ＞0 成立． ·········· （14 分） 且 O 到 l 的距离 d 满足：d2＝ n2 k2＋1，则 d 2 ＝ 3 2为定值． 当直线 l 斜率不存在时，由（ⅰ），x1x2＋y1y2＝m 2 ＋(m2－3)＝2m2－3＝0，得 d2＝m2＝ 3 2． 故 O 到 l 的距离始终为 6 2 ，即 l 始终与定圆 x 2 ＋y2＝ 3 2相切． ································· （17 分）