课时5.4-2 抛体运动规律的综合应用-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（人教版2019必修第二册）

第五章 抛体运动 课时5.4-2 抛体运动规律的综合应用 2020年课程标准 物理素养 2.2.2 通过实验，探究并认识平抛运动的规律。会用运动合成与分解的方法分析平抛运动。体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。能分析生产生活中的抛体运动。 物理观念：掌握平抛运动在有约束条件下的运动规律；理解两个抛体关联运动问题的物理本质；认识平抛运动中临界问题的特点及其解决方法；拓展对类平抛运动的理解和应用。 科学思维：培养在复杂条件下分析问题的能力，能够将实际问题抽象为物理模型；发展批判性思维，能够识别和解决平抛运动中的关联问题和临界问题；提高运用数学工具解决物理问题的能力。 科学探究：通过实验和模拟，探究平抛运动在不同条件下的表现；能够合作探究，交流分享解决两个抛体关联运动问题的过程和结果。 科学态度与责任：培养面对复杂问题时坚持不懈、勇于探索的科学态度；认识到物理知识在实际应用中的重要性，增强对科学的社会责任感和使命感。 知识点一、有约束条件下的平抛运动 1.斜面约束 （1）常见类型 ①从斜面上某一位置抛出，落到斜面上； ②从斜面外某一位置抛出，落在斜面上。 （2）解决方法 ①从斜面上某一位置抛出，落到斜面上 x＝v0t,,得 ②从斜面外某一位置抛出，落在斜面上。 a.垂直落在斜面上 vx＝v0 ,vy＝gt,由得。 b.斜碰到斜面，速度与斜面成β角 vx＝v0 ,vy＝gt,由得；合速度，即。 c.以最小位移到达斜面 ，由得 2.竖直面约束 （1）碰壁情况：当物体在靠近竖直墙面的空间做平抛运动时，若与墙面发生碰撞，水平方向速度大小不变（假设为弹性碰撞），方向相反，竖直方向速度不受影响。例如，分析小球在两面平行的竖直墙壁之间做平抛运动，需要考虑小球在两墙壁之间来回碰撞的次数、每次碰撞后的水平位移和运动时间等。 （2）窗口通过情况：若平抛运动要通过一个竖直的窗口，关键是要保证物体在水平位移达到窗口水平位置时，其竖直位移处于窗口的上下边界之间。根据平抛运动水平位移公式x＝v0t和竖直位移公式y＝gt2，结合窗口的高度和以及水平位置，可以确定满足通过窗口条件的初速度范围等物理量。 3.圆（球）面约束 （1）圆周上平抛：当物体在圆周（如半圆形容器边缘）上某点做平抛运动时，要考虑物体在运动过程中与圆（球）的几何关系。例如，物体从半圆轨道边缘平抛，其运动轨迹与圆（球）可能会相切或者相交。在相切的临界情况下，通过圆心与切点的连线垂直于物体在该点的速度方向，结合平抛运动的速度规律可以求出临界初速度等参数。 （2）球内平抛：若物体在球形空间内做平抛运动，需要考虑球的半径对物体运动轨迹的限制。比如，物体不能超出球的内部空间，这就要求在计算物体的位移和速度时，要保证其轨迹始终在球内，可能会涉及到利用勾股定理来判断物体位置与球心的距离是否小于球的半径等条件。 知识点二、两个抛体的关联运动问题 1.同时运动 （1）平抛-平抛关联：两个物体同时平抛，若从同一高度抛出，它们的运动时间相同，根据水平位移公式x＝v0t，水平初速度决定了它们水平位移的差异。若高度不同，分别根据求出运动时间，再比较水平位移。在研究它们是否相遇的问题时，可通过建立水平和竖直方向的位移方程，找到使两个物体位置相同的时间点。 （2）平抛-斜抛关联：一个平抛和一个斜抛同时开始运动，对于平抛物体（初速度v1），水平位移x1＝v1t，竖直位移；对于斜抛物体（初速度v2，抛射角θ），水平位移x2＝v2tcosθ，竖直位移。联立这些方程，找到满足x1＝x2且y1＝y2的时间，判断是否相遇及相遇位置。 2.先后运动 一个物体先做抛体运动，另一个物体后运动。重点是确定时间差△t，对于后运动的物体，其运动时间t2，先运动的物体运动时间t1＝t2＋△t。分别根据抛体运动规律计算位移和速度，分析相遇情况，如通过求解x1（t1）＝x2（t2）和（和y1（t1）＝y2（t2）,（x1，y1和x2，y2分别为两个物体的位移）来确定相遇时间和位置。 知识点三、平抛运动的临界与极值问题 1.几何临界 （1）边界跨越临界：例如，物体平抛刚好越过一个障碍物（如一个有高度h和水平距离d的平台），根据x＝v0t和，当x＝d且y＝h时，可求出临界初速度。 （2）轨迹相切临界：如物体平抛的轨迹与一个圆或其他几何形状相切，在相切点处，物体的位移、速度与几何形状的切线等满足特定的几何关系。利用这些几何关系结合平抛运动规律来求解临界条件，比如求出相切时的初速度、运动时间等物理量。 2.速度临界 （1）方向临界：当要求平抛物体的速度方向与某一方向成特定角度α时，根据，结合已知条件求解。例如，当速度方向刚好与斜面平行时，α等于斜面倾角θ，可求出此时的运动时间。 （2）大小临界：如果对平抛物体的速度大小有要求，如要求物体在某一位置的速度不超过某一值vmax。根据合速度公式，结合其他条件（如位移等）来确定满足速度大小要求的范围，如通过求解不等式得到运动时间或初速度的取值范围。 知识点四、类平抛运动 1.概念和特点 物体所受合外力方向与初速度方向垂直，其运动轨迹类似平抛运动。例如，物体在光滑斜面上垂直于斜面方向以某一速度运动，物体受到的重力和支持力的合力与初速度方向垂直。 2.运动规律分析 （1）水平方向：水平方向不受力或合外力在水平方向的分量为零，做匀速直线运动。水平位移x＝v0t，水平速度vx＝v0。 （2）竖直方向：竖直方向受恒力作用，加速度（m为物体质量）。竖直位移，竖直速度vy＝at。 （3）合运动规律：合速度大小，方向与水平方向夹角θ满足；;合位移大小，方向与水平方向夹角α满足。 问题一：有约束条件下的平抛运动 【角度1】斜面约束 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）（多选）北京冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行，跳台滑雪主要分为四个阶段：助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和着陆阶段。某大跳台的着陆坡是倾角θ=37°的斜面。比赛中某质量m=80kg（包括器械装备）的运动员脚踏滑雪板沿着跳台助滑道下滑，在起跳点 O点以v0=20m/s的水平速度腾空飞出，身体在空中沿抛物线飞行落至着陆坡上的 M点后，沿坡面滑下并滑行到停止区，最终完成比赛，如图所示。已知B 点（图中未画出）是该运动员在空中飞行时离着陆坡面最远的点，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以起跳点 O点所在的平面为0势能面，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在B点时的速度变化率大小为10m/s2 B．B点距离着陆坡面的距离为9 m C．O、M间的距离为125m D．运动员从O 点到B 点的位移大小等于从B点到M点的位移大小 【答案】AB 【解析】A．由题意可知，运动员在B点的速度变化率为 故A正确； B．将运动员的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向有 运动员从O点到B点的时间 B点到着陆坡的距离 故B正确； C．运动员从O点到M点的飞行时间 O、M间的水平距离 O、M间的距离 故C错误， D．从O点到B点和从B点到M点的时间相同，水平位移相同，竖直位移不相同，合位移不相同，故D错误。 故选AB。 【变式1-1】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球在B点的速度大小为 B．小球从A点运动到B点的时间为 C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 D．小球从B点运动到C点的时间为 【答案】C 【解析】A．小球在B点的速度大小为 故A错误； B．小球在A点时竖直方向上速度大小为 则小球从A点运动到B点的时间为 故B错误； C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 故C正确； D．小球从B点运动到C点的时间为 故D错误。 故选C。 【变式1-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）2022年北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，其主体建筑设计灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、乙两名运动员（均视为质点）从出发区先后沿水平方向向左腾空飞出，其速度大小之比为，不计空气阻力，则甲、乙两名运动员从飞出至落到着陆坡（可视为斜面）上的过程中（    ） A．水平位移之比为 B．落到坡面上的瞬时速度方向不相同 C．落到坡面上的瞬时速度大小相等 D．在空中飞行的时间之比为 【答案】A 【解析】AD．设斜面倾角为，则 得 由题意，运动时间之比为 由 水平位移之比为 A正确，D错误； B．根据平抛运动推论，速度偏转角正切值是位移偏转角正切值的2倍，由于位移偏转角均为，则落到坡面上的瞬时速度方向相同，B错误； C．落到斜坡的速度为 可知，落到斜坡的速度之比为2:1，C错误。 故选A。 【角度2】竖直面约束 【典例2】（2024·安徽·模拟预测）如图所示，某同学将一可视为质点的小球从P点对着竖直墙壁以一定的水平初速度抛出，球与墙壁在A点发生碰撞后反弹，落在水平地面上的B点，B点刚好在P点正下方。已知A点离水平地面的高度为d，B点到竖直墙壁的距离也为d，球与墙壁碰撞前后竖直分速度不变，水平分速度大小相等、方向相反，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球被抛出时的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，水平方向速度大小不变，小球从P到A运动的时间和从A到B运动的时间相等，竖直方向小球做自由落体运动，根据初速度为零的匀变速直线运动的比例规律可知，P点距A点的竖直高度为，则小球从P到A的时间为 则小球抛出时的初速度大小为 故选A。 【变式2-1】（2024·浙江·三模）如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点，，击中A点的网球水平射出时的速度为，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　） A．击中B点的网球水平射出时的速度为 B．击中B点的网球水平射出时的速度为 C．要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退 D．要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿OP方向前进 【答案】D 【解析】AB．网球在竖直方向上做自由落体运动 因，所以 又 得击中点的网球水平射出时的速度为 AB错误； C．要使原来击中A点的网球能击中B点，运动时间变长为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应向后退，C错误； D．要使原来击中B点的网球能击中A点，运动时间变短为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应向前进，故D正确。 故选D。 【变式2-2】（2024·陕西·二模）在2023年世界飞镖锦标赛总决赛中，范格文以战胜威廉姆斯获得总冠军。若先后两次飞镖的抛出点在同一竖直线上的A、B两点，将飞镖沿水平方向抛出后，飞镖均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图乙中曲线1、2所示，飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角分别为、。已知AB、BO的竖直高度相同，飞镖可视为质点，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．先后两次飞镖在空中的运动时间之比为 B．先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为 C． D． 【答案】B 【解析】A．由题意，假设2下落的高度为h，则1下落的高度为2h，竖直方向做自由落体运动，则由公式 得 则 所以1，2在空中运动的时间之比为 A错误； B．假设两飞镖的初速度分别为、，两飞镖的水平位移相同，设为x，则有 解得 B正确； CD．两飞镖落在O点的竖直速度分别为 又 由以上整理得 CD错误。 故选B。 【角度3】球（圆）面约束 【典例3】（2024·河北·二模）如图所示，将物体（可视为质点）从半球形凹槽边缘上的P点沿不同方向水平抛出，物体均经过相同时间t落在凹槽内壁上。已知O为槽口圆心，物体初速度方向与PO连线的最大夹角为θ，凹槽半径为R，忽略空气阻力，则t等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为从P点沿不同方向水平抛出的物体均经过相同时间t落在凹槽内壁上，可知所有物体下落的竖直高度相同，即物体落到内壁上的位移为一水平面上的圆面（设圆心为O1），设该圆面半径为r，其中速度方向与OP夹角最大的物体落在内壁上时距离O1点最远（设为M点），由几何关系 联立解得 故选C。 【变式3-1】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【答案】D 【解析】A．根据 则运动时间 故A错误； B．根据 两次运动速度变化 故B错误； C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误； D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有 可得 如图 可知 所以 故D正确。 故选D。 【变式3-2】（2024·辽宁·模拟预测）（多选）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（    ） A．两小球的初速度一定有 B．两小球落到圆环上所用的时间满足 C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上 D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇 【答案】BC 【解析】AB. 根据，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，即有 水平位移 由图中b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即，故A错误，B正确； C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有 可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确； D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示 故D错误。 故选BC。 问题二：两个抛体的关联运动 【角度1】平抛+平抛 【典例4】（2024·浙江宁波·一模）同学们设计了一个“地面飞镖”的游戏，如图所示，投掷者需站在投掷线后的一条直线上将飞镖水平抛出，飞镖落在水平放置的盘面内即可获得奖励。如图所示，甲同学将飞镖从较高的点以水平速度抛出，乙同学从较低的点以水平速度抛出，两飞镖落于盘面的同一点，且两飞镖与盘面夹角相同，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两飞镖落到点的速度相同 B．抛出点与落点三点必共线 C．要使飞镖均落到盘面内，则从点抛出的水平速度范围更大 D．从两点水平抛出的飞镖，只要落到盘面内则必落到同一点 【答案】B 【解析】A．甲同学飞镖落在C点时竖直方向上的分速度 甲同学飞镖落到C点的速度 乙同学飞镖落在C点时竖直方向上的分速度 乙同学飞镖落到C点的速度 由于，故两飞镖落到点的速度不同，A错误； B．由于两飞镖在C点速度与水平方向夹角相同，根据平抛运动的推论速度与水平方向夹角的正切值为位移方向夹角正切值的2倍，二者位移方向的偏角相等，故、三点必共线，B正确 C．结合上述分析可知 可知，同时运动时间甲同学的飞镖运动时间更长，而水平变化位移相同，对应的甲的变化时间更小，故从点抛出的水平速度范围更小，C错误； D．由于运动时间与水平抛出的速度大小均不相同，二者可能会落在同一点，也可能不落在同一点，D错误。 故选B。 【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图所示，A、B两小球从相同高度同时以相同的速率水平抛出，经过时间t在空中相遇，相遇点与抛出点的竖直高度为h。若将其中一个球的抛出速度变为原来的2倍，其他条件不变，则（    ）． A．两球从抛出到相遇经过的时间变为 B．两球从抛出到相遇经过的时间变为 C．相遇点与抛出点的竖直高度变为 D．相遇点与抛出点的竖直高度变为 【答案】D 【解析】AB．把平抛运动分解成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，水平方向有 解得 选项AB错误； CD．竖直方向有 联立解得 选项C错误，D正确。 故选D。 【变式4-2】（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）如图所示，倾角为的斜面体固定在水平面上，小球在斜面底端正上方以速度向右水平抛出，同时，小球在斜面顶端以速度向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，，。则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】小球A垂直打在斜面上，如图所示： 根据几何关系可得 对于小球B 联立得 = 故选D。 【角度2】平抛+斜抛 【典例5】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图所示“封盖”是篮球比赛中的常用防守方式。投篮运动员出手点离地面的高度，封盖的运动员击球点离地面的高度，两运动员竖直起跳点的水平距离。封盖运动员击球时手臂竖直伸直，这时篮球及封盖运动员均恰好运动至最高点，击球后篮球以击球前速度的3倍水平飞出。已知封盖运动员站立单臂摸高，取，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．球脱离投篮运动员手时的速度大小为2m/s B．封盖运动员竖直起跳离地时的速度大小为5m/s C．封盖运动员在篮球投出前0.4s开始起跳 D．篮球从被封盖到落地过程的水平位移大小为4.8m 【答案】D 【解析】A．根据题意可知，篮球从出手到被封盖，可看作平抛运动的逆运动，竖直方向上有 水平方向上 解得 ， 则 故A错误； B．封盖运动员的起跳看作竖直上抛运动，有 解得 故B错误； C．篮球从出手到最高点的时间，封盖运动员从起跳到最高点的时间 则封盖运动员从篮球被投出前 开始起跳，故C错误； D．篮球从被封盖到落地，在竖直方向上有 在水平方向上 故D正确。 故选D。 【变式5-1】（2024·四川遂宁·二模）（多选）如图所示，在M点的正上方离地高H处以水平速度v1向右投掷一飞盘P，反应灵敏的小狗Q同时在M点右方水平地面上的N点以速度v2斜向左上方跳出，结果飞盘P和小狗Q恰好在M、N连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（　　） A．飞盘和小狗速度的变化量相等 B．飞盘和小狗相遇点在距离地面高度处 C．初速度大小关系一定是 D．小狗相对飞盘做匀加速直线运动 【答案】AC 【解析】A．飞盘和小狗分别做平抛和斜上抛运动，根据 可知飞盘和小狗速度的变化量相等，故A正确； C．因为飞盘和小狗恰好在M、N两点连线中点的正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又因为运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即 可得 故C正确； B．根据题意可知飞盘和小狗运动的时间相同，因为不知道小狗在竖直方向初速度的大小，所以不能判断飞盘和小狗相遇点距离地面的高度，故B错误； D．飞盘和小狗都只受到重力作用，都做匀变速运动，加速度相同，所以小狗相对飞盘做匀速直线运动，故D错误。 故选AC。 【变式5-2】2．（2024·贵州·模拟预测）如图，物块1从a点以初速度水平抛出，与此同时物块2从b点以速度射出，两者均视为质点，若要直接击中，除重力外不受其他作用力，下列选项正确的是（　　） A．物块2应瞄准a点进行拦截 B．物块2应瞄准a点的右侧进行拦截 C．物块2应瞄准a点的左侧进行拦截 D．物块2应瞄准a点的下方进行拦截 【答案】B 【解析】物块2相对物块1的速度方向斜向左上；物块2相对物块1的加速度为 物块2相对物块1做匀速直线运动，所以物块2应瞄准a上方或右侧进行拦截，故B正确。 故选B。 问题四：平抛运动的临界与极值 【典例6】（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 【变式6-1】（2024·湖南郴州·一模）我国运动员郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女子单打金牌，她的成功是勤奋训练的结果。如图所示，她在某次训练中将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球碰墙后垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。已知重力加速度g取。则下列正确的是（    ） A．网球从击球点到P点的时间为1.3s B．网球达到P点时速度大小为5m/s C．网球碰墙后速度大小为3m/s D．网球落地点到墙壁的距离为3.6m 【答案】B 【解析】AB. 设，，，。将网球的运动逆向看成平抛运动，则 得网球运动时间为 网球抛出时的竖直分速度为是 网球达到P点时速度大小为 A错误，B正确； C. 网球碰撞时垂直墙面的速度分量为 平行墙面的速度分量为 网球碰墙后速度大小为 C错误； D. 网球反弹后做平抛运动，根据 运动时间为 网球落地点到墙壁的距离为 D错误。 故选B。 【变式6-2】（2024·辽宁鞍山·一模）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示 网球从A点发出后落在C点。网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有 解得 若网球恰不触网，则有 解得 网球在水平方向上做匀速直线运动，即 因与为相似三角形，则有 因、，可得 则发球机有效发球时发出网球的最小速率为 故选A。 问题五：类平抛运动 【典例7】（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）如图所示，光滑斜面长为l，宽为b，顶角为θ，一物块从斜面左上方顶点P以平行于底边的初速度水平射入，沿斜面运动，恰好从底端Q离开斜面，物块可看成质点，则（    ） A．物块的初速度 B．物块的初速度 C．物块到达Q点时的速度 D．物块到达Q点时的速度 【答案】BC 【解析】AB．小球在斜面上做类平抛运动 小球在斜面上的加速度为 联立解得物块的初速度 故A错误，B正确； CD．在Q点的平行斜面方向的分速度为 物块到达Q点时的速度 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式7-1】（22-23高三下·浙江·阶段练习）如图所示，将小球从倾角为的光滑斜面上A点以速度水平抛出（即），最后从B处离开斜面，已知间的高度，g取，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度为 B．小球作平抛运动，运动轨迹为抛物线 C．小球到达B点时的速度大小为 D．小球从A点运动到B点所用的时间为 【答案】C 【解析】A．根据牛顿第二定律有 解得加速度为 故A错误； B．小球在斜面沿CE方向加速度恒定，做匀加速度运动，沿CD方向做匀速运动，故小球作类平抛运动，运动轨迹为抛物线，故B错误； CD．沿斜面向下为匀加速直线运动，根据位移—时间公式可得 代入数据解得 小球到达B点时的速度大小为 故C正确，D错误。 故选C。 【变式7-2】（2024·贵州·模拟预测）（多选）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（　　） A．较远 B．较远 C．等远 D．B运动的时间 【答案】BD 【解析】根据题意可知，质点A做平抛运动，根据平抛运动规律 ， 得A运动的时间 质点B视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为 沿着斜面的位移和水平方向分别有 ， B运动的时间 A、B沿x轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运动时间不等，所以沿x轴方向的位移大小不同，根据可知 即P2较远。 故选BD。 【基础强化】 1．（2024·重庆·三模）如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在点直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上点高度为的点水平击出，落点为。乙击球瞬间，甲同时起身沿直线奔跑，恰好在球落地时赶到点。已知，，，网球和运动员甲均可视为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设甲此次奔跑的平均加速度大小为，当地重力加速度大小为，对甲有 对网球有 联立可得 故选A。 2．（2024·浙江温州·三模）如图所示，将两小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5s水平相向抛出，同时落在水平面同一处，且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点，并在同一竖直面内运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．A处比B处高1.25m B．若将两沙包同时水平抛出，落地前可能会相遇 C．若已知B处高度和沙包b的下落时间，可求出A、B的水平距离 D．若已知A处高度和沙包a的初速度，可求出A、B的水平距离 【答案】D 【解析】A．设沙包a下落时间为，则沙包b下落时间为，处比处高为 由此可知 故A错误； B．根据平抛运动的轨迹可知，在落地前两沙包不会相遇，故B错误； CD．由于速度方向与竖直方向夹角相等，则 、的水平距离为 由此可知，需要已知沙包的下落时间和初速度，平抛运动的下落时间与高度有关，故C错误；D正确。 故选D。 3．（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，将小球A从P点以速度水平抛出，同时将小球B从水平地面上的Q点以速度竖直上抛，A、B两个小球在同一竖直平面内运动，且在Q点正上方的某一位置相遇。已知P点到水平地面的高度为H，P、Q两点的水平距离为x，A、B两个小球可视为质点，空气阻力可忽略不计。则下列说法中正确的是（　　） A．A、B两个小球相遇时，B小球一定处于上升过程中 B．只改变小球A的水平速度，A、B两个小球依旧能在Q点正上方相遇 C．A、B两个小球初速度必须满足 D．A、B两个小球从抛出到相遇的过程中，两球的速度变化量不相等 【答案】C 【解析】C．小球A做平抛运动 若与B相遇时下落的高度为h，则 小球B做竖直上抛运动 联立以上式子可得 故C正确。 A．A、B两个小球在B上升、下降过程中或B到达最高点均有可能相遇，故A错误。 B．若只改变小球A的水平速度，不再满足 A、B两个小球不可能在Q点正上方相遇，故B错误。 D．A、B两个小球从抛出到相遇过程中，加速度均为重力加速度g，运动时间t相等，故速度的变化量 也相同，故D错误。 故选C。 4．（2024·山东济宁·二模）如图所示，微山湖某段堤坝倾角为，某同学从水平坝面边缘正上方处，以的水平速度垂直河岸扔出一个小石子，小石子恰好落入水中。已知重力加速度，，，则坝面离水面的高度H为（　　） A．3.2m B．4.0m C．4.8m D．5.0m 【答案】B 【解析】小石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动 水平方向做匀速直线运动 联立可得 故选B。 5．（2023·河北·三模）如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O点水平击出，第一只球落在本方场地A处弹起来刚好擦网而过，落在对方场地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且空气阻力不计。若O点离地面的高度为h，则网的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设网的高度为，到网的距离为，点与点间的水平距离为，由于球与地面的碰撞是弹性碰撞，则由对称性可知 由平抛运动规律有 解得 设第一次的初速度为，小球从有 从点弹起后，由网顶到最高点可得 设第二次的初速度为，从可得 从点到网顶有 联立解得 ， 故选B。 6．（2024·陕西铜川·模拟预测）（多选）如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】C．由平抛运动规律可知 速度方向与水平方向的夹角 则 位移方向相同，则速度方向与斜面的夹角相同 选项C正确； A．根据 初速度变为2倍时，则时间变为原来的2倍，即 选项A正确； B．垂直斜面方向，初速度，加速度，则离斜面的最远距离 初速度变为2倍时，则离斜面的最远距离变为原来的4倍，故 选项B错误； D．根据 初速度变为2倍时，位移变4倍，即 选项D错误。 故选AC。 7．（2024·山东东营·二模）（多选）如图所示，可视为质点的小球A、B同时从倾角为37°的光滑斜面顶端分别水平抛出和沿斜面下滑，平抛初速度大小为，下滑初速度未知，两小球恰好在斜面底端相遇，重力加速度，，，则（    ） A．B球初速度 B．B球经过0.75s到达斜面底端 C．A、B相距最远时，B球恰好运动到斜面中点位置 D．相遇前两小球最远相距 【答案】BD 【解析】A B．设斜面的长为,对于A球，则有 联立解得 由于A、B同时开始运动，同时到达底端，故B球经过到达斜面底端。对于小球B，其加速度 斜面的长 又因为 联立解得 A错误，B正确； CD．建立如图所示的坐标系，将A球的速度进行分解可得 再将重力加速度进行分解 A球沿方向做匀加速运动，沿方向做匀减速运动，根据匀变速直线运动的规律可知 A、B相距最远时，则 解得 此时B球下滑的位移 由上述结果可得斜面的长 此时B球未到斜面的中点位置，此时A、B之间的距离 所以C错误，D正确。 故选BD。 8．（2024·湖南·二模）（多选）如图所示，小球从O点的正上方离地高处的P点以的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度斜向左上方与地面成抛出一小球，两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取，若不计空气阻力，则两小球抛出后到相遇过程（　　） A．两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段 B．两小球初速度大小关系为 C．OS的间距为60m D．两小球相遇点一定在距离地面30m高度处 【答案】BC 【解析】B．由于相遇处在OS连线靠近O的三等分点M的正上方，则有 可得两小球初速度大小关系为 故B正确； A．由 可得 竖直方向满足 解得 此时斜抛的小球竖直方向的分速度大小为 解得 则此时斜抛小球恰到最高点，故A错误； D．相遇时离地高度为 故D错误； C．OS的间距为 故C正确。 故选BC。 9．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）足球运动员在一次训练中以仰角方向从水平地面踢出足球，如图所示。足球恰好在最高点穿过悬挂在高度为处的圆环。已知足球可视作质点且空气的对足球的作用力可忽略不计，重力加速度g取，求 (1)足球踢出的速度v； (2)足球从踢出到落回水平地面的位移x。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）足球在竖直方向做竖直上抛运动，在最高点竖直方向速度为0，有 可解得 （2）足球到最高点的时间为 足球水平方向做匀速直线运动，从踢出到落回水平地面的位移为 10．（2024·山西·二模）单板滑雪大跳台的比赛场地由助滑区、起跳台、着陆坡等构成，如图所示。某运动员与滑雪板一起从高处滑下，在起跳台O点以水平速度飞出，完成一系列动作后落在着陆坡上的P点。将运动员与滑雪板看作质点，不考虑空气阻力，若要求运动员落在着陆坡的Q点，那么他通过O点时的水平速度是多大？ 【答案】 【解析】设运动员从O点落到着陆坡过程水平位移为x，下落高度为h，由 得 由OQ=2OP，并结合相似知识，知 hQ=2hp xQ=2xp 代入计算得 11．（2024·山西晋中·模拟预测）自由式滑雪女子大跳台比赛场地可简化为如图所示的示意图，在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为的斜面顶端O点以的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，不计空气阻力，取重力加速度大小。求： （1）运动员从O点运动到A点的时间； （2）B点与斜面之间的距离l。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）A为轨迹的最高点，说明运动员在A点速度方向水平向右，设O到A时间为，由斜抛运动规律，竖直方向上有 得 （2）运动员从O到B过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，运动员到B点时速度平行于斜面向下，垂直斜面方向有 B点与斜面之间的距离 【素养提升】 12．（2024·重庆荣昌·模拟预测）（多选）无人机操作员练习使用无人机将模拟弹从楼顶右端上方投进如图所示楼房的窗户中，已知楼间距为l．窗户距楼顶高度为h，为更好地将模拟弹投进窗户，模拟弹以与水平方向较小角度进入窗户的效果更好，重力加速度为g．不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．无人机水平飞行速度越大越好 B．无人机应该斜向上飞行再投弹 C．无人机投弹的最佳位置是紧贴楼顶水平飞行 D．无人机投弹的最佳速度只能是 【答案】CD 【解析】A．由于两栋楼房的距离是固定的，模拟弹离开无人机后水平方向有 竖直方向有 则若无人机水平飞行速度过大，则有上述分析可知，其模拟弹运动时间将缩短，其竖直方向位移将变小，其将不会从窗户进入楼房，故A项错误； B．模拟弹进入窗户时，其与水平方向的夹角为，则有 若想模拟弹以与水平方向较小角度进入窗户，则应该减小竖直方向的速度，而若斜向上飞行后投弹，则初始时竖直方向就会做速度，则进入窗户时，设初始时模拟弹的速度方向与水平方向的夹角为α，模拟弹的数值方向速度为 其大于无人机开始时水平飞行的竖直方向速度，故无人机不应该斜向上飞行再投弹，而是水平方向飞行，故B项错误； CD．由上述分析可知，当无人机水平飞行投弹，此时水平方向有 竖直方向有 ， 则其夹角为 由此可知，若想角小，则其无人机投弹高度要小，即无人机应该紧贴楼顶飞行，则其最佳速度为 故CD正确； 故选CD。 13．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，倾角θ=37°的光滑斜面AB固定在水平面上，现将一弹力球从斜面的顶端A点以初速度v0=10m/s水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B点。已知重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。 （1）求斜面的长度； （2）若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A点水平抛出时的速度大小为v1=5m/s，求弹力球与斜面第二次碰撞的位置离B点的距离。 【答案】（1）18.75m；（2）6m 【解析】（1）弹力球做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 联立解得斜面的长度为 （2）将平抛运动分解为沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动，设调整后弹力球水平抛出时的速度大小沿垂直斜面方向的分速度大小为 沿斜面方向的分速度大小为 垂直斜面方向的加速度大小为 沿斜面方向的加速度大小为 弹力球每次从斜面离开到再次落回斜面过程中用时为 沿斜面方向有 解得距B端 【能力培优】 14．（2024·湖南岳阳·三模）如图所示，光垂直照射倾斜木板，把一个质量为0.2kg的小球从倾斜木板顶端水平弹射出来做平抛运动，小球刚好落在倾斜木板底端。然后使用手机连续拍照功能，拍出多张照片记录小球此运动过程。通过分析照片可以得到小球的飞行时间为0.6s，小球与其影子距离最大时，影子A距木板顶端和底端的距离之比为，重力加速度。下列说法不正确的是（    ） A．飞行过程中，重力对小球做的功为3.6J B．小球与影子距离最大时，刚好是飞行的中间时刻 C．木板的斜面倾角 D．木板的长度为3.6m 【答案】C 【解析】A．小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动位移时间公式有 根据功的公式，可得飞行过程中，重力对小球做的功为 故A正确； B．经过分析可知，当小球与影子距离最大时，此时小球的速度方向与斜面平行，即速度方向与水平方向的夹角为，此时竖直方向的速度为 当小球落到斜面底端时，此时小球位移与水平方向的夹角为，令此时速度方向与水平方向的夹角为，则有 此时竖直方向的速度为 则有 则有 故小球与影子距离最大时，刚好是飞行的中间时刻，故B正确； CD．将小球的运动沿斜面与垂直于斜面分解，建立直角坐标系如图所示 由题意可知 则有 可得 又由于 则y方向速度减为零需要的时间为 结合上述有 联立可得 可得 则有 故木板的长度为 故C错误，D正确。 本题选不正确的，故选C。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 抛体运动 课时5.4-2 抛体运动规律的综合应用 2020年课程标准 物理素养 2.2.2 通过实验，探究并认识平抛运动的规律。会用运动合成与分解的方法分析平抛运动。体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。能分析生产生活中的抛体运动。 物理观念：掌握平抛运动在有约束条件下的运动规律；理解两个抛体关联运动问题的物理本质；认识平抛运动中临界问题的特点及其解决方法；拓展对类平抛运动的理解和应用。 科学思维：培养在复杂条件下分析问题的能力，能够将实际问题抽象为物理模型；发展批判性思维，能够识别和解决平抛运动中的关联问题和临界问题；提高运用数学工具解决物理问题的能力。 科学探究：通过实验和模拟，探究平抛运动在不同条件下的表现；能够合作探究，交流分享解决两个抛体关联运动问题的过程和结果。 科学态度与责任：培养面对复杂问题时坚持不懈、勇于探索的科学态度；认识到物理知识在实际应用中的重要性，增强对科学的社会责任感和使命感。 知识点一、有约束条件下的平抛运动 1.斜面约束 （1）常见类型 ①从斜面上某一位置抛出，落到斜面上； ②从斜面外某一位置抛出，落在斜面上。 （2）解决方法 ①从斜面上某一位置抛出，落到斜面上 x＝v0t,,得 ②从斜面外某一位置抛出，落在斜面上。 a.垂直落在斜面上 vx＝v0 ,vy＝gt,由得。 b.斜碰到斜面，速度与斜面成β角 vx＝v0 ,vy＝gt,由得；合速度，即。 c.以最小位移到达斜面 ，由得 2.竖直面约束 （1）碰壁情况：当物体在靠近竖直墙面的空间做平抛运动时，若与墙面发生碰撞，水平方向速度大小不变（假设为弹性碰撞），方向相反，竖直方向速度不受影响。例如，分析小球在两面平行的竖直墙壁之间做平抛运动，需要考虑小球在两墙壁之间来回碰撞的次数、每次碰撞后的水平位移和运动时间等。 （2）窗口通过情况：若平抛运动要通过一个竖直的窗口，关键是要保证物体在水平位移达到窗口水平位置时，其竖直位移处于窗口的上下边界之间。根据平抛运动水平位移公式x＝v0t和竖直位移公式y＝gt2，结合窗口的高度和以及水平位置，可以确定满足通过窗口条件的初速度范围等物理量。 3.圆（球）面约束 （1）圆周上平抛：当物体在圆周（如半圆形容器边缘）上某点做平抛运动时，要考虑物体在运动过程中与圆（球）的几何关系。例如，物体从半圆轨道边缘平抛，其运动轨迹与圆（球）可能会相切或者相交。在相切的临界情况下，通过圆心与切点的连线垂直于物体在该点的速度方向，结合平抛运动的速度规律可以求出临界初速度等参数。 （2）球内平抛：若物体在球形空间内做平抛运动，需要考虑球的半径对物体运动轨迹的限制。比如，物体不能超出球的内部空间，这就要求在计算物体的位移和速度时，要保证其轨迹始终在球内，可能会涉及到利用勾股定理来判断物体位置与球心的距离是否小于球的半径等条件。 知识点二、两个抛体的关联运动问题 1.同时运动 （1）平抛-平抛关联：两个物体同时平抛，若从同一高度抛出，它们的运动时间相同，根据水平位移公式x＝v0t，水平初速度决定了它们水平位移的差异。若高度不同，分别根据求出运动时间，再比较水平位移。在研究它们是否相遇的问题时，可通过建立水平和竖直方向的位移方程，找到使两个物体位置相同的时间点。 （2）平抛-斜抛关联：一个平抛和一个斜抛同时开始运动，对于平抛物体（初速度v1），水平位移x1＝v1t，竖直位移；对于斜抛物体（初速度v2，抛射角θ），水平位移x2＝v2tcosθ，竖直位移。联立这些方程，找到满足x1＝x2且y1＝y2的时间，判断是否相遇及相遇位置。 2.先后运动 一个物体先做抛体运动，另一个物体后运动。重点是确定时间差△t，对于后运动的物体，其运动时间t2，先运动的物体运动时间t1＝t2＋△t。分别根据抛体运动规律计算位移和速度，分析相遇情况，如通过求解x1（t1）＝x2（t2）和（和y1（t1）＝y2（t2）,（x1，y1和x2，y2分别为两个物体的位移）来确定相遇时间和位置。 知识点三、平抛运动的临界与极值问题 1.几何临界 （1）边界跨越临界：例如，物体平抛刚好越过一个障碍物（如一个有高度h和水平距离d的平台），根据x＝v0t和，当x＝d且y＝h时，可求出临界初速度。 （2）轨迹相切临界：如物体平抛的轨迹与一个圆或其他几何形状相切，在相切点处，物体的位移、速度与几何形状的切线等满足特定的几何关系。利用这些几何关系结合平抛运动规律来求解临界条件，比如求出相切时的初速度、运动时间等物理量。 2.速度临界 （1）方向临界：当要求平抛物体的速度方向与某一方向成特定角度α时，根据，结合已知条件求解。例如，当速度方向刚好与斜面平行时，α等于斜面倾角θ，可求出此时的运动时间。 （2）大小临界：如果对平抛物体的速度大小有要求，如要求物体在某一位置的速度不超过某一值vmax。根据合速度公式，结合其他条件（如位移等）来确定满足速度大小要求的范围，如通过求解不等式得到运动时间或初速度的取值范围。 知识点四、类平抛运动 1.概念和特点 物体所受合外力方向与初速度方向垂直，其运动轨迹类似平抛运动。例如，物体在光滑斜面上垂直于斜面方向以某一速度运动，物体受到的重力和支持力的合力与初速度方向垂直。 2.运动规律分析 （1）水平方向：水平方向不受力或合外力在水平方向的分量为零，做匀速直线运动。水平位移x＝v0t，水平速度vx＝v0。 （2）竖直方向：竖直方向受恒力作用，加速度（m为物体质量）。竖直位移，竖直速度vy＝at。 （3）合运动规律：合速度大小，方向与水平方向夹角θ满足；;合位移大小，方向与水平方向夹角α满足。 问题一：有约束条件下的平抛运动 【角度1】斜面约束 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）（多选）北京冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行，跳台滑雪主要分为四个阶段：助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和着陆阶段。某大跳台的着陆坡是倾角θ=37°的斜面。比赛中某质量m=80kg（包括器械装备）的运动员脚踏滑雪板沿着跳台助滑道下滑，在起跳点 O点以v0=20m/s的水平速度腾空飞出，身体在空中沿抛物线飞行落至着陆坡上的 M点后，沿坡面滑下并滑行到停止区，最终完成比赛，如图所示。已知B 点（图中未画出）是该运动员在空中飞行时离着陆坡面最远的点，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以起跳点 O点所在的平面为0势能面，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在B点时的速度变化率大小为10m/s2 B．B点距离着陆坡面的距离为9 m C．O、M间的距离为125m D．运动员从O 点到B 点的位移大小等于从B点到M点的位移大小 【变式1-1】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球在B点的速度大小为 B．小球从A点运动到B点的时间为 C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 D．小球从B点运动到C点的时间为 【变式1-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）2022年北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，其主体建筑设计灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、乙两名运动员（均视为质点）从出发区先后沿水平方向向左腾空飞出，其速度大小之比为，不计空气阻力，则甲、乙两名运动员从飞出至落到着陆坡（可视为斜面）上的过程中（    ） A．水平位移之比为 B．落到坡面上的瞬时速度方向不相同 C．落到坡面上的瞬时速度大小相等 D．在空中飞行的时间之比为 【角度2】竖直面约束 【典例2】（2024·安徽·模拟预测）如图所示，某同学将一可视为质点的小球从P点对着竖直墙壁以一定的水平初速度抛出，球与墙壁在A点发生碰撞后反弹，落在水平地面上的B点，B点刚好在P点正下方。已知A点离水平地面的高度为d，B点到竖直墙壁的距离也为d，球与墙壁碰撞前后竖直分速度不变，水平分速度大小相等、方向相反，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球被抛出时的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·浙江·三模）如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点，，击中A点的网球水平射出时的速度为，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　） A．击中B点的网球水平射出时的速度为 B．击中B点的网球水平射出时的速度为 C．要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退 D．要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿OP方向前进 【变式2-2】（2024·陕西·二模）在2023年世界飞镖锦标赛总决赛中，范格文以战胜威廉姆斯获得总冠军。若先后两次飞镖的抛出点在同一竖直线上的A、B两点，将飞镖沿水平方向抛出后，飞镖均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图乙中曲线1、2所示，飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角分别为、。已知AB、BO的竖直高度相同，飞镖可视为质点，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．先后两次飞镖在空中的运动时间之比为 B．先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为 C． D． 【角度3】球（圆）面约束 【典例3】（2024·河北·二模）如图所示，将物体（可视为质点）从半球形凹槽边缘上的P点沿不同方向水平抛出，物体均经过相同时间t落在凹槽内壁上。已知O为槽口圆心，物体初速度方向与PO连线的最大夹角为θ，凹槽半径为R，忽略空气阻力，则t等于（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【变式3-2】（2024·辽宁·模拟预测）（多选）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（    ） A．两小球的初速度一定有 B．两小球落到圆环上所用的时间满足 C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上 D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇 问题二：两个抛体的关联运动 【角度1】平抛+平抛 【典例4】（2024·浙江宁波·一模）同学们设计了一个“地面飞镖”的游戏，如图所示，投掷者需站在投掷线后的一条直线上将飞镖水平抛出，飞镖落在水平放置的盘面内即可获得奖励。如图所示，甲同学将飞镖从较高的点以水平速度抛出，乙同学从较低的点以水平速度抛出，两飞镖落于盘面的同一点，且两飞镖与盘面夹角相同，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两飞镖落到点的速度相同 B．抛出点与落点三点必共线 C．要使飞镖均落到盘面内，则从点抛出的水平速度范围更大 D．从两点水平抛出的飞镖，只要落到盘面内则必落到同一点 【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图所示，A、B两小球从相同高度同时以相同的速率水平抛出，经过时间t在空中相遇，相遇点与抛出点的竖直高度为h。若将其中一个球的抛出速度变为原来的2倍，其他条件不变，则（    ）． A．两球从抛出到相遇经过的时间变为 B．两球从抛出到相遇经过的时间变为 C．相遇点与抛出点的竖直高度变为 D．相遇点与抛出点的竖直高度变为 【变式4-2】（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）如图所示，倾角为的斜面体固定在水平面上，小球在斜面底端正上方以速度向右水平抛出，同时，小球在斜面顶端以速度向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，，。则等于（　　） A． B． C． D． 【角度2】平抛+斜抛 【典例5】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图所示“封盖”是篮球比赛中的常用防守方式。投篮运动员出手点离地面的高度，封盖的运动员击球点离地面的高度，两运动员竖直起跳点的水平距离。封盖运动员击球时手臂竖直伸直，这时篮球及封盖运动员均恰好运动至最高点，击球后篮球以击球前速度的3倍水平飞出。已知封盖运动员站立单臂摸高，取，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．球脱离投篮运动员手时的速度大小为2m/s B．封盖运动员竖直起跳离地时的速度大小为5m/s C．封盖运动员在篮球投出前0.4s开始起跳 D．篮球从被封盖到落地过程的水平位移大小为4.8m 【变式5-1】（2024·四川遂宁·二模）（多选）如图所示，在M点的正上方离地高H处以水平速度v1向右投掷一飞盘P，反应灵敏的小狗Q同时在M点右方水平地面上的N点以速度v2斜向左上方跳出，结果飞盘P和小狗Q恰好在M、N连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（　　） A．飞盘和小狗速度的变化量相等 B．飞盘和小狗相遇点在距离地面高度处 C．初速度大小关系一定是 D．小狗相对飞盘做匀加速直线运动 【变式5-2】2．（2024·贵州·模拟预测）如图，物块1从a点以初速度水平抛出，与此同时物块2从b点以速度射出，两者均视为质点，若要直接击中，除重力外不受其他作用力，下列选项正确的是（　　） A．物块2应瞄准a点进行拦截 B．物块2应瞄准a点的右侧进行拦截 C．物块2应瞄准a点的左侧进行拦截 D．物块2应瞄准a点的下方进行拦截 问题四：平抛运动的临界与极值 【典例6】（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·湖南郴州·一模）我国运动员郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女子单打金牌，她的成功是勤奋训练的结果。如图所示，她在某次训练中将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球碰墙后垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。已知重力加速度g取。则下列正确的是（    ） A．网球从击球点到P点的时间为1.3s B．网球达到P点时速度大小为5m/s C．网球碰墙后速度大小为3m/s D．网球落地点到墙壁的距离为3.6m 【变式6-2】（2024·辽宁鞍山·一模）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（    ） A． B． C． D． 问题五：类平抛运动 【典例7】（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）如图所示，光滑斜面长为l，宽为b，顶角为θ，一物块从斜面左上方顶点P以平行于底边的初速度水平射入，沿斜面运动，恰好从底端Q离开斜面，物块可看成质点，则（    ） A．物块的初速度 B．物块的初速度 C．物块到达Q点时的速度 D．物块到达Q点时的速度 【变式7-1】（22-23高三下·浙江·阶段练习）如图所示，将小球从倾角为的光滑斜面上A点以速度水平抛出（即），最后从B处离开斜面，已知间的高度，g取，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度为 B．小球作平抛运动，运动轨迹为抛物线 C．小球到达B点时的速度大小为 D．小球从A点运动到B点所用的时间为 【变式7-2】（2024·贵州·模拟预测）（多选）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（　　） A．较远 B．较远 C．等远 D．B运动的时间 【基础强化】 1．（2024·重庆·三模）如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在点直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上点高度为的点水平击出，落点为。乙击球瞬间，甲同时起身沿直线奔跑，恰好在球落地时赶到点。已知，，，网球和运动员甲均可视为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）如图所示，将两小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5s水平相向抛出，同时落在水平面同一处，且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点，并在同一竖直面内运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．A处比B处高1.25m B．若将两沙包同时水平抛出，落地前可能会相遇 C．若已知B处高度和沙包b的下落时间，可求出A、B的水平距离 D．若已知A处高度和沙包a的初速度，可求出A、B的水平距离 3．（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，将小球A从P点以速度水平抛出，同时将小球B从水平地面上的Q点以速度竖直上抛，A、B两个小球在同一竖直平面内运动，且在Q点正上方的某一位置相遇。已知P点到水平地面的高度为H，P、Q两点的水平距离为x，A、B两个小球可视为质点，空气阻力可忽略不计。则下列说法中正确的是（　　） A．A、B两个小球相遇时，B小球一定处于上升过程中 B．只改变小球A的水平速度，A、B两个小球依旧能在Q点正上方相遇 C．A、B两个小球初速度必须满足 D．A、B两个小球从抛出到相遇的过程中，两球的速度变化量不相等 4．（2024·山东济宁·二模）如图所示，微山湖某段堤坝倾角为，某同学从水平坝面边缘正上方处，以的水平速度垂直河岸扔出一个小石子，小石子恰好落入水中。已知重力加速度，，，则坝面离水面的高度H为（　　） A．3.2m B．4.0m C．4.8m D．5.0m 5．（2023·河北·三模）如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O点水平击出，第一只球落在本方场地A处弹起来刚好擦网而过，落在对方场地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且空气阻力不计。若O点离地面的高度为h，则网的高度为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·陕西铜川·模拟预测）（多选）如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024·山东东营·二模）（多选）如图所示，可视为质点的小球A、B同时从倾角为37°的光滑斜面顶端分别水平抛出和沿斜面下滑，平抛初速度大小为，下滑初速度未知，两小球恰好在斜面底端相遇，重力加速度，，，则（    ） A．B球初速度 B．B球经过0.75s到达斜面底端 C．A、B相距最远时，B球恰好运动到斜面中点位置 D．相遇前两小球最远相距 8．（2024·湖南·二模）（多选）如图所示，小球从O点的正上方离地高处的P点以的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度斜向左上方与地面成抛出一小球，两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取，若不计空气阻力，则两小球抛出后到相遇过程（　　） A．两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段 B．两小球初速度大小关系为 C．OS的间距为60m D．两小球相遇点一定在距离地面30m高度处 9．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）足球运动员在一次训练中以仰角方向从水平地面踢出足球，如图所示。足球恰好在最高点穿过悬挂在高度为处的圆环。已知足球可视作质点且空气的对足球的作用力可忽略不计，重力加速度g取，求 (1)足球踢出的速度v； (2)足球从踢出到落回水平地面的位移x。 10．（2024·山西·二模）单板滑雪大跳台的比赛场地由助滑区、起跳台、着陆坡等构成，如图所示。某运动员与滑雪板一起从高处滑下，在起跳台O点以水平速度飞出，完成一系列动作后落在着陆坡上的P点。将运动员与滑雪板看作质点，不考虑空气阻力，若要求运动员落在着陆坡的Q点，那么他通过O点时的水平速度是多大？ 11．（2024·山西晋中·模拟预测）自由式滑雪女子大跳台比赛场地可简化为如图所示的示意图，在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为的斜面顶端O点以的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，不计空气阻力，取重力加速度大小。求： （1）运动员从O点运动到A点的时间； （2）B点与斜面之间的距离l。 【素养提升】 12．（2024·重庆荣昌·模拟预测）（多选）无人机操作员练习使用无人机将模拟弹从楼顶右端上方投进如图所示楼房的窗户中，已知楼间距为l．窗户距楼顶高度为h，为更好地将模拟弹投进窗户，模拟弹以与水平方向较小角度进入窗户的效果更好，重力加速度为g．不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．无人机水平飞行速度越大越好 B．无人机应该斜向上飞行再投弹 C．无人机投弹的最佳位置是紧贴楼顶水平飞行 D．无人机投弹的最佳速度只能是 13．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，倾角θ=37°的光滑斜面AB固定在水平面上，现将一弹力球从斜面的顶端A点以初速度v0=10m/s水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B点。已知重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。 （1）求斜面的长度； （2）若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A点水平抛出时的速度大小为v1=5m/s，求弹力球与斜面第二次碰撞的位置离B点的距离。 【能力培优】 14．（2024·湖南岳阳·三模）如图所示，光垂直照射倾斜木板，把一个质量为0.2kg的小球从倾斜木板顶端水平弹射出来做平抛运动，小球刚好落在倾斜木板底端。然后使用手机连续拍照功能，拍出多张照片记录小球此运动过程。通过分析照片可以得到小球的飞行时间为0.6s，小球与其影子距离最大时，影子A距木板顶端和底端的距离之比为，重力加速度。下列说法不正确的是（    ） A．飞行过程中，重力对小球做的功为3.6J B．小球与影子距离最大时，刚好是飞行的中间时刻 C．木板的斜面倾角 D．木板的长度为3.6m 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$