专题09 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（六大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题09 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式 知识点一 角的概念 1．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类 角的分类 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 知识点二 弧度制及应用 1．弧度制的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点三 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 考点四 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝. 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 考点五 三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α 重难点题型突破1 任意角与弧度制 例1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 例2．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【变式训练1】、（10-11高一下·陕西宝鸡·期中）一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【变式训练2】、（23-24高一下·江西新余·阶段练习）（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关 重难点题型突破2 扇形的弧长与面积公式 例3．（2025高三·全国·专题练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ． 例4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 例5．（23-24高一上·安徽·阶段练习）如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 【变式训练3】、（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    【变式训练4】、（23-24高一上·吉林长春·期末）（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（    ） A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 【变式训练5】、（2021高一上·江苏·专题练习）九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为 ． 重难点题型突破3 三角函数的概念 例6．（24-25高三上·天津河西·期中）已知角的终边上有一点，则 . 例7．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（   ） A．4 B．4 C． D． 例8．（24-25高三上·北京通州·期中）已知角终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】、（24-25高二上·上海·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则 ． 【变式训练7】、（24-25高三上·四川·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8】、（24-25高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则 =（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破4 诱导公式 例9．（2024·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 例10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例11．（24-25高三上·上海·期中）已知，则 ． 例12．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知，，则 . 【变式训练9】、（2024高二下·湖北·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】、（24-25高三上·宁夏·期中）（多选题）已知角的终边经过，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】、（24-25高二上·云南玉溪·期中）若，则 ． 【变式训练12】、（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则 重难点题型突破5 同角三角函数公式 例13．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，则 ． 例14．（10-11高一下·陕西宝鸡·期中）若，则 ＝ 例15．（24-25高三上·上海宝山·期中）若角的终边过点，则 ． 【变式训练13】、（24-25高三上·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B．1 C． D．或 【变式训练14】、（21-22高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，则为（   ） A． B． C． D． 【变式训练15】、（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 重难点题型突破6 综合应用 例16．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【变式训练16】、（24-25高一·江苏·假期作业）已知角的终边经过点，． (1)求的值； (2)求的值． 1．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……．以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 3．（23-24高一上·福建莆田·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏·开学考试）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024高三·北京·专题练习）若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山西·模拟预测）（多选题）下列说法错误的是（    ） A．命题，的否定为， B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则的取值范围是 9．（23-24高一上·广西河池·阶段练习）（多选题）下列命题错误的是（    ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 10．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）（多选题）下列结论正确的是（   ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．是第三象限角 C．若角的终边过点，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 11．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知为第二象限角，． (1)化简； (2)若，求的值． 12．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式 知识点一 角的概念 1．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类 角的分类 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 知识点二 弧度制及应用 1．弧度制的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点三 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 考点四 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝. 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 考点五 三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α 重难点题型突破1 任意角与弧度制 例1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】周期现象 【分析】根据分针与时针的特点求解即可. 【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合13次. 故选：C. 例2．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】举反例可判断AB；利用终边相同的角可判断C；根据象限角的定义可判断D. 【详解】对于A，是第二象限的角，但不是钝角，故A错误； 对于B，小于，但不是锐角，故B错误； 对于C，，因为是第三象限的角， 所以是第三象限的角，故C正确； 对于D，因为角的终边在第一象限，所以， 所以，即， 当时，，角的终边在第一象限，故D错误. 故选：C. 【变式训练1】、（10-11高一下·陕西宝鸡·期中）一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算 【分析】由弧长公式直接计算. 【详解】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是–， ∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴弧长为（cm）． 故选：C． 【变式训练2】、（23-24高一下·江西新余·阶段练习）（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】确定已知角所在象限、弧度的概念、找出终边相同的角 【分析】根据角度制和弧度制的定义，利用象限角的概念即可判断. 【详解】对于A选项，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故A错误； 对于B选项，若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，故B正确； 对于C选项，当时，与终边重合，但两个角不相等，故C错误； 对于D选项，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D正确. 故选：BD. 重难点题型突破2 扇形的弧长与面积公式 例3．（2025高三·全国·专题练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】由条件，根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求，结合扇形面积公式求结论. 【详解】设圆心角为，则， 所以， 解得，所以，， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为：. 例4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】设扇形的半径为，列方程求出的值，再计算扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为，则弧长为，周长为，解得：， 则此扇形的面积为：， 故选：D 例5．（23-24高一上·安徽·阶段练习）如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解. 【详解】设，，则，则 ∴，故. 故选：B 【变式训练3】、（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据题意，由题中条件结合弧田面积公式求解即可． 【详解】   如图，由题意可得，． 在中，可得，， 则， 所以矢． 由， 得弦， 所以弧田面积弦矢 . 故答案为：． 【变式训练4】、（23-24高一上·吉林长春·期末）（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（    ） A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可. 【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为, 所以，故A正确； 对于B，若，则，又， 则，故B错误； 对于C，若， 所以，故C正确； 对于D,若，，又， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 【变式训练5】、（2021高一上·江苏·专题练习）九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答. 【详解】依题意，等腰底边，高，则的面积为， 而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为， 所以此弧田的面积为. 故答案为： 重难点题型突破3 三角函数的概念 例6．（24-25高三上·天津河西·期中）已知角的终边上有一点，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】求出已知点到原点的距离，根据三角函数的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知角的终边上有一点， 则,故. 故答案为：. 例7．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（   ） A．4 B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据角的终边上的点的坐标写出余弦值，结合角的象限，即可求解. 【详解】由三角函数的定义可知，解得， 因为是第四象限的角，所以，则， 故选：C. 例8．（24-25高三上·北京通州·期中）已知角终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义，以及，求得，再求即可. 【详解】根据三角函数定义可得：，故可得， 则. 故选：A. 【变式训练6】、（24-25高二上·上海·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义及终边上的点求函数值. 【详解】根据正切函数的定义知：. 故答案为： 【变式训练7】、（24-25高三上·四川·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点， 则，所以． 故选：D. 【变式训练8】、（24-25高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则 =（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】直接由三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角以为始边，终边与单位圆交于点， 所以. 故选：B. 重难点题型突破4 诱导公式 例9．（2024·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得，然后利用诱导公式求解. 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 故选：B 例10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】给值求值型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】同过诱导公式和同角三家函数间的基本关系，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 例11．（24-25高三上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六 【分析】依题意利用两角之间的关系并根据诱导公式计算可得结果. 【详解】根据题意，由诱导公式可得, 所以. 故答案为： 例12．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六 【分析】，结合题意利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式训练9】、（2024高二下·湖北·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】. 故选：A 【变式训练10】、（24-25高三上·宁夏·期中）（多选题）已知角的终边经过，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的定义即可求解，，，结合诱导公式即可求解. 【详解】由于角的终边经过，故，，， ，，故AD错误，BC正确， 故选：BC 【变式训练11】、（24-25高二上·云南玉溪·期中）若，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为. 故答案为： 【变式训练12】、（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由诱导公式、平方关系可得的值即可求解. 【详解】. 故答案为：. 重难点题型突破5 同角三角函数公式 例13．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将齐次正余弦的分式，利用同角三角函数商的关系化弦为切，代值计算即得. 【详解】由. 故答案为：0. 例14．（10-11高一下·陕西宝鸡·期中）若，则 ＝ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先根据同角三角函数的基本关系把代换掉，再根据弦化切，最后把代入即可求解. 【详解】解：. 故答案为：. 例15．（24-25高三上·上海宝山·期中）若角的终边过点，则 ． 【答案】/0.8 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式即可求得. 【详解】依题意，， 则. 故答案为：. 【变式训练13】、（24-25高三上·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式可得，化弦为切即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 故选: . 【变式训练14】、（21-22高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用平方关系及齐次式法求值即可. 【详解】由. 故选：D 【变式训练15】、（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将弦的齐次分式化弦为切，代值计算即得. 【详解】， 故选：D. 重难点题型突破6 综合应用 例16．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用诱导公式化简并代入求值. （2）求出，利用诱导公式及齐次式法求值. 【详解】（1）依题意，，则，，， 所以原式. （2）由（1）知，， 所以原式. 【变式训练16】、（24-25高一·江苏·假期作业）已知角的终边经过点，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由三角函数的定义求解即可； （2）由诱导公式化简代入即可得出答案. 【详解】（1）点到原点的距离. 由三角函数定义有. （2） . 1．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……．以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算 【分析】由弧长公式得到每段的弧长，相加后得到答案. 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为， 第一段圆弧长度为，第二段圆弧长度为， 第三段圆弧长度为，第四段圆弧长度为， 第五段圆弧长度为，第六段圆弧长度为， 第七段圆弧长度为，第八段圆弧长度为， 故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时， “蚊香”的长度为. 故选：C 2．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、利用平方关系求参数 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D 3．（23-24高一上·福建莆田·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】设大正方形的边长为，求出小正方形的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得，再利用弦化切求解可得答案. 【详解】如图，设大正方形的边长为， 则小正方形的边长为， 所以小正方形与大正方形面积之比为， 化简得，且， 由， 解得. 故选：D.    4．（23-24高一下·江苏·开学考试）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解. 【详解】由已知得， 则，故扇形的面积为， 由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍， ∴所求面积为． 故选：C. 5．（2024高三·北京·专题练习）若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数的关系求出，结合诱导公式得到结果. 【详解】∵是第二象限角， ∴. ∵, ∴, ∴. 故选：D. 6．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式可求值. 【详解】. 故选：A. 7．（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六 【分析】由诱导公式求解． 【详解】， 故选：B． 8．（2024·山西·模拟预测）（多选题）下列说法错误的是（    ） A．命题，的否定为， B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则的取值范围是 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、全称命题的否定及其真假判断、扇形面积的有关计算 【分析】由含有一个量词命题的否定可判断A错误；由扇形面积公式计算可得B正确；由抽象函数定义域求法计算可得C正确；根据对数函数图象及其值域解不等式可得，即D错误. 【详解】命题，的否定为，，故A说法错误； 由，解得，所以扇形的弧长，故B说法正确； 由，得，所以的定义域为，故C说法正确； 因为的值域为，所以函数的值域满足， 所以，解得，故D说法错误. 故选：AD. 9．（23-24高一上·广西河池·阶段练习）（多选题）下列命题错误的是（    ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角、确定已知角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】对A，举反例说明；对B，举反例说明；对C，利用终边相同的角判断；对D，举反例说明. 【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，锐角是之间的角，如，但不是锐角，故B错误； 对于C，，所以与角终边相同，在第三象限，故C正确； 对于D，若终边在第一象限，而终边在第一象限，故D错误. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）（多选题）下列结论正确的是（   ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．是第三象限角 C．若角的终边过点，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】确定已知角所在象限、扇形弧长公式与面积公式的应用、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】对于A，由锐角和钝角的定义和范围即可判断；对于B，由与终边相同即可判断；对于C，由题意结合三角函数余弦值的定义即可计算求解；对于D，由弧长公式和扇形面积公式即可计算求解； 【详解】对于A，因为角为锐角，即， 所以，所以角是锐角或直角或钝角，故A错误； 对于B，与终边相同是第二象限角，故B错误； 对于C，因为角的终边过点，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为圆心角为的扇形的弧长为，所以该扇形的半径为， 所以该扇形面积为，故D正确. 故选：CD. 11．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知为第二象限角，． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可化简得解； （2）利用同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】（1） . （2）若，为第二象限角， 所以． 12．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值； （2）利用诱导公式求解. 【详解】（1）因为是第三象限角，且， 所以，所以 （2） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$