专题04 函数的概念及其表示、分段函数（六大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题4 函数的概念及其表示、分段函数 一、函数的概念 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 二、函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. 三、分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数. (2)映射的个数 若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重难点题型(一)、判断对应关系（图像）是否为函数. 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 例1.（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例2.（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 例3.（23-24高一上·海南海口·阶段练习）（多选题）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A． B．   C． D． 例4.（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）（多选题）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个 A．   B．   C．   D．   1.（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·海南海口·阶段练习）（多选题）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A．   B． 1 2 3 4 2 4 3 3 A． B．   3.（23-24高一上·重庆·阶段练习）（多选题）下列对应关系是从到的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4.（24-25高一上·全国·课后作业）设f：是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（    ） A． B． C． D． 重难点题型(二)、求函数的定义域. 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 考点精讲1：求具体函数的定义域 例5.（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例6．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 例7．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）函数的定义域为 ． 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.（19-20高一上·北京海淀·阶段练习）函数的定义域为 ． 考点精讲2：求抽象函数的定义域 例8．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 例9．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 例11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 4.（2007高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，，则的定义域为 . 重难点题型(三)、判断函数为同一（相等）函数 判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 例12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 例13．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 例14．（23-24高一上·浙江·期中）（多选题）下列各组函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 例15．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）（多选题）下列函数与表示同一函数的是（    ） A．， B．， C． D． 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列选项中的两个函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2.（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习（多选题））下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 重难点题型(四)、求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 1．换元法： 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法： 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式； 3．待定系数法： 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法： 已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x). 考点精讲1：求函数的解析式——换元法 例16．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 例17．（21-22高一上·重庆黔江·阶段练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 例18．（18-19高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数，则 . 1．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，则的解析式为 ． 考点精讲2：求函数的解析式——待定系数法 例19．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）一次函数在上单调递增，且，则 . 例20．（17-18高一上·江苏徐州·阶段练习）若二次函数满足且，则的解析式为 . 1.（19-20高一·浙江·期末）设函数为一次函数，且，则（    ） A．3或1 B．1 C．1或 D．或1 2.（18-19高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数是二次函数，且满足，则= ． 考点精讲3：求函数的解析式——方程组法或消去法 例21．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则 . 例22．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数满足，则等于（     ） A． B． C． D． 例23．（21-22高一上·福建莆田·期中）若函数满足，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·全国·课后作业）若对于任意实数x都有，则f（x）＝ 2.（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 例24．（23-24高一上·江苏南通·期中）（1）已知，求 （2）已知为二次函数，且，求． （3）已知且，求的解析式． 1．（21-22高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 重难点题型(五)、求函数值域 求函数值域的基本方法 1．观察法： 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为. 3．分离常数法： 将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为： ，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法： 对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 5．配方法： 对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法： 作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法： 函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域． 8．判别式法： 将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 例25．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例26．（22-23高一上·河北保定·期中）若函数的定义域是，则它的值域 ． 1．（20-21高二下·安徽六安·期末）已知函数，（），则它的值域为（    ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 2.（21-22高一上·河南南阳·阶段练习）函数的值域为 . 例27．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 例28．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例29．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例30．（15-16高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的值域是 A．或 B．或 C． D．或 例31．（2020高一·上海·专题练习）求函数的值域 ． 例32．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 1．（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 2.（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为 ． 重难点题型(六)、分段函数求值 分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值： 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值： 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数： “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式： 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 例33．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数，则当函数值时， . 例34．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 例35．（20-21高三上·四川成都·开学考试）若函数，则（  ） A．-1 B．0 C．1 D．2 1．（22-23高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，则 ，的最小值是 . 2．（2024·全国·模拟预测）若函数的值域为，则的一个值为 ． 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 1．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·山东青岛·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0.5 3.（19-20高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的最大值为，最小值为，则的值为 A． B． C． D． 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 5．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选题）若函数的定义域为，则下列选项是函数 的定义域的真子集的有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山西·期中）（多选题）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为 ． 9．（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域是，则函数的定义域是 . 10．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 . 11．（2024高三·全国·专题练习）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 12．（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则 . 13．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式 ． 14．（18-19高一·全国·课后作业）若，则的最大值与最小值分别为 . 15．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 16．（23-24高一上·广东湛江·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数，且满足. 17．（2021高一·上海·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式； （1）若满足，则____________； （2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立. （3）已知； （4）已知等式对一切实数､都成立，且； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 函数的概念及其表示、分段函数 一、函数的概念 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 二、函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. 三、分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数. (2)映射的个数 若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重难点题型(一)、判断对应关系（图像）是否为函数. 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 例1.（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义判断即可得. 【详解】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B， 只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象. 故选：D. 例2.（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 例3.（23-24高一上·海南海口·阶段练习）（多选题）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A． B．   C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的定义进行判断. 【详解】根据函数定义，A选项，对于任意的，只有唯一确定的与其对应，满足函数定义，A正确； B选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，B正确； C选项，对于，有和与其对应，不是函数，C错误； D选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，D正确. 故选：ABD 例4.（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）（多选题）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个 A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，集合A中有一部分x值没有与之对应的y值，A不能构成函数； 对于BC，存在垂直于的直线与图形有两个交点，BC不能构成函数； 对于D，给定图形符合函数的定义，D能构成函数. 故选：ABC 1.（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论. 【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应， A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象. 故选：A 2.（23-24高一上·海南海口·阶段练习）（多选题）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A．   B． 1 2 3 4 2 4 3 3 A． B．   【答案】ABD 【分析】根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项 【详解】A.满足函数的定义，故A正确； B.由对应关系可知，满足函数的定义，故B正确； C.，不满足函数的定义，故C错误； D.由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确. 故选：ABD 3.（23-24高一上·重庆·阶段练习）（多选题）下列对应关系是从到的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】根据函数定义进行判断即可． 【详解】根据函数定义，集合中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于A，符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于B，A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于C，A中元素时，B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误； 对于D，A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故D正确； 故选：AD． 4.（24-25高一上·全国·课后作业）设f：是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义分析判断即可. 【详解】由题意得，解得或， 所以集合可以为，或，或， 故选：D 重难点题型(二)、求函数的定义域. 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 考点精讲1：求具体函数的定义域 例5.（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 例6．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式有意义列式计算即可. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 例7．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数形式列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意有，解得或或． 故其定义域为. 故答案为：. 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2.（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数定义域的要求列不等式组求解. 【详解】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为. 故选；B. 3.（19-20高一上·北京海淀·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式以及分式的性质即可求解. 【详解】的定义域满足且，解得且. 故答案为： 考点精讲2：求抽象函数的定义域 例8．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 例9．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 例10．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】借助函数定义域的定义计算即可得. 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 例11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体替换方法解出函数定义域； 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则函数可知，解得或 函数的定义域为. 故选：D. 2.（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域. 【详解】因为函数的定义域是，由，解得， 所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是. 故选：. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 4.（2007高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，，则的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数的定义域，可得不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为的定义域为， 由题意可得： 解得：，即的定义域为. 故答案为：. 重难点题型(三)、判断函数为同一（相等）函数 判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 例12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 例13．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】对于ABC而言，说明两函数的定义域不同即可排除，对于D而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则一样，由此即可得解. 【详解】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意； 对于B；，的定义域分别为，故B不符题意； 对于C，，的定义域分别为，故C不符题意； 对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意. 故选：D. 例14．（23-24高一上·浙江·期中）（多选题）下列各组函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域为R，是不同函数，A是； 对于B，函数的定义域都为R，对应法则相同，它们是相同函数，B不是； 对于C，的定义域都为R，又，即对应法则相同，它们是相同函数，C不是； 对于D，函数的定义域为，的定义域为， 是不同函数，D是. 故答案为：AD 例15．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）（多选题）下列函数与表示同一函数的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】CD 【分析】根据定义域和对应关系都相同即为相等函数逐项判断． 【详解】对于A ：的定义域是，的定义域是， 故，不是同一函数，故A错误； 对于的定义域是，的定义域是，， 故，不是同一函数，故错误； 对于的定义域是，的定义域是，且， 故，是同一函数，故正确； 对于的定义域是，的定义域是，且， 故，是同一函数，故正确． 故选：CD． 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列选项中的两个函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由函数的定义域和解析式逐一判断即可. 【详解】A：定义域为，的定义域为，故A错误； B：定义域为，的定义域为，故B错误； C：两函数的定义域都为，又，所以两个函数表示同一函数，故C正确； D：当时，无意义，而,故D错误； 故选：C 2.（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据两个函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，A错误， 对于B,与的定义域均为，且对应关系相同，故为相同函数，B正确， 对于C，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数,C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域为,定义域不相同，故不是相同函数,D错误， 故选：B 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习（多选题））下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BCD 【分析】逐一判断每个选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同即可判断. 【详解】对于A，的定义域为，而函数的定义域为R，故A错误； 对于B，函数，，故B正确； 对于C，函数，，故C正确； 对于D，函数，，故D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 重难点题型(四)、求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 1．换元法： 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法： 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式； 3．待定系数法： 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法： 已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x). 考点精讲1：求函数的解析式——换元法 例16．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 例17．（21-22高一上·重庆黔江·阶段练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元令，则，代入已知，即可得出答案. 【详解】令，则， 由已知可得，， 故的解析式为：． 故选：B． 例18．（18-19高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 1．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用换元法求函数解析式，注意定义域. 【详解】令，则， 所以， 综上，. 故选：B 2.（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可得答案. 【详解】令，则， 所以， 即. 故选：B. 3.（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】直接利用换元法求函数解析式即可. 【详解】令，则，因为， 所以，故， 故答案为：． 考点精讲2：求函数的解析式——待定系数法 例19．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）一次函数在上单调递增，且，则 . 【答案】 【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法解决. 【详解】设，则， ， 则.又在上单调递增，即， 所以，，则. 故答案为： 例20．（17-18高一上·江苏徐州·阶段练习）若二次函数满足且，则的解析式为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法，建立方程求解解析式即可. 【详解】设二次函数的解析式为， 由得，故， ， ，即， 根据系数对应相等，，， 故答案为：. 1.（19-20高一·浙江·期末）设函数为一次函数，且，则（    ） A．3或1 B．1 C．1或 D．或1 【答案】B 【解析】利用待定系数法设一次函数，代入等式求解，求出函数解析式. 【详解】设一次函数， 则， ， ， 解得或， 或， 或. 故选：B. 【点睛】此题考查利用待定系数法求函数解析式，涉及多项式相等对应项系数相等建立方程组，准确计算即可求解. 2.（18-19高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数是二次函数，且满足，则= ． 【答案】 【分析】设出二次函数的解析式，进一步利用对应关系求出系数，从而求出结果 【详解】设二次函数 已知二次函数满足 即： 可得：，解得 则 【点睛】本题考查的知识点有：二次函数解析式的求法，待定系数法的应用，考查了计算能力，属于基础题． 考点精讲3：求函数的解析式——方程组法或消去法 例21．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则 . 【答案】 【分析】由可列出方程组：，从而求解. 【详解】由题意得：对任意实数都有， 所以：，解得：. 故答案为：. 例22．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数满足，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意在中分别令、即可得到关于的方程组，解方程组即可. 【详解】因为函数满足， 所以在中分别令、， 可得， 解不等式组得. 故选：A. 例23．（21-22高一上·福建莆田·期中）若函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式，从而求的值. 【详解】因为函数满足 ---① 所以 ---② 联立①②，得，解得， ∴ 故选：A 1．（22-23高一上·全国·课后作业）若对于任意实数x都有，则f（x）＝ 【答案】 【分析】把换为，利用解方程组的方法可求答案. 【详解】∵ 对于任意实数x都有， ∴ 可得. 故答案为：. 2.（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 3．（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程组法求解析式即可. 【详解】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得， 故选：A． 例24．（23-24高一上·江苏南通·期中）（1）已知，求 （2）已知为二次函数，且，求． （3）已知且，求的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可． 【详解】（1）令， 则， 所以， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以所以 所以． （3）由题意可得， 解方程组，可知． 1．（21-22高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法即可求解； （2）设，然后结合待定系数法即可得解； （3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案. 【详解】（1）解：令，则， 故， 所以； （2）解：设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以； （3）解：因为①， 所以②， ②①得， 所以. 重难点题型(五)、求函数值域 求函数值域的基本方法 1．观察法： 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为. 3．分离常数法： 将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为： ，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法： 对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 5．配方法： 对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法： 作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法： 函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域． 8．判别式法： 将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 例25．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 例26．（22-23高一上·河北保定·期中）若函数的定义域是，则它的值域 ． 【答案】． 【分析】由反比例函数的性质求值域. 【详解】∵函数是反比例函数，则时，，且， 所以值域为． 故答案为：． 1．（20-21高二下·安徽六安·期末）已知函数，（），则它的值域为（    ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 【答案】D 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数 设，则，可得 故的值域为. 故选：D. 2.（21-22高一上·河南南阳·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】. 【分析】利用分离常数法，将变形为，判断其单调性后，求其值域即可. 【详解】（）， 是由函数向右平移1个单位，向下平移2个单位得到， 即在区间上为单调递增，在区间上为单调递增， 则函数的值域为. 故答案为：. 例27．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】对函数解析式配方后，即可求出最小值，再考虑区间端点函数值的大小，即可求解. 【详解】因为， 则又 故函数的值域为 故答案为： 例28．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 所以，等号成立 所以函数的值域为. 故答案为：. 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 2.（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 例29．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解． 【详解】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 例30．（15-16高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的值域是 A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】试题分析：，根据对勾函数的性质，从而可知值域为或，故选A． 考点：函数的值域． 例31．（2020高一·上海·专题练习）求函数的值域 ． 【答案】 【分析】由解析式知函数的定义域为，将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为，且， ∴整理可得：，即该方程在上有解， ∴当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， ∴综上，有函数值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由解析式求函数定义域并将函数转化为方程形式，求值域问题转化为方程在上有解. 例32．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可. 【详解】令，则原函数化为函数 函数图像如下：    由对勾函数性质得在上单调递增， 所以当时，函数取最小值 故答案为：2 1．（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，可得，故，即得函数的值域. 【详解】， ， 的值域为. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的值域，属于基础题. 2.（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 3.（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求，结合函数的定义域，求函数的最值，即可求解. 【详解】函数的定义域满足，得， ，当，得，， 所以，且，所以， 所以，，所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将采用分离常数法得到，然后当取到最小值时，函数有最大值，即得到答案. 【详解】，因为， 所以，当时等号成立，所以． 故答案为：. 重难点题型(六)、分段函数求值 分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值： 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值： 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数： “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式： 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 例33．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数，则当函数值时， . 【答案】或或. 【分析】根据分段函数的特征，分，，求，得到的值. 【详解】当时，，， 所以， 当时，，，所以； 当时，，，所以， 综上，或或. 故答案为：或或. 例34．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解. 【详解】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C 例35．（20-21高三上·四川成都·开学考试）若函数，则（  ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入逐次运算，即可求解. 【详解】由题意，函数， 可得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段条件代入求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 1．（22-23高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，则 ，的最小值是 . 【答案】 /1.5 / 【分析】根据分段函数的定义可求，然后分别求得在和的最小值，即可得到答案 【详解】由可得， 所以， 因为的对称轴为，且图象开口向上， 所以当时，的最小值为0； 当时，（当且仅当即时，取等号）， 所以当时，的最小值为； 综上所述，的最小值是， 故答案为：； 2．（2024·全国·模拟预测）若函数的值域为，则的一个值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】分，两种情况分类讨论可求得的取值范围． 【详解】当时，．若，则当时，， 要使的值域为，需，即，与矛盾． 若，则当时，．若的值域为， 则，即或， 可取的一个值为1，答案不唯一，满足或的数都可以． 故答案为：1(答案不唯一)． 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 1．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 2．（21-22高一上·山东青岛·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0.5 【答案】C 【分析】结合已知条件，利用分离常数法和基本不等式即可求解. 【详解】由题意，， ①当时，； ②当时，， 因为，当且仅当时，即时，不等式取等号， 所以， 则在的值域为， ③当时， 由基本不等式可知，，即， 当且仅当时，即时，不等式取等号， 故， 则在的值域为， 综上所述，在上的值域为， 从而. 故选：C. 3.（19-20高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的最大值为，最小值为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法求出求的最值，可得与的值，从而可得结果. 【详解】由函数表达式知定义域为，且恒成立， 要求的最值，可先求的最值, ， 当或时取到最小值4， 当时，取到最大值8， 故，，，故选A. 【点睛】本题主要考查函数最值的计算，考查了配方法的应用，属于中档题. 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】 直接计算得到答案. 【详解】，则. 故选：B. 5．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选题）若函数的定义域为，则下列选项是函数 的定义域的真子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依题意可得，即可求出的定义域，再判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，则，解得且， 所以 的定义域为， 则函数 的定义域的真子集有，. 故选：CD 6．（23-24高一上·山西·期中）（多选题）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则， 所以，解得或， 则或． 故选：AD. 7．（23-24高二下·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 8．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为函数的定义域为. 故答案为：. 9．（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数和具体函数的形式，求解函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 10．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】令，换元求出函数的解析式，进而可得值域. 【详解】令，则 ，所以函数的值域为. 故答案为：. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 【答案】x2－2(|x|≥2) 【详解】配凑法. f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2). 12．（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则 . 【答案】6 【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：6 13．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式 ． 【答案】 【分析】由，得到，联立求解. 【详解】解：因为， 所以， 两式联立解得：， 故答案为： 14．（18-19高一·全国·课后作业）若，则的最大值与最小值分别为 . 【答案】12,6 【分析】用分离常数法化简，由此判断出函数在区间上的单调性，进而求得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】由于，故函数函数在区间上递减，所以当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为. 故填：. 【点睛】本小题主要考查分离常数法，考查函数单调性的判断，考查函数在闭区间上最大值和最小值的求法，属于基础题. 15．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，则，， 所以， 因为，在上单调递减， 所以，所以函数的值域为． 故答案为：. 16．（23-24高一上·广东湛江·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数，且满足. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解 【详解】（1）令 ，则， 可得， 所以； （2）因为，可得， 即，消去可得； （3）设， 因为，即， 整理得， 所以，解得， 所以. 17．（2021高一·上海·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式； （1）若满足，则____________； （2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立. （3）已知； （4）已知等式对一切实数､都成立，且； 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）. 【分析】（1）利用方程组法求解； （2）利用方程组法求解； （3）利用配方法求解； （4）利用赋值法求解； 【详解】（1）因为① 用代替，② 由①②组成的方程组得. 故答案为: . （2）将代入等式得出， 联立，变形得：， 解得. （3） ， 令，由双勾函数的性质可得或， ， 或. （4）因为对一切实数､都成立，且， 令则，又因为 所以，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$