7.1.2 两条直线垂直（教学设计）-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

7.1.2 两条直线垂直 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第七章“相交线与平行线”7.1.2两条直线垂直，内容包括：理解垂线、垂线段等概念；能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. 2.内容解析 本节课是在学生已经学习了相交线、对顶角等知识的基础上，进一步研究两条直线相交的特殊情况——垂直，学习垂线的概念和性质，点到直线的距离等知识，是进一步学习空间里的垂直关系，研究三角形、四边形等平面图形以及平面直角坐标系等知识的基础． 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解垂线的概念和性质. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解垂线、垂线段的概念；能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. （2）经历观察、思考、探究、猜想、验证等活动归纳出垂线的概念和性质，体会从一般到特殊的数学思想方法，进一步培养观察、分析、归纳能力，发展空间观念. （3）会利用所学知识进行简单的推理，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，增强应用意识． 2.目标解析 在本节课的学习中，学生从相交线出发，研究特殊的相交——垂直，在这个过程中感悟“从一般到特殊”的数学研究路径. 学生在观察、思考、探究、猜想、验证的过程中，逐步提高几何直观和逻辑推理能力，为今后学习几何证明打下基础. 学生从实际问题中抽象出垂直模型，再用数学知识解决实际问题，在这个过程中逐步提高数学应用能力和数学建模的核心素养. 三、教学问题诊断分析 关于“有且只有”的学习： “有且只有”是一种比较严谨的数学逻辑用语，它和日常生活中相对模糊的表达习惯不同. “有”表示存在，“只有”表示唯一性，合起来就是强调存在且唯一. 对于初次接触这种说法的学生来说，这种精确的双重限定的表达比较复杂. 另外，要正确运用“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这个基本事实来解决问题，需要学生具备较强的逻辑思维能力. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解关于垂线的基本事实. 四、教学过程设计 （一）复习引入 问题1 如图，在相交线的模型中，如果两根木条a，b所成的角中有一个角∠α=35º，其他三个角分别等于多少度？如果∠α等于90º呢？ 设计意图：结合上一节课的研究内容展开本节课的学习，不仅可以让学生感悟“从一般到特殊”的数学研究路径，还可以加强知识间的联系，帮助学生建构数学知识体系. （二）合作探究 1.垂直 一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 2.垂线和垂足 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图，AB⊥CD，垂足为O. 3.垂线的性质 如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90º，那么AB⊥CD. 推理过程 因为 ∠AOD=90º， 所以 AB⊥CD. 4.垂线的判定 如果AB⊥CD，那么∠AOD=90º. 推理过程 因为 AB⊥CD， 所以 ∠AOD=90º. 问题2 两条直线垂直和相交是什么关系？ 答：垂直是相交的特殊情况. 问题3 如何判定两条射线垂直？两条线段呢？ 答：两条射线垂直、两条线段垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直． 问题4 在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见.你能再举出其他例子吗？ 探究1 用三角尺画已知直线l的垂线. (1)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (2)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 关于垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 设计意图：在学习了垂直的相关概念和性质之后，让学生联系生活实际，从生活中发现垂直模型，这个过程加强了数学与现实世界的联系，有助于数学抽象的核心素养的培养. （三）典例分析 例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. （画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. ） （1） （2） （3） （四）合作探究 问题5 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 探究2 如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的垂线段. A是直线l上除点O外一点，连接PA. 测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？ 结论：线段PO的长度比线段PA的长度短. 验证：利用几何画板软件进行验证. 1.垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短. 2.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. 问题解决： 设计意图：学生在度量、猜想的基础上，运用信息技术手段（几何画板）进行验证，一是提高研究的一般性，体现逻辑的严密性；二是通过动态演示变化过程，帮助学生感受变化过程中的不变规律，增强几何直观，化抽象为形象. （5） 巩固练习 1. 当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系，为什么？ 解：这两条直线是垂直关系. 因为 两条直线相交所成的四个角都相等， 所以 每个角都是360º÷4=90º， 所以 这两条直线是垂直关系. 2. 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 3. 如图，在一张半透明的纸上画一条直线l，在l上任取一点P，在l外任取一点Q，折出过点P且与l垂直的直线，这样的直线能折出几条？为什么？过点Q呢？ 解：过点P且与l垂直的直线只能折出一条，过点Q且与l垂直的直线也只能折出一条.因为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4. 如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离. （点P到直线AB的距离就是线段PQ的长度.） 5. 如图，在三角形ABC中，∠C=90º. (1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度？ (2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长，为什么？ 解：(1)点A到直线CB的距离是线段AC的长度；点B到直线AC的距离是线段BC的长度. (2)三条边中AB边最长，理由如下： 因为垂线段最短， 所以AB>AC，AB>BC， 所以AB边最长. 6. 如图，AB⊥l，CB⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？请说明理由. 解：A，B，C三点在同一条直线上. 理由如下： 因为 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 所以 若AB⊥l，BC⊥l，则直线AB与直线BC重合， 所以 A，B，C三点在同一条直线上． 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略. （6） 归纳总结 （7） 感受中考 1. (2024•北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58º，则∠EOB的大小为（B）A．29º B．32º C．45º D．58º 第1题图 第2题图 2. (2020•河北)如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（D） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 3. (2016•淄博)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（D） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 第3题图 第4题图 4. (2020•吉林)如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 　 　． 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力. （八）小结梳理 （九）布置作业 1.必做题：习题7.1 第3题，第4题，第6题. 2.选做题：选做题：用量角器画已知直线l的垂线. 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$