7.1.2 两条直线垂直（分层作业）-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

7.1.2 两条直线垂直 分层作业 基础训练 一．选择题 1．如图，已知直线与直线相交于点，下列条件中不能说明的是　　 A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．如图，，，，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是　　 A． B． C． D． 3．下列说法正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．两个角的和为，那个这两个角互为邻补角 C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是　　 A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 二．填空题 5．如图是地球截面图，其中，分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线的延长线经过地心，此时，太阳光线与地面水平线垂直，已知，则的度数是 　． 6．如图，，，垂足为，与的关系是 　． 7．如图，在△中，，，，，那么点到的距离为 　． 8．如图，在中，，，，．点在线段上运动，则线段长度的最小值是 　． 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 三．解答题 9．作图并写出结论： 如图，点是的边上一点，请过点画出，的垂线，分别交的延长线于、，线段 　的长表示点到直线的距离；线段 　的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线 　的距离；点到直线的距离为 　． 10．如图，直线，相交于点，于点． （1）若，求证：； （2）若，求，的度数． 11．如图，直线，相交于点，． （1）若，求的度数； （2）如果，那么与互相垂直吗？请说明理由． 12．如图所示，于，于，与相交于点、仔细观察图形，回答以下问题： （1）和是什么关系？为什么？ （2）若，那么和各是多少度？ 13．如图，已知直线、相交于点，平分，． （1）如果，求、的度数； （2）如果，则 　（用含的代数式表示）． 能力提升 14．如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是　　 A． B． C． D． 15．已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则 　． 16．已知，分别以射线，为始边，在的外部作，，则与的位置关系是 　． 17．数学课上，老师给出如下问题： 直线、相交于点，，平分，射线，求的度数． 小丽：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图1，因为射线，（已知） 所以　 　．　 　 因为与互补，，（已知） 图1 所以　 　　 　．　 　 因为平分，（已知） 所以　 　．　 　 因为是直线下方的一条射线， 图2 所以　 　． （1）请补全小丽的解答过程； （2）小聪说：“小丽的解答并不完整，符合题意的图形还有一种情况．”请在图2中画出小聪说的另一种情况，并解答． 拔高拓展 18．已知，以为顶点作射线，．若，，则的度数为 　 　． 19．如图，已知直线和相交于点，，平分，． （1）求的度数． （2）若射线、分别绕着点按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线每分钟转动，射线每分钟转动，多少分钟后，射线与射线第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若，则两射线同时出发 　　分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.2 两条直线垂直 分层作业 基础训练 一．选择题 1．如图，已知直线与直线相交于点，下列条件中不能说明的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； 、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意； 、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； 、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为． 2．如图，，，，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 直线外一点到这条直线的垂线段最短，， 点到直线的距离是垂线段的长度，为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 3．下列说法正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．两个角的和为，那个这两个角互为邻补角 C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断；有公共端点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断；过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可判断． 【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； 、两个角的和为，那个这两个角不一定互为邻补角，错误，不符合题意； 、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，错误，不符合题意； 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． 4．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是　　 A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【详解】解：、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； 、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； 、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了垂线段最短，线段的性质，熟记垂线段最短是解题的关键． 二．填空题 5．如图是地球截面图，其中，分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线的延长线经过地心，此时，太阳光线与地面水平线垂直，已知，则的度数是 　 　． 【答案】． 【分析】根据太阳光线与地面水平线垂直可得，再由，代入计算即可． 【详解】解：太阳光线与地面水平线垂直， ， ， ， 即的度数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂直的定义，角的和差计算，掌握角度的四则运算是解题的关键． 6．如图，，，垂足为，与的关系是　 　． 【答案】 【分析】根据“等角的余角相等”，即可得到正确答案． 【详解】解：与相等，理由如下： ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂直的定义理解，熟练掌握垂直的定义是关键． 7．如图，在三角形中，，，，，那么点到的距离为 　 　． 【答案】 【分析】点到直线的距离即为该点到该直线垂线段的长度，据此求解即可． 【详解】解：，， 点到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解答本题的关键要明确：点到直线的距离即为该点到该直线垂线段的长度． 8．如图，在中，，，，．点在线段上运动，则线段长度的最小值是 　 　． 【答案】 【分析】当时，长度有最小值，由三角形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：当时，长度有最小值， 此时，的面积， ， ， 线段长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段最短． 三．解答题 9．作图并写出结论： 如图，点是的边上一点，请过点画出，的垂线，分别交的延长线于、，线段 　 　的长表示点到直线的距离；线段 　 　的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线 　 　的距离；点到直线的距离为 　 　． 【答案】，，，0. 【分析】先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：如图所示： 线段的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线的距离；点到直线的距离为0， 故答案为：，，，0． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键． 10．如图，直线，相交于点，于点． （1）若，求证：； （2）若，求，的度数． 【答案】（1）详见解答；（2）的度数为，的度数为． 【分析】（1）根据垂直定义可得，，结合已知可得，再根据与互补，即可解答； （2）根据，可得，再根据，，从而求出的度数，即可求出和的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ． 的度数为； （2）解：， ， ， ，即， 解得， ，． 的度数为，的度数为． 【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 11．如图，直线，相交于点，． （1）若，求的度数； （2）如果，那么与互相垂直吗？请说明理由． 【答案】（1）的度数为60°；（2）. 【分析】（1）利用余角、对顶角的定义计算即可； （2）利用余角的定义，求得两个角的和为即为垂直． 【详解】解：（1）解：， ， ， ， ， ； （2）， 证明：， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查的是余角、垂直、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、垂直、以及对顶角的定义，会识别余角、垂直、对顶角． 12．如图所示，于，于，与相交于点、仔细观察图形，回答以下问题： （1）和是什么关系？为什么？ （2）若，那么和各是多少度？ 【答案】（1）相等；（2）=20°，=70°. 【分析】（1）根据同角的余角相等解答； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据对顶角相等求出． 【详解】解：（1）相等； ，， ，， ； （2）， ， ， 由（2）可知，， 所以，（对顶角相等）． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质． 13．如图，已知直线、相交于点，平分，． （1）如果，求、的度数； （2）如果，则　 　（用含的代数式表示）． 【答案】（1）=114°，；（2）. 【分析】（1）先由对顶角相等得的度数，根据角平分线的定义得，再由得，然后由，得，最后根据可得的度数； （2）先由对顶角相等得，根据角平分线的定义得，进而根据可得的度数． 【详解】解：（1）直线、相交于点，， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，； （2）直线、相交于点，， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，垂线，理解对顶角的性质，角平分线的定义是解决问题的关键． 能力提升 14．如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 15．已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则　 　． 【答案】或． 【分析】分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况进行讨论： ①如图1所示，若在上方， 平分， ， ，， ，即， 设，则，， 为平角， ， 即， 解得， ， 又， ， ； ②如图2所示，若在下方， 同理可得，， 又， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键． 16．已知，分别以射线，为始边，在的外部作，，则与的位置关系是　 　． 【答案】垂直或重合． 【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求度数． 【详解】解：①当射线在射线上方，射线在射线下方时，如图， ，，， ， 与的位置关系是垂直． ②当射线在射线上方，射线在射线上方时， 由题意可知，，此时射线和射线重合． 故填垂直或重合． 【点睛】先利用角的和差关系求得这个角是，再由垂线的定义可得，两直线垂直． 17．数学课上，老师给出如下问题： 直线、相交于点，，平分，射线，求的度数． 小丽：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图1，因为射线，（已知） 所以　 　． 　 　 因为与互补，，（已知） 所以　 　　 　． 　 　 因为平分，（已知） 所以　 　． 　 　 因为是直线下方的一条射线， 所以　 　． （1）请补全小丽的解答过程； （2）小聪说：“小丽的解答并不完整，符合题意的图形还有一种情况．”请在图2中画出小聪说的另一种情况，并解答． 【答案】（1）90；平面上一条直线与另一条直线相交并成直角，这两条直线互相垂直；AOC；；在同一平面内，如果两个角的和等于，那么这两个角互补；70；一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；160．（2）详见解答. 【分析】（1）根据垂线的定义可得，再根据补角的定义可得，由角平分线的定义求得，再根据求解即可； （2）当射线在直线的上方时，如图，根据垂线的定义可得，再根据补角的定义可得，由角平分线的定义求得，再根据求解即可． 【详解】解：（1）， ，（平面上一条直线与另一条直线相交并成直角，这两条直线互相垂直） 与互补，， ，（在同一平面内，如果两个角的和等于，那么这两个角互补） 平分， ，（从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线） 是直线下方的一条射线， ， 故答案为：，平面上一条直线与另一条直线相交并成直角，这两条直线互相垂直；；；在同一平面内，如果两个角的和等于，那么这两个角互补；70；一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；160． （2）当射线在直线的上方时，如图2， ， ， 与互补，， ， 是直线上方的一条射线， ． 【点睛】本题考查垂线的定义、补角的定义、角平分线的定义、角的和差运算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 拔高拓展 18．已知，以为顶点作射线，．若，，则的度数为 　 　． 【答案】，，，． 【分析】分情况讨论：（1）、在直线同侧，②、在直线异侧，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：（1）、在直线同侧， 当、在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， ． 当、在直线下方时，如图， ， ， ， ， ． （2）、在直线同侧， 当在直线上方、在直线下方时，如图， ， ， ， ， ． 当在直线下方、在直线上方时，如图， ， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，注意（2）要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 19．如图，已知直线和相交于点，，平分，． （1）求的度数． （2）若射线、分别绕着点按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线每分钟转动，射线每分钟转动，多少分钟后，射线与射线第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若，则两射线同时出发 　 　分钟． 【答案】（1）=74°；（2）26分钟后，射线与射线第一次重合；（3）20或32． 【分析】（1）根据题意可求得，再由角平分线的定义可得，从而可求的度数； （2）先求解，设分钟后射线与射线第一次重合，根据题意列方程，解方程可求解即可； （3）设两射线同时出发分钟后，，分两种情况列方程，计算可求解． 【详解】解：（1），， ． 平分， ． ． （2），， ． ． 设分钟后射线与射线第一次重合，依题意得：， 解得：． 答：26分钟后，射线与射线第一次重合． （3）由（2）可知，开始时， 设两射线同时出发分钟后，， 当射线与射线第一次重合前，由题意得， 解得； 当射线与射线第一次重合后，由题意得， 解得， 综上，两条射线同时出发20或32分钟后，． 故答案为：20或32． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，对顶角与补角，理解题意正确列方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$