专项7 规律探究-人教版八年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 规律探究 1．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的 定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三 角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出∠��� = ∠��� +∠�，再根据题意总结出 规律，∠�� = ( 1 2 )�∠�即可得到答案． 【详解】解：∵∠���是△ ���的一个外角， ∴ ∠��� = ∠��� +∠�， ∵ △ ���的内角∠���与外角∠���的平分线相交于点�1，得到∠�1；∠�1��与∠�1��的平 分线相交于点�2， ∴∠�1�� = 1 2 ∠���，∠�1�� = 1 2 ∠���， ∴∠�1 = 180° −∠�1�� −∠�1�� = 180° − 1 2∠ ��� − (∠��� +∠�1��) = 180° − 1 2∠ ��� −∠��� − 1 2∠ ��� = 180° − 1 2∠ ��� −∠��� − 1 2 (∠��� +∠�) = 180° −∠��� −∠��� − 1 2∠ � =∠� − 1 2∠ � = 1 2 ∠�， 同理可得，∠�2 = 1 2 ∠�1 = ( 1 2 )2∠�， ∠�3 = 1 2 ∠�2 = ( 1 2 )3∠�， . . . . . . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∠�� = ( 1 2 )�∠�， ∵∠� = 48°， ∴∠�� = ( 1 2 )� × 48°， ∵∠��的度数为整数，48 = 3 × 24， ∴ �的最大值为 4． 故选 B． 2．【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积、图形类规律探索 【分析】本题考查三角形的中线性质、图形类规律探究，根据三角形的中线平分该三角形的面 积得到△ ����的面积变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，�△��1� = 1 2 �△��� = 8, �△��2� = 1 2 �△��1� = 1 2 × 1 2 �△��� = 1 2 2 �△��� = 4， �△��3� = 1 2 �△��2� = 1 2 3 �△��� = 2， 依次类推，�△���� = 1 2 � �△��� = 1 2 � × 16 = 24−�， 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意 4的指数的奇偶性与个位数字的关系， 利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：41 = 4，42 = 16，43 = 64，44 = 256，45 = 1024，46 = 4096，47 = 16384，48 = 65536， 观察上面运算结果发现：当 4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是 4；当 4的指数是偶数 时，运算结果的个位数字是 6； 3 × 4 + 1 42 + 1 44 + 1 … 432 + 1 + 1 = 4 − 1 × 4 + 1 42 + 1 44 + 1 … 432 + 1 + 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 = 42 − 1 × 42 + 1 44 + 1 … 432 + 1 + 1 = 44 − 1 44 + 1 … 432 + 1 + 1 = 464． 由规律可得464的个位数字是 6， ∴3 × 4 + 1 42 + 1 44 + 1 … 432 + 1 + 1的结果的个位数字是 6． 故选：C． 4．【答案】 −3,0 ； 5,4 ． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标的对称性质， （1）画出图形即可求解； （2）先求出�1至�6点的坐标，找出其循环的规律即可求解，熟练掌握点坐标的对称性质是解 题的关键． 【详解】如图， 由�点坐标为 −1,0 ， ∴�点关于�点对称的�1点的坐标为 −3,0 ， （2）�1点关于�点对称的�2点的坐标为 5,4 ， �2点关于�点对称的�3点的坐标为 −3, − 8 ， �3点关于�点对称的�4点的坐标为 −1,8 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 �4点关于�点对称的�5点的坐标为 3, − 4 ， �5点关于�点对称的�6点的坐标为 −1,0 ， 此时刚好回到最开始的点�处， ∴其每 6个点循环一次， ∵2024 ÷ 6 = 337⋯2，即循环了 337次后余下 2， 故�2024的坐标与�2点的坐标相同，其坐标为 5,4 ， 故答案为： −3,0 ； 5,4 ． 5．【答案】 1 22022 【知识点】等边三角形的性质、含 30度角的直角三角形、点坐标规律探索 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含 30度角直角三角形的特征，点的坐标变化规律．根 据等边三角形的性质得出�� = ��1 = 2,∠�1�� = 60°，则∠�1��1 = 30°，即可得出�1�1 = 1 2 ��1 = 1，则�1纵坐标为 1，同理得出�2纵坐标为 1 2 ，�3纵坐标为 1 4 ，……，归纳得出��纵坐标 为 1 2�−1 ，即可解答． 【详解】解：∵� 0,2 ，△���1为等边三角形， ∴�� = ��1 = 2,∠�1�� = 60°， ∴∠�1��1 = 90° −∠�1�� = 30°， ∵�1�1 ⊥ �轴， ∴�1�1 = 1 2 ��1 = 1， ∴�1纵坐标为 1， 同理可得：�2纵坐标为 1 2 ，�3纵坐标为 1 4 ，……， ∴��纵坐标为 1 2�−1 ， ∴点�2023的纵坐标为 1 22022 ， 故答案为： 1 22022 ． 6．【答案】 � �+1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【知识点】异分母分式加减法、图形类规律探索 【分析】根据题意找到规律：�� = �(� + 1)，则 1 �� = 1 � − 1 �+1 ，然后裂项相消求解即可． 【详解】解：根据题意可得：�1 = 2, �2 = 6, �3 = 12, �4 = 20,⋯, �� = � � + 1 ， ∴ 1 �1 + 1 �2 + 1 �3 +⋅⋅⋅ 1 �� = 1 2 + 1 6 + 1 12 +⋅⋅⋅ 1 � � + 1 = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 +⋯+ 1 � − 1 � + 1 = 1 − 1 � + 1 = � �+1 ； 故答案为： � �+1 ． 【点睛】本题考查了规律探寻和分式的运算，正确找到规律是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】图形类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了图形类规律探索、平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解 题关键．表示出阴影部分面积，再运用平方差进行运算，求得答案即可． 【详解】解：阴影部分的面积= 32 − 12 + 72 − 52 + 112 − 92 +⋯+ 2032 − 2012 = 32 − 12 + 72 − 52 + 112 − 92 +⋯+ 2032 − 2012 = 3 − 1 3 + 1 + 7 − 5 7 + 5 + 11 − 9 11 + 9 + ⋯ 203 − 201 203 + 201 = 2 × 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ⋯+ 201 + 203 = 2 × 1 + 203 × 102 2 = 20808， 故选：D． 8．【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、全等三角形综合问题 【分析】根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图 1和图 2中全等三角形的对数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 进而得出规律：第 n个图形中全等三角形的对数是� �+1 2 ，即可解答． 【详解】解：∵△ ���和△ ���关于直线��对称， ∴∠��� =∠���． 在△ ���和△ ���中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ ��� ≌△ ���（SAS）． ∴图 1中有 1对三角形全等； 同理图 2中，△ ��� ≌△ ���（SAS）， ∴�� = ��， ∵△ ��� ≌△ ���． ∴�� = ��， 在△ ���，△ ���中， �� = �� �� = �� �� = �� ， ∴△ ��� ≌△ ���（SSS）， ∴图 2中有 1 + 2 = 3对三角形全等； 同理：图 3中有 1 + 2 + 3 = 6对三角形全等； 由此发现：第 n个图形中全等三角形的对数是� �+1 2 ． 所以：第 6个图形中全等三角形的对数是6×7 2 = 21， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键． 9．【答案】A 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、有理数的乘方运算 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项 大1，减数都为1，即可得到规律为(� − 1)(�� + ��−1 + ��−2 +⋯+ �3 + �2 + � + 1) = ��+1 − 1， 利用规律，当� =− 2，� = 2022时，代入其中即可求解． 本题考查了平方差公式及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 决问题． 【详解】解：由(� − 1)(� + 1) = �2 − 1； (� − 1)(�2 + � + 1) = �3 − 1； (� − 1)(�3 + �2 + � + 1) = �4 − 1； … 观察发现： (� − 1)(�� + ��−1 + ��−2 +⋯+ �3 + �2 + � + 1) = ��+1 − 1， 当� =− 2，� = 2022时，得 ( − 2 − 1)(22022 − 22021 + 22020 − 22019⋯+ 24 − 23 + 22 − 2+ 1) = ( − 2)2023 − 1， ∴22022 − 22021 + 22020 − 22019⋯+ 24 − 23 + 22 − 2+ 1 = (−2) 2023−1 −3 = −2 2023−1 −3 = 2 2023+1 3 ， ∴22022 − 22021 + 22020 − 22019⋯+ 24 − 23 + 22 − 2 = 2 2023+1 3 − 1 = 2 2023−2 3 ． 故选：A． 10．【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、点坐标规律探索 【分析】本题考查了轴对称的性质，点坐标的规律探究．根据轴对称的性质写出点坐标，然后 推导一般性规律是解题的关键． 由题意求得�1 1，3 ，在第一象限；�2 1， − 1 ，在第四象限；�3 −5，− 1 ，在第三象限； �4 −5，7 ，在第二象限；�5 5，7 ，在第一象限；�6 5， − 5 ，在第四象限；�7 −9， − 5 在第三象限；观察点坐标可知每四个点坐标所在象限为一个循环，由 2023 = 4 × 505 + 3，可 知�2023与�3在同一象限，由�3 −5， − 1 ，�7 −9，− 5 ，可知，第三象限的点坐标的特征 为�� − � + 2 ， − � − 2 ，然后代入求解即可． 【详解】解：∵直线 m上各点的横坐标都为 0，即直线 m为 y轴， ∴�1 1，3 ，在第一象限， ∵直线 n上各点的纵坐标都为 1，即直线 n为直线� = 1； ∴�2 1， − 1 ，在第四象限， ∵直线 p上各点的横坐标都为−2，即直线 p为直线� =− 2， ∴�3 −5， − 1 ，在第三象限， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵直线 q上各点的纵坐标都为 3，即直线 q为直线� = 3， ∴�4 −5，7 ，在第二象限， ∴�5 5，7 ，在第一象限，�6 5，− 5 ，在第四象限，�7 −9，− 5 在第三象限， ∴每四个点坐标所在象限为一个循环， ∵2023 = 4 × 505 + 3， ∴�2023与�3在同一象限， ∵�3 −5， − 1 ，�7 −9，− 5 ， ∴可知，第三象限的点坐标的特征为�� − � + 2 ， − � − 2 ， ∴�2023 −2025， − 2021 ， 故选：B． 11．【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用、数字类规律探索、新定义下的实数运算 【分析】由题意知，将� = 8代入�� = 2�� −1 = 2�−1�，可判断①的正误；由�� = �� −1 + 1 = � + � − 1，�1 + �2 + �3 + �4 +… + �15 = � + � + 1 + � + 2 + … + � + 14，计算求解，可判断 ②的正误；由当� = 1时，�2 = �2�2 = 2 × 2 = 4，与�2 = 1 2 − 1 2+2 = 1 4 ≠ 4矛盾，可判断③的正 误；由�1 + �2 + �3 + �4 +… + �20 = 1 1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 +… + 1 19 − 1 21 + 22 + 24 × 2+ 26 × 3… + 218 × 9+ 220 × 10，记� = 22 + 24 × 2+ 26 × 3… + 218 × 9+ 220 × 10，则22� = 24 × 1+ 26 × 2… + 220 × 9+ 222 × 10，3� = 222 × 10 − 22 − 24 − 26…− 218 − 220，记� = 22 + 24 + 26…+ 218 + 220，则22� = 24 + 26…+ 218 + 220 + 222，3� = 222 − 22，即� = 2 22−22 3 ，� = 222×10−22−24−26…−218−220 3 = 2 22×10 3 − 2 22−22 9 ，代入计算求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵�1 = �， ∴�2 = 2�1 = 2�，�3 = 2�2 = 4� = 22�，�4 = 2�3 = 8� = 23�，… ∴�� = 2�� −1 = 2�−1�， ∴�8 = 27� = 128�，①正确，故符合要求； ∵�1 = �， ∴�2 = �1 + 1 = � + 1，�3 = �2 + 1 = � + 2，�4 = �3 + 1 = � + 3，… 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴�� = �� −1 + 1 = � + � − 1， ∴�1 + �2 + �3 + �4 +…+ �15 = � + � + 1 + � + 2 + … + � + 14 = 15� + 1 + 2 + 3 + … + 14 = 15� + 105，②正确，故符合要求； 当� = 1时，�2 = �2�2 = 2 × 2 = 4， ∵�2 = 1 2 − 1 2+2 = 1 4 ≠ 4， ∴③错误，故不符合要求； 当� = 1时，�� = 2�−1，�� = �， ∴�1 = 2 1×3 = 1 1 − 1 3 ，�2 = 2 × 2 = 22，�3 = 2 3×5 = 1 3 − 1 5 ，�4 = 23 × 4 = 24 × 2，…，�19 = 2 19×21 = 1 19 − 1 21 ，�20 = 220 × 10， ∴�1 + �2 + �3 + �4 +… + �20 = 1 1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 +… + 1 19 − 1 21 + 22 + 24 × 2+ 26 × 3… + 218 × 9+ 220 × 10， 记� = 22 + 24 × 2+ 26 × 3… + 218 × 9+ 220 × 10，则22� = 24 × 1+ 26 × 2… + 220 × 9+ 222 × 10， ∴22� − � = 24 × 1+ 26 × 2… + 220 × 9+ 222 × 10 − 22 − 24 × 2 − 26 × 3…− 218 × 9 − 220 × 10， ∴3� = 222 × 10 − 22 − 24 − 26…− 218 − 220， 记� = 22 + 24 + 26…+ 218 + 220，则22� = 24 + 26… + 218 + 220 + 222， ∴22� − � = 24 + 26… + 218 + 220 + 222 − 22 − 24 − 26…− 218 − 220， ∴3� = 222 − 22，即� = 2 22−22 3 ， ∴� = 2 22×10−22−24−26…−218−220 3 = 2 22×10 3 − 2 22−22 9 ， ∴�1 + �2 + �3 + �4 +… + �20 = 1 − 1 21 + � = 20 21 + 222 × 10 3 − 222 − 22 9 = 20 21 + 10 3 × 411 − 1 9 × 411 + 4 9 = 88 63 + 29 9 × 411， ∴④正确，故符合要求； 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【点睛】本题考查了实数运算，数字的规律探究，幂的乘方的逆运算．解题的关键在于根据题 意推导规律． 12．【答案】(18.5,2.5) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、归纳与类比 【分析】ABC是等腰直角三角形，底边长为 5，根据等腰直角三角形的性质，可得点 A横坐 标在 BC的中点处，纵坐标为 2.5.同理，依次类推，寻找点 A变化的规律. 【详解】����中，∠� = 90°，�� = ��， 顶点�为( − 4,0)，顶点�为(1,0)，∴ �� = 5 ，∴ �( − 1.5,2.5)， 将����关于�轴轴对称变换得到△�1�1�1，∴ �1 (1.5,2.5) 再将△�1�1�1关于直线� = 2轴对称变换得到△�2�2�2，∴ �2 (2.5,2.5) 再将△�2�2�2关于直线� = 4轴对称变换得到△�3�3�3，∴ �3 (5.5,2.5) 再将△�3�3�3关于直线� = 6轴对称变换得到△�4�4�4，∴ �4 (6.5,2.5) … 按此规律继续变换下去，�5 (9.5,2.5)，�6 (10.5,2.5)，�7 (13.5,2.5) 则点�10的坐标为(18.5,2.5)，故答案为：(18.5,2.5)． 【点睛】本题将三角形与找规律结合进行考查，首先需要根据三角形的性质，求解得出点 A、 �1等的坐标，然后根据这些坐标寻找规律. 13．【答案】 80° 3 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形内角和为 180°，可以得到∠1 +∠2 = 180° − 20° = 160°，再根据 三角形外角可以得到∠��� +∠��� = 200°，即∠3 +∠4 = 200 ÷ 2 = 100°，即可得到结果； （2）根据�2�，�2�是角平分线，可以得到∠5 +∠6 = 100 ÷ 2 = 50°，进而可以求得∠�2 = 180° − 150° = 30°，同理可得∠�3 = 180° − 175° = 5°，无法求得∠�4，此时可求得结果． 【详解】解：（1）由图可得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∵∠� = 20°， ∴∠1 +∠2 = 180° − 20° = 160°， ∴∠��� +∠��� = 180° −∠��� + 180° −∠��� = 360° − 160° = 200°， ∵�1�，�1�是角平分线， ∴∠3 +∠4 = 200 ÷ 2 = 100°， ∴∠�1 = 180° − 100° = 80°； （2）∵�2�，�2�是角平分线， ∴∠5 +∠6 = 100 ÷ 2 = 50°， ∴∠�2�� +∠�2�� = 100° + 50° = 150°， ∠�2 = 180° − 150° = 30°， 同理可得∠7 +∠8 = 50 ÷ 2 = 25°， ∴∠�3�� +∠�3�� = 150° + 25° = 175°， 则∠�3 = 180° − 175° = 5°， 此时若再作出∠�4，则可类比上述过程得到∠�3�� +∠�3�� = 175° + 12.5° = 187.5°，无法 组成三角形， 即此时两条角平分线无交点， 故� = 3； 故答案为：80°；3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，找到各个角度之间的关系是解题的 关键． 14．【答案】4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即 可． 【详解】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB＝A1B），高为 1：2（BB1＝2BC），故面积比为 1： 2， ∵△ABC面积为 1， ∴�△�1�1� = 2． 同理可得，�△��1�1=2，�△�1��1=2， ∴�△�1�1�1 = �△��1�1 + �△�1��1 + �△�1�1� + �△��� = 2 + 2 + 2 + 1 = 7； 同理可证�△�2�2�2 = 7�△�1�1�1 = 49， 第三次操作后的面积为 7×49＝343， 第四次操作后的面积为 7×343＝2401． 故按此规律，要使得到的三角形的面积超过 2021，最少经过 4次操作． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作 之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可． 15．【答案】2 �+1 2� 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由题意可知，四边形 ABCD为直角梯形，故可求梯形 ABCD，△ ���1与△���1的面 积，由中点面积关系可得△ ��1�2与△���2面积，以此类推进而可得△ ���−1��与△����的 面积，观察图形可知，△AFnD的面积可由梯形与三角形面积作差可得，运算进而可得结论． 【详解】∵在四边形 ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC=2，CD=1， ∴�梯形����= 2+1 × 2 × 1 2 =3， ∵�1为 BC中点， ∴�△���1 = 1 × 2 × 1 2 = 1，�△���1 = 1 × 1 × 1 2 = 1 2 ， ∵�2为��1的中点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴�△��1�2 = 1 2 �△���1 = 1 2 × 1 = 1 2 ，�△���2 = 1 2 �△���1= 1 2 × 1 2 = 1 4 ， ∵�3为��2的中点， ∴�△��2�3 = 1 2 �△��1�2 = 1 2 × 1 2 = 1 4 ，�△���3 = 1 2 �△���2= 1 2 × 1 4 = 1 8 ， …… ∴�△���−1�� = 1 2�−1 ，�△���� = 1 2� ， ∴�△����=�梯形����-�△���1-�△��1�2-�△��2�3-……-�△���−1��-�△���� = 3 − 1 − 1 2 − 1 4 −……− 1 2�−1 − 1 2� = 2 − 1 2 + 1 4 +……+ 1 2�−1 + 1 2� = 2 − 1 − 1 2 + 1 2 − 1 4 + 1 4 − 1 8 +……+ 1 2�−1 − 1 2� = 2 − 1 − 1 2� = 2�+1 2� ． 故答案为： 2�+1 2� ． 【点睛】本题主要考查规律探索和三角形的面积问题，根据图形变化规律找出面积关系是解题 的关键． 16．【答案】(1)2�+1 �2+� = 1 � + 1 �+1 ，见解析． (2)20 21 ． 【知识点】加减消元法、异分母分式加减法、有理数四则混合运算 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据（1）的规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：设2�+1 �2+� = � � + � �+1 ， ∴ 2�+1 �2+� = � �+1 +�� � �+1 = �+� �+� �2+� ， ∴ �+� = 2 � = 1 ， ∴ 2�+1 �2+� = 1 � + 1 �+1 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 （2） 3 1×2 − 5 2×3 + 7 3×4 − 9 4×5 +⋯+ 39 19×20 − 41 20×21 = 1 1 + 1 2 − 1 2 + 1 3 + 1 3 + 1 4 − 1 4 + 1 5 +⋯+ 1 19 + 1 20 − 1 20 + 1 21 = 1 1 − 1 21 = 20 21 ； 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 17．【答案】(1) 1 �8 − 1； (2)(� + 1)(�2 + 1)(�4 + 1)； (3)− 102� 5��� ，−2 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、分式乘除混合运算 【分析】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可； （2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式； （3）根据（2）中的规律，当 m=2时，得出 a，b，c，d的值，再进行化简求值． 【详解】（1）解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出： 1 � − 1 1 �7 + 1 �6 + 1 �5 + 1 �4 + 1 �3 + 1 �2 + 1 � + 1 = 1 �8 − 1； 故答案为： 1 �8 − 1； （2）解：由（1）可知 1 � − 1 1 �7 + 1 �6 + 1 �5 + 1 �4 + 1 �3 + 1 �2 + 1 � + 1 = 1 �8 − 1， ∴ 1 �7 + 1 �6 + 1 �5 + 1 �4 + 1 �3 + 1 �2 + 1 � + 1 = ( 1 �8 − 1) ÷ ( 1 � − 1)， 设 1 � = �（� ≠ 1）， ∴�7 +�6 +�5 +�4 +�3 +�2 +�+ 1 = � 8−1 �−1 ∵ �8−1 �−1 = (�−1)(�+1)(� 2+1)(�4+1) �−1 = (� + 1)(�2 + 1)(�4 + 1)， ∴�7 +�6 +�5 +�4 +�3 +�2 +�+ 1 = (� + 1)(�2 + 1)(�4 + 1)； （3）解：由（2）可知�7 +�6 +�5 +�4 +�3 +�2 +�+ 1 = (� + 1)(�2 + 1)(�4 + 1)， 当� = 2时，则 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1 = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) = 3 × 5 × 17， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∵1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 = � ⋅ � ⋅ � ⋅ �， ∴�·�·�·� = 3 × 5 × 1 × 17， ∵a、b、c、d都是正整数，且 a＞b＞c＞d； ∴a=17，b=5，c=3，d=1； ∵ − � �� 2 ÷ − 5� 17� × 6� � =− �2 �2�2 × 17� 5� × 6� � =− 102� 5��� ， 当 a=17，b=5，c=3，d=1； ∴原式=− 102×5 5×17×3×1 =− 2； 【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是 解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 规律探究 1．如图，在△ ���中，∠� = 48°，△ ���的内角∠���与外角∠���的平分线相交于点�1， 得到∠�1；∠�1��与∠�1��的平分线相交于点�2，得到∠�2；……按此规律继续下去， ∠��−1��与∠��−1��的平分线相交于点��，要使∠��的度数为整数，则�的最大值为 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，��1为△ ���的中线，��2为△ ��1�的中线，��3为△ ��2�的中线，⋅⋅⋅，按此规律， ���+1为△����的中线．若△ ���的面积为 16，则△ ����的面积为（ ） A．2�+2 B．2�−2 C．23� D．24−� 3．发现：41 = 4，42 = 16，43 = 64，44 = 256，45 = 1024，46 = 4096，47 = 16384，48 = 65536， 依据上述规律，通过计算判断 3 × 4 + 1 42 + 1 44 + 1 … 432 + 1 + 1的结果的个位数字是 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．如图，在直角坐标系中，△ ���的顶点坐标分别为：� −2,0 ，� 1,2 ，� 1, − 2 ．已知� −1,0 ， 作点�关于点�的对称点�1，点�1关于点�的对称点�2，点�2关于点�的对称点�3，点�3关于 点�的对称点�4，点�4关于点�的对称点�5，…， （1）�1的坐标为 ； （2）按照此规律，则点�2024的坐标为 ． 5．如图，在平面直角坐标系���中，已知点�的坐标为 0,2 ，以��为边在右侧作等边三角形���1， 过点�1作�轴的垂线，垂足为点�1：以�1�1为边在右侧作等边三角形�1�1�2，再过点�2作� 轴的垂线，垂足为点�2；以�2�2为边在右侧作等边三角形�2�2�3, ⋅⋅⋅，按此规律继续做下去， 得到等边三角形�2022�2022�2023，则点�2023的纵坐标为 ． 6．如图，将形状大小完全相同的“○”按照一定的规律（如下图所示）摆放，其中图①的“○” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 的个数为�1，图②中的“○”的个数为�2，图③中的“○”的个数为�3，……以此类推，则 1 �1 + 1 �2 + 1 �3 +⋅⋅⋅ 1 �� 的值是 ．（�为正整数） 7．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如： 8 = 32 − 12, 16 = 52 − 32, 24 = 72 − 52；则 8、16、24这三个数都是奇特数．如图所示，拼叠 的正方形边长是从 1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形����，其边长为 203，则阴 影部分的面积（ ） A．19208 B．20000 C．20706 D．20808 8．如图 1，已知△ ���和△���关于直线��对称；在射线��上取点 E，连接��，��，如图 2， 在射线��上取点 F，连接��，��，如图 3，依此规律，第 6个图形中全等三角形的对数是 （ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A．10 B．15 C．21 D．28 9．观察下列各式： (� − 1)(� + 1) = �2 − 1； (� − 1)(�2 + � + 1) = �3 − 1； (� − 1)(�3 + �2 + � + 1) = �4 − 1； … 根据规律计算： 22022 − 22021 + 22020 − 22019 +…… + 24 − 23 + 22 − 2的值是（ ） A．2 2023−2 3 B．22023 − 1 C．− 22023 10．已知点�0 −1,3 ，记�0关于直线 m（直线 m上各点的横坐标都为 0）的对称点为�1，�1 关于直线 n（直线 n上各点的纵坐标都为 1）的对称点为�2，�2关于直线 p（直线 p上各点的 横坐标都为−2）的对称点为�3，�3关于直线 q（直线 q上各点的纵坐标都为 3）的对称点为�4， �4关于直线 m的对称点为�5，�5关于直线 n的对称点为�6，……依此规律�2023的坐标是 （ ） A． 2021, − 2021 B． −2025, − 2021 C． −2021, − 2017 D． −2025,2027 11．在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 式 x进行如下操作：规定�1 = �1 = �，且满足以下规律： �2 = 2�1，�3 = 2�2，�4 = 2�3，…，�� = 2�� −1，… �2 = �1 + 1，�3 = �2 + 1，�4 = �3 + 1，…，�� = �� −1 + 1，… �1 = 2 �1�3 ，�2 = �2�2，�3 = 2 �3�5 ，�4 = �4�4，… 其中 n为正整数，以此类推： ①�8 = 128�；②�1 + �2 + �3 + �4 +… + �15 = 15� + 105：③当� = 1时，�� = 1 � − 1 �+2 ；④当 � = 1时， �1 + �2 + �3 + �4 +… + �20 = 88 63 + 29 9 × 411．以上说法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，����中，∠� = 90°，�� = ��，顶点�为( − 4,0)，顶点�为(1,0)，将����关于� 轴轴对称变换得到△�1�1�1，再将△�1�1�1关于直线� = 2（即过(2,0)垂直于�轴的直线）轴 对称变换得到△�2�2�2，再将△�2�2�2关于直线� = 4轴对称变换得到△�3�3�3，再将△ �3�3�3关于直线� = 6 轴对称变换得到△�4�4�4…，按此规律继续变换下去，则点�10的坐标 为 ． 13．如图，在△ ���中，∠� = 20°，∠���，∠���为△ ���的外角，∠���与∠���的平分 线交于点�1，∠���1与∠���1的平分线交于点�2，…，∠����−1与∠����−1的平分线相交 于点��． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 （1）∠�1的度数为 ； （2）若得到点��后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则 n的值为 ． 14．如图，△ABC的面积为 1．第一次操作：分别延长 AB，BC，CA至点 A1，B1，C1，使 A1B ＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接 A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长 A1B1，B1C1，C1A1至点 A2，B2，C2，使 A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接 A2， B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过 2021，最少经过多少次操 作 15．如图，在四边形 ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC=2，CD=1，F1是 BC的中点，连接 AF1， DF1，得到△AF1D；点 F2是 CF1的中点，连接 AF2，DF2，得到△AF2D；点 F3是 CF2的中点， 连接 AF3，DF3，得到△AF3D；．...；按照此规律继续进行下去，则△AFnD的面积为 . （用含正整数 n的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 16．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式 1−3� �2−1 表示成部分分式．解：设 1−3� �2−1 = � �+1 + � �−1 ，将等式右边通分，得 � �−1 +� �+1 �+1 �−1 = �+� �+ �−� �2−1 ，依据题意，得 �+� =− 3 � −� = 1 ，解得 � =− 2 � =− 1 ，所以 1−3� �2−1 = −2 �+1 + −1 �−1 请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式2�+1 �2+� 表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求 3 1×2 − 5 2×3 + 7 3×4 − 9 4×5 +⋯+ 39 19×20 − 41 20×21 的值． 17．观察下列各式： � ≠ 0 1 � − 1 1 � + 1 = 1 �2 − 1， 1 � − 1 1 �2 + 1 � + 1 = 1 �3 − 1 1 � − 1 1 �3 + 1 �2 + 1 � + 1 = 1 �4 − 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格： 1 � − 1 1 �7 + 1 �6 + 1 �5 + 1 �4 + 1 �3 + 1 �2 + 1 � + 1 =________； (2)用数学的整体思想方法，设1 � = �，分解因式： �7 +�6 +�5 +�4 +�3 +�2 +� + 1 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 � ≠ 1 ； (3)已知 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 = � ⋅ � ⋅ � ⋅ �，a、b、c、d都是正整数，且� > � > � > �，化简求 − � �� 2 ÷ − 5� 17� × 6� � 的值．