专项7 动角旋转问题-北师大版七年级上册期末专项（初中数学）

期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 专项7动角旋转问题 中等题 1.综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化， A(C) B(D 图① 图② 图③ 【操作发现】如图①，∠A0B=∠C0D=90°且两个角重合. (1)将∠c0D绕着顶点0顺时针旋转45如图②，此时0B平分； ∠BOC的余角有个， 分别是： 【实践探究】 (2)将∠CoD绕着顶点0顺时针继续旋转如图③位置，若∠B0C=45°，射线OE在∠B0C内部， 且∠BOC=3∠BOE请探究： ①∠B0C的补角是哪几个角？ ②求∠D0的度数， 2.(1)如图，∠A0B=120°，射线0C为∠A0B的平分线.用量角器画出射线0C.作射线0D, 使∠B0D=20°，则∠C0D的度数是 B (2)若∠A0B=a(90°≤a≤120)，射线0C为∠A0B的平分线.射线0D,使∠B0D=B (0°<B≤90°)，求∠C0D的度数（用a、P表示） 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 B (3)∠A0B=120°，射线0P从0A位置出发，以每秒2的速度顺时针向射线0B旋转；与此同 时，射线0Q以每秒6的速度，从0B位置出发逆时针向射线0A旋转，当射线O达到0A后.设 旋转时间为t秒.当∠P0Q=40时，t的值是 B 3.如图，以直线AB上一点0为端点作射线0C,使∠AC=65°，将一个直角三角形的直角顶 点放在点0处.（注：∠D0=90°） (1)如图①，若直角三角板D0E的一边0D放在射线OA上，则∠C0B=, (2)如图②，将直角三角板D驱绕点0顺时针方向转动到某个位置，若0C恰好平分∠0E, 求∠CD的度数； (3)如图③，将直角三角板D0B绕点0任意转动，如果0D始终在∠A0C的内部，试猜想∠A0D 和∠C0r有怎样的数量关系？并说明理由， 图① 图② 图③ 4.已知o是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠AOD 图1 图2 (1)如图1,0C与0D在直线AB的同侧. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 ①若∠C0E=20°，则∠D0B的度数为 ②若∠COE=a,求∠DOB的度数， (2)如图2，OC与0D在直线AB的异侧，直接写出∠C0E和∠DOB之间的数量关系，不必说明理 由 5.如图，点0为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，∠M0N是直角，0C 平分∠BOM. 图1 图2 (1)如图1，若∠A0M=54°，求∠C0N的度数： (2)如图2，若3∠MOC=∠BON,求∠AOM的度数； (3)当∠A0M=54时，三角板绕点0以每秒6沿逆时针方向旋转秒(0≤t<30),请探究LA0M 和∠CON之间的数量关系 6.如图，O为直线F上一点，将两个直角三角板的顶点叠合在0处，其中一个直角三角板的另 一J顶点也叠合在直线EF上的B点处 (1)在如图的位置，若射线0C是∠A0B的平分线，试判断射线0D是否为∠A0E的平分线？并说 明理由； (2)在如图的位置，若∠A0C=15°，求∠D0B的大小； (3)将直角三角板0DC绕0点逆时针方向旋转，旋转角度不超过180度，在旋转过程中，试探 究LAOC与∠BOD之间满足什么等量关系，并说明理由 7.将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线W上，且三角板ADE始终摆放在直线MN 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 下方，三角板ABC可绕点A任意旋转.已知∠CAB=∠AED=90°，∠C=45°，∠EAD=30 设∠BAN=m°，∠DAN=n°(0≤m≤180,0≤n≤150) (1)当m+n=0时，求∠CAE的度数： (2)当n=2m(m≠0)时，求∠CAM与∠MAE的数量关系； (3)当点G,A,E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系. 困难题 8.【阅读】： 通过学习我们知道，Ia的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离.由于|a可以看作 1a-0l,那么a-0的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离.这个结论还可以推广 为：点A,B在数轴上分别表示数a、,那么A,B之间的距离可表示为|a-b. -7-6-5-4-3-2-101234567 【探索】： (1)数轴上表示2和-5的两点之间的距离是 (2)若使a所表示的点到表示2和-5的点的距离之和为7，所有符合条件的整数a的和为 【动手折一折】： 小博同学在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，使3表示的点和-6表示的点重合， ①5表示的点和 表示的点重合； ②已知A,B(A在B的左侧)两点之间的距离为100，且A,B两点经折叠后重合，则点A表 示的数是一，点B表示的数是 【拓展延伸】： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 (4)动点P,Q同时从-3对应的点出发沿数轴向右运动，点P,点Q的速度分别为3个单位 长度/s和1个单位长度/s,是否存在某一时刻，使得原点0，P,Q这三个点中，有一个点恰 为另外两点所连线段的中点？若存在，求出此时点P所代表的数；若不存在，请说明理由。 【方法迁移】 (5)如图，∠A0B=140°，0c平分∠A0B.现有射线0P、0Q分别从0C、0B同时出发，以 每秒15和每秒10的速度绕点0顺时针旋转，当0P旋转一周时，这两条射线都停止旋转.问 经过 秒后，射线0P、0Q的夹角为30° 9.如图1，平面上顺时针排列射线0A,0B,0C,0D,∠B0C=90°，∠A0D在∠B0C外部且 为钝角，∠AOB:∠COD=6:7,射线0M,ON分别平分∠AOC,∠AOD(题目中所出现的角均 小于180且大于0). 图1 备用图1 备用图2 (1)若∠A0D=140°，∠A0M= ∠CON= (2)6∠CON-∠AOM的值是否随着∠AOD的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请 说明理由； (3)在(1)的条件下，将∠A0绕点0以每秒2的速度顺时针旋转得到∠A10B1（0A,0B的 对应边分别是0A1,OB),若旋转时间为t秒(0<t<180),当∠A10C+6°=∠B1D 时，求出t的值 10.钟表是我们日常生活中常用的计时工具.在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个 大格等分成5个小格.如图，设在4：00时，分针的位置为0B,时针的位置为0A,运动后的 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 分针为0P,时针为0Q(本题中的角均指小于180的角). B B B wT 备用图 备用图 (1)求4：00开始几分钟后分针第一次追上时针； (2)若在4：00至5：00之间，OM在∠40P内，0N在∠A0Q内，∠P0M=;∠A0P,∠N0Q= i∠A0Q. ①当OP在∠AOB内时，求∠POM和∠AON之间的数量关系； ②从4：00开始几分钟后，∠M0N=111. 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 专项7动角旋转问题 答案解析 1.(1)∠C0D,2,∠A0C和∠B0D;(2)①∠A0C,∠B0D,∠A0D;②∠D0E=120 【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义： (1)根据旋转的性质得∠C0B=∠B0D=45°，进而可得角平分线的答案，根据∠B0C+ LA0C=90°，∠B0C+∠B0D=90°，进而可求解； (2)①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与∠B0C相加等于180的角即可；②利用角度 之间的计算即可求解； 熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是解题的关键 【详解】解：(1)由旋转的性质得：∠A0C=B0D=45°， ∠A0B=90°， .∠C0B=∠A0B-∠A0C=90°-45°=45°， ÷∠C0B=∠B0D=45°， ÷0B平分∠C0D, ∠B0C+∠A0C=90°，∠B0C+∠B0D=90°， ·∠BOC的余角有2个（本身除外），分别是LA0C和∠B0D, 故答案为：∠COD;2;LAOC和∠BOD; (2)①Q∠40B=∠C0D=90°，∠B0C=45°， ÷2A0C=∠A0B+∠B0C=90°+45°=135°， ÷∠A0C+∠B0C=135°+45°=180°， ·∠BOC的补角是∠AOC, ∠B0D=∠B0C+∠C0D=45°+90°=135°， .∠B0D+∠B0C=135°+45°=180°， 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 ÷∠B0C的补角是∠BOD, ÷∠A0D+∠B0C=135°+45°=180°， ÷∠B0C的补角是∠AOD, 综上所述，∠BOC的补角分别是LAOC、LBOD、∠AOD, 故答案为：∠AOC、∠BOD、∠AOD. ②.∠B0C=45°，∠B0C=3∠B0E, .∠B0E=若×450=150， .∴.∠C0E=45°-15°=30°， 又：∠C0D=90, .∠D0E=90°+30°=120°. 2.(1)40或60(2)∠c0D=a-B或2c0D=B-或4c0D=B+a (3)t的值 为10或20 【分析】本题考查了角平分线，角度的计算，根据角平分线的定义得到∠B0C的度数是解题的 关键。 (1)根据角平分线的定义求出LB0C=60°，根据LCOD=∠B0C+∠B0D或∠COD= ∠BOC-∠BOD即可得出答案， (2)根据角平分线的定义求出∠0C=;∠A0B=;a,根据LC0D=∠B0C-∠B0D或 ∠COD=∠BOC+∠BOD即可得出答案 (3)分两种情况：当0<t≤15时；当15<t≤20时；列出方程计算即可求解， 【详解】解：(1)当射线0D在∠Ao的内部，如图所示： D B 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 因为0C是∠A0B的平分线，且∠A0B=120°， 所以∠B0C=∠A0B=60, 因为∠B0D=20°， 所以∠C0D=∠B0C-∠B0D=40. 当射线0D在∠AOB的外部时，同理可得：∠COD=∠BOC+∠BOD=60° 答：∠C0D的度数为40°或60°. (2)当射线0D在∠A0B的内部，如图所示： D B 因为Oc是∠A0B的平分线，且∠A0B=a, 所以∠B0C=∠A0B=a ①a>B②a<B 因为∠BOD=B, 所以∠C0D=a-B ②a<B 因为∠B0D=B, 所以∠CoD=B-a. 当射线0D在LA0B的外部时，同理可得：∠COD=B+;a 答：4C0D=a-B或LC0D=B-或∠CoD=B+a. (3)当0<t≤15时， 依题意得：2t+6t+40=120, 解得：t=10, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 当15<t≤20时， 依题意得：2t+6t-40=120, 解得：t=20, :当∠P0Q=40时，t的值为10或20. 3.(1)25°(2)25°(3)∠C0E-∠A0D=25° 【分析】(1)根据图形得出∠COE=∠DOE∠AOC,代入求出即可； (2)根据角平分线定义求出∠EOA=2∠AOC=130°，代入∠EOC=∠BOA-∠AOC,求出∠EOC,代 入∠COD=∠DOE-∠EOC求出即可： (3)根据图形得出∠AOD+∠cOD=∠AOC=65°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案， 【详解】(1)如图①，∠C0E=∠D0E-∠A0C=90°-65=25； (2)如图②，.'0C平分∠E0A,∠A0C=65°，∴.∠E0A=2∠A0C=130°，，'∠D0E=90°， ∴.∠AOD=∠AOE-∠D0E=40°，.'∠B0C=65°，∴.∠COD=∠AOC-∠AOD=25 (3)根据图形得出∠AOD+∠COD=∠AOC=65°，∠COE+∠COD=∠DOE=90 .∴.∠C0D=65°-∠A0D=90°-∠C0E .∴.∠C0E-∠A0D=259 【点睛】本题考查了角的计算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关 键。 4.(1)①40°，②2a (2)∠D0B=2∠C0E. 【分析】(1)①由∠C0D为直角，∠COE=20°，可求得∠E0D的度数，再由0E平分∠A0D,以 及AOD和∠BOD为邻补角即可求出∠BOD: ②同①可得结论； (2)设∠COE=a,可以求出∠E0D,再由角平分线以及邻补角可求出∠BOD,得出∠BOD和 ∠COE的关系 【详解】(1)①：∠CoD为直角， ∴.∠C0D=90. .∴∠C0E=20°， 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 .∴.∠E0D=∠C0D-∠C0E=90°-20°=70， ,'OE平分∠AOD, ∴.∠A0D=2∠E0D=140°， .∴.∠B0D=180°-∠A0D=180°-140°=40°， ②：∠c0D为直角， ∴.∠C0D=90. .'∠C0E=a, .∴.∠E0D=∠C0D-∠C0E=90°-a, .OE平分∠A0D, .∴.∠A0D=2∠E0D=180°-2a, .∴.∠B0D=180°-∠A0D=180°-(180°-2a)=2a, (2)设∠C0E=a, .∴.∠E0D=∠C0D-∠C0E=90°-a, .'OE平分∠AOD, ∴.∠A0D=2∠E0D=180°-2a, .∴.∠B0D=180°-∠A0D=180°-(180°-2a)=2a, .∠D0B=2∠C0E. 【点睛】此题考查了角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中 注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角 5.(1)∠C0W=27 (2)∠A0M=126° (3)0≤t≤9时，LA0C=2LD0E;9<t<30时，∠A0M+2∠C0N=360° 【分析】本题考查相交线，涉及到角平分线的性质、垂直的性质等，灵活运用所学知识是关键. 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 (1)根据直角和交平分线的性质求解即可； (2)根据直角和交平分线的性质求解即可； (3)分两种情况0≤t≤9时，9<t<30进行讨论即可. 【详解】(1)解：∠40M=54, ∠B0M=180°-∠A0M=126°， OC平分∠B0M, a∠M0C=∠B0M=63, :∠MON是直角， ∠M0N=90°， ∠C0N=∠M0W-∠C0M=90°-63°=27； (2)解：OC平分∠B0M, ÷∠BOM=2∠MOC. '∠MON=90°，3∠M0C=∠B0N ÷∠B0M+∠B0N=2∠M0C+3∠M0C=5∠M0C=90°. ÷∠M0C=18°. ÷∠B0M=2∠M0C=36°. ∠40C=180°-∠B0C=180°-36°=144° .∴.∠A0M=126; (3)解：①0≤t≤9时，由题意得∠A0M=54°-6t, B ÷∠B0M=180°-∠A0M=180°-(54°-6t)=126°+6t OC平分∠B0M, 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 ∠M0C=∠B0M=63+3t, ÷∠CON=∠M0N-∠C0M=27°-3t, ∠AOC=2∠D0E; ②9<t<30时， N B 由题意得∠A0M=6t-54, +∠B0M=180°-∠A0M=180°-(6t-54)=234°-6t ,OC平分∠B0M, ∠M0c=∠B0M=117°-39t, ÷∠C0N=∠M0N+∠C0M=-3t+207°， ÷∠A0M+2∠CON=360°. 综上所述，0≤t≤9时，∠A0C=2∠D0E; 9<t<30时，∠A0M+2∠C0N=360°. 6.(1)射线0D是∠A0的平分线；详见解析 (2)165° (3)LAOC和∠B0D互补，详见解析 【分析】（1)利用角的和差计算并判断： (2)利用角的和差计算： (3)读懂题意，分类讨论不同情况，发现旋转的过程中∠A0c与∠B0D之间存在互补的关系. 【详解】(1)解：，射线0c是∠A0B的平分线， ÷∠A0C=∠C0B=45°， 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 ·∠D0A=90°-∠A0C=90°-45°=45°， ∠D0E=∠A0E-∠A0D=90°-45°=45°， :射线OD是∠AOE的平分线： (2)解：∠A0C=15°， ÷∠A0D=90°-15°=75°， ∠D0B=∠A0D+∠A0B=75°+90°=165： ÷D0B的大小为165； (3)解：当0C在0A的右侧时， o 由图可知，∠A0C=90°-∠A0D,∠B0D=90°+∠A0D, ∠A0C+∠B0D=180: 当0C在OA的左侧时， BF 由图可知，∠A0C+∠B0D+∠C0D+∠A0B=360°， '∠C0D=∠A0B=90°， ÷∠A0C+∠B0D=180°， 当oD在EF上方时，如图， 国原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 期末：专项提升 ©橙子学 学科网原创精品 由图可知，∠A0C=90°+LA0D,∠BOD=90°-∠AOD, ∠A0C+∠B0D=180: 综上可知，∠A0C和∠B0D互补 【点睛】本题主要考查角度的和差计算，涉及补角的定义，余角的定义，角平分线的定义等相 关知识，由图形得到角度之间的和差关系是解题关键，。 7.(1)∠C4E=120 (2)∠MAE=2∠CAM-30°或∠MAE=330°-2∠CAM (3)m+n=60或m+n=240或m-n=120或n-m=60 【分析】(1)本题考查角度的加减，根据m+n=0得到m=0,n=0结合角度关系即可得 到答案； (2)本题考查三角板摆放角度问题，分当三角板ABC的边AB在直线MN上方，和当三角板ABC 的边AB在直线MN下方两类讨论即可得到答案； (3)本题考查三角板摆放角度问题，分类讨论三点位置关系求解即可得到答案： 【详解】(1)解：当m+n=0时， 此时m=0且n=0, .∴∠CAE=∠CAB+∠EAD=900+30°=120； （2)解：.n=2m, .0<m≤75， ①当三角板ABC的边AB在直线MW上方时，如图， 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 期末：专项提升 ©橙子学 学科网原创精品 .'∠CAM=180°-∠CAB-∠BAN=180°-90°-m=90°-m, .∴.m=90°-∠CAM, .'∠MAE=180°-∠EAD-∠DAN=180°-30°-n=150°-2m, ∴.∠MAE=150°-2(90°-∠CAM, 整理得：∠MAE=2∠CAM-30°， ②当三角板ABC的边AB在直线MW下方时，如图， .∴∠CAM=180°-∠CAN=180°-(90°-∠BAW)=180°-90°+m=90°+m, .∴.m=∠CAM-90°， ∴.'∠MAE=150°-2m, ∴·∠MAE=150°-2（∠CAM-90) 整理得：∠MAE=330°-2∠CAM; (3)解：由题意可得， ①当C,E在MN两侧时，如图所示， m+n=180-90-30=60, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10