专项6 线段中的动点问题-北师大版七年级上册期末专项（初中数学）

期末·专项提升 子学 学科网原创精品 专项6线段中的动点问题 答案解析 1.(1)7.5cm (2)acm 【分析】(1)由题意可得MC=-AC,NC=BC,再根据已知边长求解即可; (2)由题意可得MC=-AC,NC=-BC,再根据已知条件求解即可; 【详解】(1):点M,N分别是AC,BC的中点 .MC-AC,NC=BC, .AC=9cm,CB=6cm, '.MN=MC+CN=AC+BC=(AC+B)=\15=7.5c m;$$ (2):点M,N分别是AC,BC的中点, .MC-ACNC=BC. ..AC+CB=acm. .MN=MC+CN-AC+BC=(AC+BC)-acm; 【点晴】本题主要考查了线段中点的有关计算,准确分析计算是解题的关键 2.(1)(i)10(i)x=6;x=5(2)(1) 75(iì)①a的值为30”,90*,105^②当 =105*或125^时,存在B0C=2A0D 【分析】(1)(1)根据线段中点,可得答案;(i1)根据线段中点的性质,可得方程,根 据解方程,可得答案. (2)(1)根据平角的定义即可得到结论; (ii)①根据已知条件和角平分线的定义即可得 到结论;②当oA在oD的左侧时,当oA在oD的右侧时,列方程即可得到结论. 【详解】解:(1)(1):C为AB的中点 故答案为:10; (i)存在, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 子学 学科网原创精品 ①:P的速度2cm/s,o的速度是1cm/s, ..APBQ, 又AC=BC, .PC+CQ '.c不是线段P0的中点; ②p为线段co的中点,得 $(2x-10)=10-x,解得$=6; ③o为线段PC的中点,得 $$-10=2(10-x),解得x-15$$ 综上所述:x-6或x-15. (2) (1):A0B=45*,$C0D=6 0* . BOD=180*- AOB-COD=75 *$$$$$ 故答案为:75; (ii) ①当oB平分乙AoD时, .4OE-a,COD=60,$$ . AOD=180*-4OE-$COD=120*-$$$ 2 .a=30, 当oB平分之AOC时. .乙4OC=180*-. 2 :=90; 当oB平分DoC时. .乙DOC-60*. 乙BOC-30*. .=180*-45*-30-105-* 综上所述,旋转角度a的值为30{,90{,105 ~ 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 _子学 学科网原创精品 ②当oA在0D的左侧时,则乙AOD=120*-,BOC-135^*-, BOC-2/AOD, :135*-a=2(120*-2). :.2-105*; 当$A在0D的右侧时,则 AOD=a-120*,B0C=135^*}-, -·乙BOC-2乙AOD. :135*-a=2(a-120). .a=125o, 综上所述,当x-105*}或125^时,存在 B0C=2A0D$ 【点睛】本题考查了两点间的距离,角的计算,特殊角,角平分线的定义,利用线段中点的性 质得出关于x的方程是解题关键,要分类讨论,以防遗漏 3.(1)DE的长为12; (2)DF的长为12; (3)当t-2或t-)时,之间的距离为6; 【分析X1)由AB=24,AC=8,则BC=16,由点D、E分别是AC和BC的中点,则DC=4.CE=8 即可得到答案; (2)由AB=24,sC-a,则AC=24-a,由点D、E分别是AC和BC的中点,则DC=12- a.CF-a,即可得到答案; (3)由AP-31.BQ-6r,则AP+PQ+BQ=24或4P+BO-PQ-24,即可得到答案. 【详解】(1)解::AB=24,AC=8, .BC-16, .点D、E分别是AC和BC的中点 .DC=4,CE=8. :DE-DC+CE-12,即DE的长为12; (2)解:.AB=24,BC-a .AC-24-a. :点D、E分别是AC和BC的中点 .DC=12-nCF-d 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 子学 学科网原创精品 DF-DC+CE=12,即DE的长为12 (3)解::AP=3t,BO=6t$ 如图, #60# .AP+PQ+BQ=24. 如图, ##0分# '.AP+BQ-PO-24, 3+6+6=2 43t+6-6 - 2 4$ 解得:t-2或t-1 :当t=2或t=1时,之间的距离为6 【点睛】本题考查了线段的中点,线段的和差倍分,一元一次方程的应用,解题的关键是根据 题意画出图形,得出线段之间的关系式 4.(1)6;(2)6;(3)或2 【分析】(1)根据图形,由AB=12,AC=4得出BC=8再根据点D,E分别时AC和BC中点,得 出DC,EC,再根据线段的和求出DE (2)根据图形,由AB=12,BC=m得出AC=12-m再根据点D,E分别时AC和BC中点,得出DC EC,再根据线段的和求出DE, (3)用含t的式子表示AP,BO,再画出两种图形,根据线段的和等于AB,得到两个一元一次方 程,即可求出. 【详解】解:如图 (1)''AB=12,AC=4 .BC=8 :点D,E分别时AC和BC中点 ..DC=2, BC=EC=4 '. DF=DC+CF=6 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 子学 学科网原创精品 (2)'·'AB=12, BC=m '.AC=12-m :点D,E分别时AC和BC中点 .DC=6m,BC=EC-" .. DE=DC+CE=6 (3)由题意得,如图所示 AP=3t,BO=6t '. AP+PO+BO=12或AP+BO-PO=12 '.3t+6+6t=12或3t+6t-6=12 解得t-2或t-2 故当t-或t=2时,P,Q之间的距离为6 【点睛】本题考查了线段的中点,线段的和差倍分,解题的关键是根据题意画出图形,得出线 段之间的关系式. 5.(1)MN=8厘米 (2)MN- (3)①t-256②t-4或1 【分析】本题考查了线段的中点和计算,利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键 要分类讨论,以防遗漏. (1)根据中点的定义、线段的和差,可得答案 (2)根据中点的定义、线段的和差,可得答案 (3)①分为Q为线段Pc的中点和c为线段PQ的中点,利用线段中点的定义,可得方程,根据 解方程,可得答案; ②分为C为线段Po的中点和点o为线段cP的中点,利用线段中点的定义,可得方程,根据解 方程,可得答案 【详解】(1)解::线段AC=10厘米,BC=6厘米,点M,N分别是AC,BC的中点 .CM=-AC=5厘米,CN=-BC=3厘米 _ 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 子学 学科网原创精品 MN=CM+CN=8厘米;$ (2).点M,N分别是AC.BC的中点 .CM=AC.CN-BC, .MN=CM+CN-AC+BC=; (3)解:①当5<t<15时,PP线段cQ的中点,2t-10=16-3t, 解得:-2 ②当0<t<5时,c是线段PQ的中点,得10-2t=6-t 解得t-4; 6-t=3t-16 解得t- 当6<t<8时,$c为线段PQ的中点,2t-10=t-6 解得t一4(舍), 综上所述:t=4或. 6. (1)①3cm; ②见解析 (2)9cm或11cm 【分析】本题考查了两点间的距离,涉及列代数式: (1)①先求出PB、cP、DB的长度,然后利用CD-CP+PB-DB即可求出答案;②用:表示 出AC、DP、CD的长度即可求证AC三2CD (2)当t三2时,求出cP、DB的长度,由于没有说明D点在C点的左边还是右边,所以要分 情况讨论; 注意分类是解题的关键 【详解】(1)解:①当t=1时,CP=2x1=2cm,DB=3x1=3cm. .AP=8cm,AB=12cm, *.PB=AB-AP=12-8=4cm '.CD=CP+PB-DB=2+4-3=3cm, ②:AP-8cm,AB-12cm, _ 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 子学 学科网原创精品 '.PB=4cm,AC=(8-2t)cm '.DP=(4-3t)cm, '.CD=DP+CP=4-3t+2t=(4-)cm ..AC=2CD; (2)解:当t=2时,CP=4cm,DB-6 c m, ①当点D在点C的右边时,如图①所示 A CD P B 图① '.CB=CD+DB=1+6=7cm, '.AC=AB-CB=12-7=$$c m$$ '.AP=AC+CP=5+4=9$cm$$ ②当点D在点C的左边时,如图②所示 A DC PB 图② '.AD=AB-$DB=$12 -$6 =6 $ m$$$$$ '.AP=AD+CD+CP=6+1+4=11cm, 综上所述,AP的长为9cm或11cm 7. 5cm 11cm/s或3.6cm/s 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用,正确理解题意、找准相等关系是解题的关键 (1)根据AO:BO-1:4得AO--AB,代入即可求解; (2)由于点P,O只能在直线AB上相遇,而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况,先求出 点P旋转到线段AB上的时间,设点O的速度为v(m/s),然后根据速度、路程、时间的关系列 出方程,解方程即得答案 【详解】(1):A0:B0=1:4,AB=A0+OB, :AO一AB. *AB=25cm 故答案为:5cm (2):初始位置乙POB-60*, _ 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 子学 学科网原创精品 .初始位置乙A0P=120*; 点P旋转到直线AB上的时间为120=2s或120+180=5s; 60 60 设点。的速度为v(cm/s). *点P,O只能在直线AB上相遇 .当点P第一次到达直线上AB时 即当2秒时P、O相遇,依题意得 $ v-25-5+2, 解得y=11; 当5秒时相遇,依题意得 5=25-5-2 解得y=3.6. 所以点0的速度为11cm/s或3.6cm/s 8.(1)10 (2)存在,当x=6s或7.5s时,C.P.0三点中,有一点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】此题主要考查了两点间的距离,线段中点的定义,线段的计算,理解线段中点的定义 根据线段中点的定义进行分类讨论,并列出方程是解决问题的关键 (1)根据线段AB=20cm,C为AB的中点即可得AC的长 (2)依题意得:AP=2xcm.BQ=xcm,AC=BC=10cm,然后分三种情况讨论如下:①当点 C为P0的中点时,②当点P为C0的中点时,③当点O为PC的中点时,再根据每一种情况画 出图形,利用线段中点的定义列出方程求出x即可. 【详解】(1):线段AB=20cm,C为AB的中点 .AC=BC-AB--x20=10(cm). (2)存在. 依题意得:AP=2xcm,BQ=xcm. 由(1)可知:AC=BC=10cm 分三种情况讨论如下 ①当点C为Po的中点时:则PC=QC,如图1所示 图1 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 子学 学科网原创精品 ·PC=AC-AP=(10-2x)[cm,C=BC-B0=(10-$t) cm$ .10-2x=10-x, 解得:x=0(不合题意,舍去); ②当点P为C0的中点时,则PC=PQ,如图1所示: C PO 1{ A 图2 :PC=AP-AC=(2x-10)cm .BP=AB-AP=(20-2x)cm .PQ=BP-BQ=20-2xt-=(20-3x)$c m, .2x-10=20-3x, 解得:x=6; ③当o为Pc的中点时,则Pc=2cQ,如图2所示: -12 图3 ·PC=AP-AC=(2x-10)cm,CO=BC-BO=(10-x)$c m .2x-10=2(10-x). 解得:x=7.5. 综上所述:当x=6s或7.5s时,C.P.0三点中,有一点恰为另外两点所连线段的中点 9.(116,8 (2)①t=12s或20s或36s; ②存在,t=8s 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题, 线段等分点的相关计算,列一元一次方程 解决实际问题等知识,解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形 (1)根据比值列方程或直接列乘积式求得结果 (2)①分为相遇前,相遇后以及M点返回三种情形,通过线段图列方程求得; ②分为相遇 前(点M在BC上,N在AD上),此时CM三AN即可列出方程求得,当M点返回时,点M在AD 上,点V在BC上,此时AM三CN,列出方程求得 故答案是:16,8; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 橙子学 学科网原创精品 当M到达E点时,t=48=24s,$ 如图1, 21-12-1→ 4 E 图1 当0<t<16时,2t+12+t=48, ..t=12, 如图2, 2t 图2 当12<t<24时,2t-12+t=48$ ..t-20, 如图3, 12 图3 当2 4<t<48时,t=2t-48+12 ..t=36, 综上所述;t=12s或20s或36s ②如图4. A(E) M 图4 当0<t<16时. 由AN-CM得,24-2t=t, .t-8, 如图5, 10 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 专项6线段中的动点问题 中等题 1.如图，点C在线段AB上点M,N分别是AC,BC的中点. (1)著AC=9cm,CB=6cm,求线段MN的长； (2)若C为线段AB上任-点，满足AC+CB=acm,其它条件不变，求线段MN的长. A N B 2.(1)如图，线段AB=20cm,C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段 AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A 停止.若P,Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止.设点P的运动时 间为x(x>0)5. →七 (1)AC= cm. (ⅱ)是否存在某一时刻，使得C,P,Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？ 若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由 (2)一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边0A、0C与直线EF上，∠A0B=45°， ∠C0D=60°. (1)∠B0D= 度」 (ii)如图，三角板COD固定不动，将三角板A0B绕点O按顺时针方向旋转角a(即∠AOE=a), 在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方. ①当0B平分0A,OC,0D其中的两边组成的角时，a= ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足∠B0C=2∠A0D?若存在，求此时的角a;若不存 在，请说明理由。 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 3.如图1，已知线段AB=24,点C为线段AB上的一点，点D、E分别是AC和BC的中点. A D C E B A 图1 备用图 (1若AC=8,则DE的长为 (2)若BC=a,求DE的长： (3)动点P,Q分别从A,B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段AB向右 匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多 少秒时P,Q之间的距离为6？ 4.如图①，已知线段AB=12,点C为线段AB上的一点，点D,E分别是AC和BC的中点. A D C ② B ① (1)若AC=4,则DE的长为 (2)若BC=m,求DE的长； (3)如图②，动点P,Q分别从A,B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度 的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时 间为t秒，问当t为多少时，P,Q之间的距离为6？ 5.如图①，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M,N分别是AC, BC的中点 A M CN B 图① 图② (1)求线段MN的长度； (2)根据第(1)题的计算过程和结果，设AC+BC=a,其他条件不变，求MN的长度： (3动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B,点 Q以1厘米/秒的速度沿BA向左运动，终点为A,当一个点到达终点，另一个点也随之停止运 动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段CQ的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 困难题 6.如图所示，点P是线段AB上任意一点，AB=12cm,C,D两点分别从点P,B同时向点 A运动，且点C的运动速度为2cm/s,点D的运动速度为3cm/s,运动时间为t5. 国原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 A←CPD←B (1)若AP=8cm: ①两点运动1s后，求cD的长： ②当点D在线段PB上运动时，试说明：AC=2CD; (2)当t=2s时，CD=1cm,试探索AP的长， 7.已知：线段AB=25cm.AO:B0-1:4,P0-2cm,∠POB-60°，动点C从点P出发，绕着 点O以60度秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若C、 Q两点能相遇， (1)A0= (2)动点Q的速度可以是 8.如图，线段AB=20cm,C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向 右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A停止.若 P,Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止.设点P的运动时间为x(x >0)5. A P (1)AC =cm. (2)是否存在某一时刻，使得C,P,Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在， 求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由 9.如图1，已知线段AE=48cm,点B、C、D在线段AD上，且AB:BC:CD:DE=1:2:1:2. A(E) D 图1 图2 (1)BC= cm,CD= cm; (2)已知动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿A-B-C-D-E向点E运动；同时动点N从点E 出发，以1cm/s的速度沿E-D-C-B-A向点A运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直 3 6】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 到点N到达点A,运动停止；设运动的时间为t. ①求t为何值，线段MN的长为12cm: ②如图2，现将线段AE折成一个长方形ABCD(点A、E重合)，请问：是否存在某一时刻， 以点A、B、M、N为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在， 求出t的值；若不存在，请说明理由， 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！