专项2 绝对值的化简与几何意义-北师大版七年级上册期末专项（初中数学）

期末·专项提升 橙子学 学科网原创精品 专项2绝对值的化简与几何意义 中 等 题 1. )个 A. 2 B. 3 C. 4 D.5 2.在数轴上表示有理数a,b,c的点如图所示,若a+b<0,ac<0,则下面四个结论:①abc<0 ②b+c<0;③lal-lbl>0;④la-cl<lal;其中-定成立的结论个数为 ). # C.3 B.2 A.1 D.4 3.(1)如果a,b互为相反数(a,b均不为0),c,d互为倒数,lml=4,则=__,求 _-cd+#xm的值; 2024 (2)若实数a,b满足lal=3,lbl=5,且a<b,求a+-b的值. 4. 有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且lal>lbl,代数式la-cl-la-bl+lbl+l2al 的结果是 #_△# 5.已知:数a,b,c在数轴上的对应点如图所示,化简la+l-l-3c|-la+b-cl的值是 _ b0 B. 4c A. -2c C.2c D. 2a+2b+2c 6. 我们记一对有理数a,5为数对(a.b).如果数对(a.b)使等式a+b+1=ab成立,则称之为 “有趣数对”. (1)如果数对(m,)是“有趣数对”,那么({}m)是“有趣数对”吗?请说明理由; (2)如果数对(x)2)是“有趣数对”,求x4-2x2+1的值; (③)如果a和5互为相反数,那么(a.b)是“有趣数对”吗?请说明理由 7. 有理数a:b,c在数轴上的位置如图所示,化简:la+bl-la+d+lb-cl. 8. 我们知道,lal可以理解为la-0,它表示:数轴上表示数a的点到原点的距离,这是绝对 1 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 _子学 学科网原创精品 值的几何意义.进一步地,数轴上的两个点4.B,分别用数a.b表示,那么4.B两点之间的距离 为lABa-b,反过来,式子la一b的几何意义是:数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的 距离,利用此结论,回答以下问题 (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 数轴上表示数一1的点和 表示数一3的点之间的距离是 (2)数轴上点A用数a表示,若la-5,那么a的值为 (3)数轴上点A用数a表示: ①若la-3=5,那么a的值是 ②当la+21+la-3l=5时,数a的取值范围是_,这样的整数a有__ ③la-3+la+2017|有最小值,最小值是 9. 现们知道,在做轴上,lal表示的点到原点的距离,这是绝对值的几何意义..进一步地,数 轴上两个点A、B,分别用a、5表示.即么A. B点之间的距离为;AB=la-引.利用此结论,回 答以下问题: (1)数轴上表示1和4的两点的距离是 数轴上我示-1和-4的两点之间的距离是 (2)]a-1=2,则a-_,a-1]+a+3]=6,则a- (3)当a-1+a+3取最小值时,此时符合条件的非负整数a是_. (4)如图,已知AB分别为数轴上的两点,点A表示的数是-30,点表示的数是50,现有一只 蚂蛟P从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动,同时另一只蚂蚁Q恰好从点 A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动,设t秒后两只蚂蛟相距10个单位长度 求此时点P表示的数是多少? -30 10. 有理数a,6,c表示的点在数轴上的位置如图所示 (2)化简la+cl-lc-bl-2lb+al 困 难题 11. 我们知道,lal可以理解为h-叫,它表示:数轴上表示数a的点到原点的距离,这是绝对 _ 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 _子学 学科网原创精品 值的几何意义.进一步地,数轴上的两个点A,B,分别用数a,b表示,那么A,B两点之间的 距离为AB=la一b,反过来,式子la一bl的几何意义是;数轴上表示数a的点和表示数b的点 之间的距离,利用此结论,回答以下问题 (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 数轴上表示数一1的点和表 示数一3的点之间的距离是 (2)数轴上点A用数a表示,则 ①若la-3l-5,那么a的值是 ②la-3+la+6l有最小值,最小值是; ③求la+1l+la+21+la+3l+.+la+2021l+la+2022l+la+2023{的最小值. 12.综合与实践: 问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点 之间的距离4B-a-外.利用数形结合思想回答下列问题 (1)数轴上表示1和7两点之间的距离是 ;数轴上表示3和-2的两点之间的距离 是 独立思考: (2)数轴上表示x和一3的两点之间的距离表示为 (3)试用数轴探究:当m一21三3时n的值为 实践探究:利用绝对值的几何意义,结合数轴,探究 (4)利用数轴求出x一1+1x一4的最小值,并写出此时x可取哪些整数值 (5)当lm+1+m-9+lm-16的值最小时,m的值为(直接写出答案即可). 13. 我们知道lx的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即x=x一0l,也就是 说xl表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离,例:x一3=2表示在数轴上数x与数3 对应点之间的距离为2. 这个结论可以推广为:x一y表示在数轴上数x、y对应点之间的距 离,在解题中,我们常常运用绝对值的几何意义 根据上面的阅读材料,结合数轴解答下列问题 (1)方程xl=5的解是x= 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究 期末·专项提升 子学 学科网原创精品 (2)方程lx-2l=3的解是x= (3)解方程x-31+x+2l=9 (4)代数式1x+4+x+1|+x-2+|x-2023l的最小值为 14. 阅读下列材料; 我们知道|x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即x=x一0,这个结论可 以推广为x.一x2l表示在数轴上数x、x对应点之间的距离;在解题过程中,我们经常会应用 绝对值的几何意义来帮助我们分析问题 例如在解含有绝对值的方程-2-1时,我们可以利用绝对值的几何意义把问题理解成在数轼 上找一点到2的距离等于1,如图1所示,显然这样的点有2个,对应的数分别为1,3,即原 方程的解为x=1或x三3;并且我们还可以把图中阴影部分理解成到2的距离大于1的点在数 轴上所对应的取值范围,即不等式x一2>1的解可表示为x>3或x<1;同样的,我们可以 利用绝对值的几何意义把解方程x+11+x一2=5的过程理解成在数轴上找到一点使它与 -1和2的距离之和为5. __ 图1 图2 (1)参考以上阅读材料,回答下列问题; ①求出方程x+3-2的解为_; ②若m=x-21-x+4,则的取值范围可表示为 (②)现给出如下定义:对于数轴上的任意点P、 若点P到点的距离为d(d>0),则称 为点P到点的追随值,记作dlPOl.例如,在数轴上点P表示的数是2,点表示的数是-5 则点P到点的追随值为d[POl三7.如图,点C表示的数是1,在数轴上有两个动点A、B都 沿着正方向同时移动,其中A点的速度为每秒3个单位,B点的速度为每秒1个单位,点A从 点C出发,点B从点)出发,点)表示的数是n,设运动时间为t(t0). ①当n=4时,问z为何值时,点A到点B的追随值d[AB]=2; ②若o<t<3时,点A到点B的追随值d[AB]<7,求n的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 专项2绝对值的化简与几何意义 答案解析 1.C 【分析】本题考查了绝对值运算.根据α、b、c的符号分情祝讨论，再根据绝对值运算进行化 简即可得， 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当a、b、c全为正数时，原式=1+1+1=3， ②当a、b、c中两个正数、一个负数时，原式=1+1-1=1， ③当a、b、c中一个正数、两个负数时，原式=1-1-1=-1， ④当a、b、c全为负数时，原式=-1-1-1=-3， 综上所述，所求式子的所有可能的值有4个， 故选：C 2.A 【分析】本题主要了数轴，绝对值，有理数的加法和乘法法则，解题的关键是掌握和的符号与 加数的关系.根据已知得出a<0,c>0,1a>1bl,的符号无法确定，再逐个判断即可. 【详解】解：ac<0, ..a<0,c>0, .'a+b<0, .lal>Ibl, ①的符号无法确定，故abc<0不一定成立，故①不符合题意： @,的符号无法确定，故b+c<0不一定成立，故②不符合题意： ③.la>1b,∴.la-bl>0,故③一定成立，符合题意； ④.a<0,c>0, 原点在点A和点C之间， “,la-c表示点A与点C之间的距离，la表示点A到原点距离， ∴la-c>lal,故④不成立，不符合题意： 综上：一定成立的结论有③，共1个， 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 故选：A 3. (1)-1,-5或3；(2)a+b的值是或- 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得 出式子的值是解题关键， (1)利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值， (2))利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值. 【详解】解：(1)由题意得：=-1， 故答案为-1， a+b=0,cd=1,lm=4,即m=±4， 当m=4时，原式=02-1+(-1)×4=-5： 当m=-4时，原式=02-1+(-1)×(-4)=3 综上所述，原式的值是-5或3. (2)la=3,lbl=5, a=±3，b=±5 a<b, a=±3，b=5. 当a=3,b=5时，a+b=3+×5=号 当a=-3,b=5时，a+b=-3+×5=-青 综上所述，a+的值是或-手 4.-c 【分析】根据数轴得出c<a<0<b,即可求解 【详解】解：由图可知，c<a<0<b,且la>bl, 原式=la-c-la-bl+lb+l2a =a-c-(b-a)+b-2a =a-c-b+a+b-2a =-c】 故答案为-c 国原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 【点睛】本题主要考查了绝对值的计算，根据图得出数值之间的大小是解题的关键. 5.B 【分析】本题考查了整式的加减运算，应用到的知识有：绝对值的代数意义，数轴，整式的加 减，其中判断出铯对值号里式子的正负是解本题的关键.由图示可得c<b<0(a,lalb,所 以a+b>0,-3c>0,a+b-c>0,然后化简绝对值，再算加减即可. 【详解】解：，c<b<o(a,lal)lbl, .a+b>0,-3c>0,a+b-c>0, ..la+81-1-3c1-la+b-cl =a+b+3c-a-b+c =4c. 故选B. 6.(1)(,m)是“有趣数对”，理由见解析 (2)64 (3)(a,b)不是“有趣数对”，理由见解析 【分析】(1)本题考查新定义及一元一次方程的应用，根据新定义列方程求解，在代入判断 即可得到答案； (2)本题考查根据新定义求解，根据新定义列式求出x2=9,x4=81,代入求解即可得到答 案； (3)本题考查新定义，根据相反数及新定义列式判断左右两边是否相等即可得到答案， 【详解】(1)解：(m)是“有趣数对”， m++1=m, .m■-7， 把a=是b=-7代入a+b+1=ab中，左边=右边=-生 所以(，m)是“有趣数对”， (2)解：依题意得引x+2+1=2lx, 解得x=3 .x2=9,x4=81, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 ∴.x4-2x2+1=81-2×9+1=64: (3)解：，a和五互为相反数， ∴.a+b=0,且ab≤0 .a+b+1=1≠ab, ∴(a,b)不是“有趣数对”. 7.-2a-2b 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号， 先推出a+b<0,a+c>0,b-c<0,据此去绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简 即可. 【详解】解：由数轴上点的位置可知a<0<b<c,lc>lal>lb, .a+b<0,a+c>0,b-c<0, ∴.la+bl-la+c+lb-cd =-(a+b)-(a+c)-(b-c) =-a-b-a-c-b+c =-2a-2b. 8.(1)5;2;(2)5或-5；(3)①-2或8；②-2≤a≤3,6；③2020. 【分析】（1)根据两点之间的距离公式进一步计算即可； (2)根据绝对值的定义求解即可； (3)①利用绝对值的定义可知a-3=5或-5，然后进一步计算即可；②1a+21+1a-3引=5 的意义是表示数轴上到表示-2和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即 可；③1a-3引+1a+20171是表示数轴上表示3与表示-2017的点的距离之和，然后进一步求 解即可. 【详解】（1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：8-3=5； 数轴上表示数-1的点和表示数-3的点之间的距离是：-1-(-3)=2， 故答案为：5,2： (2)若1a=5,则a=5或-5， 故答案为：5或-5； (3)①若1a-3引=5，则a-3=5或-5， .a=8或-2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 故答案为：-2或8； @,la+21+|a-3引=5的意义是表示数轴上到表示-2和表示3的点的距离之和是5的点的 坐标， ∴.-2≤a≤3，其中整数有-2、-1、0、1、2、3共6个， 故答案为：-2≤a≤3,6： ③，1a-3引+|a+2017是表示数轴上表示3与表示-2017的点的距离之和， ∴.当-2017≤a≤3时，la-3引+1a+20171有最小值， 此时最小值为：3-(-2017)=2020， 故答案为：2020. 【点睛】本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键 9.(1)3,3 (2)3或-1，-4或2 (3)0、1 (4)8或-4 【分析】(1)根据绝对值的几何意义即可得到答案； (2)由绝对值的几何意义，找出满足条件的点表示的数即可； (3)根据绝对值的几何意义可得a的范围，从而得到答案； (4)表示出P、Q表示的数，列方程即可解得答案 【详解】(1)解：表示1和4的两点的距离是|1-4|=-3|=3， 表示-1和-4的两点之间的距离是|-1-(-4)=|3|=3， 故答案为：3,3； (2）.a-1=2, ∴.表示a的点到表示1的点的距离为2， ∴.a=3或-1， .1a-1+a+3引=6 ∴.表示a的点到表示1和-3的点的距离之和为6， ∴.a=-4或2， 故答案为：3或-1,4或2； (3)1a-1+a+3的意义是：表示数a的点到表示1和-3的点的距离之和， ∴.当-3≤as1时，1a-1+1a+3的值最小，最小值为4， 5 国原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 此时a可以取的非负整数是0、1， 故答案为：0、1； （4)由已知可得，点P表示的数是50-3t,点Q表示的数是-30+2t, .两只蚂蚁相距10个单位长度， ∴.(50-3t)-(-30+2t)=10,即180-5=10， ∴.80-5t=10或80-5=10， 解得=14或t=18, 当=14时，50-3=50-3×14=8， 当=18时，50-3=50-3×18=4， .点P表示的数是8或-4 【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离，涉及绝对值，解方程等知识，综合程 度较高，掌握绝对值的几何意义是解题的关键。 10.(1)-1 (2)a+3b-2c 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号： (1)根据题意可得a<b<0<c,则ab>0,据此化简铯对值即可； (2)先推出a+c<0,c-b>0,b+a<0,据此化简铯对值即可. 【详解】（1)解：由题意得，a<b<0<c .ab>0, 世+世+密 ab =-8+-b,ab a+b+ab =-1-1+1 =-1； (2)解：由题意得，a<b<0<c,la>lbl>lcl, .a+c<0,c-b>0,b+a<0, .'.la+cl-lc-bl-21b+al =-(a+c)-(c-b)+2(a+b) =-a-c-c+b+2a+2b 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 =a+3b-2c. 11.(1)5,2 (2)①8或-2：②9；③1023132 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步 探索变化规律是解题的关键 (1)根据两点间的距离公式求解即可： (2)①利用绝对值的定义可得a-3=5或a-3=-5,即可求解；②由|a-3引+a+6表示： 数轴上表示数α的点到3的距离与表示数α的点到-6的距离之和，根据两点间线段最短即可求 解；③该式子表示数轴上点a到-1、-2、-3、、-2023的距离之和，根据两点之间线 段最短和绝对值的意义可知：当α=-1012时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公 式计算即可 【详解】（1)解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：8-3引=5， 数轴上表示数-1的点和表示数-3的点之间的距离是：-3-(-1)川=2， 故答案为：5,2 (2)①若1a-3引=5，那么a-3=5或a-3=-5, 解得：a=8或a=-2, 故答案为：8或-2 ②1a-3引+|a+6表示：数轴上表示数a的点到3的距离与表示数a的点到-6的距离之和， 由两点间线段最短可知：当-6≤a≤3时，la-3引+|a+6有最小值，最小值是6-(-3)=9， 故答案为：9： ③la+1|+1a+2|+la+3|+…+la+2021+la+2022+|a+2023l的中间一项是|a+ 1012, :当a=-1012时，原式有最小值， .la+1|+la+2|+|a+3|+…+|a+2021|+la+2022+a+2023 =2×(1011+1010+…+3+2+1) =2×+1011)×1011 2 =1023132 ∴1a+1+1a+2|+|a+3|+…+1a+2021|+la+2022+la+20231的最小值是1023132. 12.(1)6,5;(2)x+3:(3)5或-1；(4)3：1、2、3、4：(5)9 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 【分析】(1)用大数减小数便可求得两点的距离： (2)根据定义用代数式表示； (3)分两种情况：m点在2的左边；m点在2的右边；分别列式计算便可； (4)确定x与1的距离加上x与4的距离之和最小时，x的取舍范围，再在该范围内求整数： (5)m+1|+1m-91+m-16表示数轴上某点到表示-1、9、16三点的距离之和，依此即 可求解， 【详解】解：(1)数轴上表示1和7两点之间的距离是：7-1=6； 数轴上表示3和-2的两点之间的距离是3-(-2)=3+2=5， 故答案为：6；5： (2)数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为x+3|, 故答案为：x+3: (3)m-2=3表示数m的点与表示数2的点距离为3， 当表示数m的点在2的左边时，m=2-3=-1, 当表示数m的点在2的右边时，m=2+3=5, 所以m=-1或5， 故答案为：-1或5； (4)~x一1表示数轴上x和1两点之间的距离，x-4表示数轴上x和4两点之间的距离， 当且仅当1≤x≤4时，两距离之和最小， x可取的整数有：1,2,3,4. (5)~m+1表示数轴上m和-1两点之间的距离，m-9表示数轴上m和9两点之间的距离， m-16表示数轴上m和16两点之间的距离， 当且仅当m=9时，距离之和最小， :当1m+11+|m-91+m-161的值最小时，m的值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是 解题的关键， 13.(1)±5 (2)5或-1 (3)x=5或-4 (4)2030 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 【分析】(1)由x的几何意义，即可求解： (2)可得x-2=±3，即可求解； (3)可得1x-3引+x-(-2训=9，所以表示x到表示3的点与到表示-2的点的距离和为9： ①当x在-2与3之间时，x-3引+1x-(-2川=5≠9，可判断所以表示x点在表示3的点右 边或在表示-2的点的左边；②当表示x点在表示3的点右边时，此时x>3,去绝对值即可求 解；③表示x点在表示-2的点的左边时；此时x<-2,去绝对值即可求解： (4)x+4|+lx+1|+lx-2+x-2023=x-(-4)川+x-(-1)川+lx-2+lx-2023, 由(3)的解法可得：①当x<-4时，②当-4≤x<-1时，③当-1≤x<2时，④当2≤x< 2023时，⑤当x≥2023时，分别去绝对值即可求解， 【详解】（1)解：由题意得 x=±5； 故答案：±5. (2)解：由题意得 x-2=士3 解得：x=5或-1： (3)解：由题意得 lx-3引+x-(-2)川=9， 所以表示到表示3的点与到表示-2的点的距离和为9； ①如图，当x在-2与3之间时， 4-3 由图得：x-3引+x-(-2)引=5≠9， 所以表示x点在表示3的点右边或在表示-2的点的左边； ②如图当表示x点在表示3的点右边时，此时x>3, 4-32-10 由图得：x-3+x+2=9, 解得：x=5; 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 ③如图，表示x点在表示-2的点的左边时；此时x<-2, 0 2-2 由图得：3-x+(-2-x)=9, 解得：x=-4; 综上所述：x=5或-4. (4)解：x+4|+x+1|+|x-2+lx-2023引 =x-(-4)川+lx-(-1)引+lx-2+lx-2023, 由(3)的解法可得： ①当x<-4时， 原式=-x-4-x-1-x+2-x+2023 =-4x+2020, 此时没有最小值： ②当-4≤x<-1时， 原式=x+4-x-1-x+2-x+2023 =-2x+2028, 此时没有最小值； ③当-1≤x<2时， 原式=x+4+x+1-x+2-x+2023 =2030, 此时最小值为2030： ④当2≤x<2023时， 原式=x+4+x+1+x-2-x+2023 =2x+2026, 当x=2时 此时最小值2×2+2026=2030； ⑤当x≥2023时， 原式=x+4+x+1+x-2+x-2023 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10