专项1 数轴与动点综合-北师大版七年级上册期末专项（初中数学）

期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 专项1数轴与动点综合 中等题 1.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A,B表示的数分别为a,b,则4，B两点之 间的距离表示为AB=|a-b.如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则AB=|2-3引=1. 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离 AB= B -20 13 拓展探究： (2)在(1)的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同 时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动.设运动时间为秒(t>0), ①用含的式子表示：秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为 ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数： ③求当t为何值时，P、Q之间的距离为5. 2.已知a是最大的负整数，b,c满足(b-9)2+Ic-2=0,数轴上点A对应的数为a,点B对 应的数为b,长度为c的线段CD在数轴上移动，设点C对应的数为x,点D在点C右侧， (1)a= ,b= ,c= (2)当点D移动到AB的中点时，求x的值 (3)当线段CD在射线BA上移动时，是否存在BD-AC=AD?若存在，求此时满足条件的x的值； 若不存在，请说明理由. 3.如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为-3和9. A 0 B (1)求线段AB的长； (2)当点P为线段AB的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点.请你画出相应的图形，并 求出线段MN的长 (3)当点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点.请你画出图形，并 探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由， 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 A B x 4.如图数轴上有两个点A、B,分别表示的数是-2,4.请回答以下问题： A B -2 4 (1)A与B之间距离为，A,B中点对应的数为_ (2)若点C对应的数为-3，只移动C点，要使得A,B,C其中一点到另两点之间的距离相等， 请写出所有的移动方法。 (3)若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒 5个单位长度的速度向左做匀速运动，P,Q同时运动： ①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？ ②当点P运动多少秒时，PQ之间的距离为3个单位长度？ 5.如图，数轴上有A、B两点，AB=12,原点0是线段AB上的一点，0A=20B A B (1)写出A、B两点所表示的有理数： (2)若点C是线段AB上一点，且满足AC=C0+CB,求点C所表示的有理数； (3)若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速 度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动.直 接写出当t为何值时，20P-00=4. 困难题 6.在数轴上，点A在原点0的左侧，点B在原点0的右侧，点A距离原点12个单位长度，点 B距离原点2个单位长度， (1)A点表示的数为 ,B点表示的数为 两点之间的距离为 (2)若点P为数轴上一点，且BP=2,求AP的值： (3)若点PQ同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点从点B出 发，且点P的运动速度是每秒6个单位长度，点Q的运动速度是每秒8个单位长度，点的运 动速度是每秒2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时 三个点表示的数各是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 7.如图，数轴上A,B两点表示的数分别是m,n满足(m+8)2+2n-20=0.点P从A点 出发以每秒2个单位的速度往点B的方向运动，点P出发1秒后，点Q从点B出发往点A的方 向运动，设点Q的运动时间为t秒，点P出发3秒钟后，点Q恰好位于线段PB的中点处， A P B (1)求mn的值，并求线段AB的长度； (2)点Q每秒运动多少个单位长度？ (3)当0=2P0时，求t的值 8.如图：在数轴上A点表示数a,B点表示数五，C点表示数c,且a,c满足引a+2+(c-8)2=0, b=1, A B (1)a= C= (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合。 (3)在(1)(2)的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式x-a+x一bl+ x-c得最小值时，此时x=」 ,最小值为 (4)在(1)(2)的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向 左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球 的大小，可看做一点)以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，请表示出 甲、乙两小球之间的距离d(用t的代数式表示) 9.在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 43201234→ B 4320234 图① 图② (1)应用一：已知图①，点A在数轴上表示为-2，数轴上任意一点B表示的数为x,则AB两点的 距离可以表示为，】 应用这个知识，请写出-1Hx+4有最小值为，此时x满足条 件 (2)应用二：在图①中，将数轴沿着点A折叠，若数轴上点M在点N的左侧，M,N两点之间距离 为12，M,C两点之间距离为4，且M,N两点沿着A点折叠后重合，则点M表示的数是 ；点N 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 表示的数是 ；点C表示的数是 (3)应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为AB=4,AC=3,C=5 的三角形ABC的顶点A与原点重合，AB边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿A→B→C→A 的顺序依次缠绕在三角形ABC的边上，负半轴的线沿A→C→B→A的顺序依次缠绕在三角形 ABc的边上.如果正半轴的线缠绕了圈，负半轴的线缠绕了n圈，求绕在点c上的所有数之和 (用n表示) 10.如图在数轴上点A、B表示的数分别为a、b,且满足|a+2|+1b一6=0. B (1)点4表示的数为 点B表示的数为 (2)若数轴上有一点C到点A和点B的距离相等，则点C表示的数为 (3)若该数轴可以折叠，点在数轴上，并且点E与点B之间的距离为2，若以数轴上一点D为折 点，将数轴对折后，点E折叠后与点A重合，则折点D表示的数为 (4)若在原点0处放一挡板，一只小蚂蚁甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一 只小蚂蚁乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略蚂蚁的大小，可 看作一点)以2个单位/秒的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)， ①当t=1时，蚂蚁甲到原点的距离= 蚂蚁乙到原点的距离= @当0<t<2时，蚂蚁乙到原点的距离= 蚂蚁乙到蚂蚁甲的距离 (均用含的代数式表示) ③殖接写出甲，乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时t的值. 11.如图1.在数轴上点表示的数为m,点W表示的数为，点”到点W的距离记为MN.我 们规定：MN的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN=n-m.请 用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a,点B表示数五，点C表示数c, 五是最大的负整数.且a,c满足(a+3)2与引c-5引互为相反数. M 5-432m10234→ B 图1 图2 (1)a=_,b=_,c=_i (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B 4 国原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后. ①请问：6BC-4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求 其值； ②探究：若点A,C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，3BC-4AB的值是否随着时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值 12.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22,动点P 从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒： (1)出数轴上点B表示的数；点P表示的数（用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出 发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出 发，问点P运动多少秒时追上点Q? (4)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段N的长度是否发生变化？ 若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段W的长。 B 0 A 0 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 专项1数轴与动点综合 答案解析 1.（1)15;(2)①-2+3t,13-2t②当t为3时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数是 7;③当t为4s或2s时，点P与点Q之间的距离是5个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示 的数. (1)根据阅读材料列式计算即可： (2)①向右运动，就用加法运算，向左运动，则用减法运算，再结合数轴上点表示数的特点 可得答案；②由P,Q两点相遇时，P,Q表示同一个数列方程可解得答案.③由P、Q之间的距 离为5列方程可解得答案 【详解】解：(1)“4表示的数为-2，点B表示的数为13， ÷AB=|13-(-2)川=15， 故答案为15. (2)①t秒后，点P表示的数为-2+3t,点Q表示的数为13-2t, 故答案为-2+3t,13-2t ②根据题意得：-2+3t=13-2t, 解得t=3, 相遇点所表示的数为-2+3×3=7， 答：当t为3时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数是7： ③由题得：-2+3t-(13-2t)川=5， 即15t-151=5, 解得t=4或t=2, :当t为4秒或2秒时，点P与点Q之间的距离是5个单位长度. 2.(1)-1,9,2 (2)x=2; (3)满足条件的x的值为1或-11. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负性，找到正确的数量关系是解题的关键， (1)由非负性可求解； (2)由题意可得点D对应的数为x+2,根据点D移动到AB的中点，列式计算即可求解； 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 (3)用x表示出BD、AC、AD,根据题意列出7-x=x+3引+|x+1,现分类求解即可. 【详解】(1)解：，a是最大的负整数，b,c满足(b-9)2+lc-2引=0， ..a=-1,b=9,c=2, 故答案为：-1,9,2； (2)解：设点C对应的数为x,点D在点C右侧， .点D对应的数为x+2, :点D移动到A的中点时，∴x+2=-2=4, 解得x=2; (3)解：，线段CD在射线BA上移动， .x+2≤9，即x≤7， ,'点C对应的数为x,点D对应的数为x+2,点A对应的数为-1，点B对应的数为9， .BD=9-(x+2)=7-x,AC=-1-x=x+1|,AD=|-1-(x+2)川=lx+3l, .BD-AC AD, ∴.7-x-x+1=lx+3,即7-x=lx+3引+x+1, 当-1≤x≤7时，7-x=x+3+x+1,解得x=1; 当-3≤x<-1时，7-x=x+3-x-1,解得x=5(舍去)； 当x<-3时，7-x=-x-3-x-1,解得x=-11; 综上，满足条件的x的值为1或-11. 3.(1)12: (2)如解析图，6； (3)MN的长度不会发生改变，6. 【分析】（1)根据数轴上两点间距离公式计算可得，即数轴上两点A、B表示的数分别为x1、 x2,则AB=|x1-x2: (2)先根据中点的意义，再通过线段和差即可可求出W-:48; (3)先根据中点的意义，再通过线段和差即可可求出0W=48. 【详解】（1)AB=9-(-3)=12: (2)如图， MO B x 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 ,'M为PA的中点，N为PB的中点， ∴MP=AP,NP=BP, :MN=MP+NP=(AP+BP)=AB, 由(1)得：AB=12, ∴.MN=6, (3)MN的长度不会发生改变，如图， PMA 0 N B x ,M为PA的中点，N为PB的中点， .MA=PM=AP,NP NB =BP, .MN NP-PM=(BP-AP)=AB. 由(1)得：AB=12, .∴.MN=6. 【点睛】此题考查了线段的计算和中点的性质及数轴的知识，解题的关键是把“数”和“形” 结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题 4.(1)6,1 (2)见解析 (3)①3秒；②1.5秒或4.5秒. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离以及数轴上的动点问题. (1)利用数轴上两点间距离的知识即可求解： (2)分情况讨论C点的运动，再根据距离来判断符合题意的可能情况； (3)设点P运动t秒，应用一元一次方程，分情况解决所有的可能即可. 【详解】(1)解：从、B分别表示的数是-2,4. ÷A与B之间距离为4-(-2)=6， A,B中点对应的数为1， 故答案为：6,1； (2)点C对应的数为-3， :当C点移动到-8位置时，A点到B、C两点的距离相等，都是6 当C点移动到1位置时，C点到B、A两点的距离相等，都是3； 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 当C点移动到10位置时，B点到A、C两点的距离相等，都是6： (3)①设点P运动t秒时，点P和点Q重合， 根据题意，得3t+6=5t, 解得：t=3(秒)， 点P运动3秒时，点P和点Q重合； ②设点P运动t秒时，点P和点Q之间的距离为3个单位长度， 尸，Q之间的距离为3个单位长度有两种可能， 当Q在P的右边时， 根据题意得5t-3t=6-3, 解得：t=1.5(秒)， 当Q在P的左边时， 根据题意得5t-3t=6+3, 解得：t=4.5(秒)， :当点P运动1.5秒或4.5秒时，P,Q之间的距离为3个单位长度 5.(1)A点所表示的有理数为-8，B点所表示的有理数为4 (2)点C所表示的有理数是- (3)1.6秒或8秒 【分析】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂， 要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的 距离等于任意两点表示的数的差的绝对值； (1)由40=2OB可知，将12平均分成三份，A0占两份为8,0B占一份为4，由图可知，A在原 点的左边，B在原点的右边，从而得出结论： (2)分两种情况：①点C在原点的左边，即在线段0A上时，②点C在原点的右边，即在线段0B 上时，分别根据AC=C0+CB列式即可： (3)分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，0P表示的代数式不同，0Q=4+t,分别代 入20P-0Q=4列式即可求出的值 【详解】（1)解：，AB=12,A0=20B, .A0=8,0B=4 ∴.A点所表示的实数为-8，B点所表示的实数为4： 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 (2)设C点所表示的实数为x, 分两种情况：①点c在线段0A上时，则x<0,如图1， A CO 图1 AC=CO+CB, .8+x=-x+4-x, 3x=4 ②点C在线段0B上时，则x>0,如图2， OC B 图2 AC=CO+CB, .8+x=4 x=一4（不符合题意，舍）： 综上所述，c点所表示的实数是- (3)当0<t<4时，如图3， A→P 0 B+0 图3 AP=21,OP=8-2h,BQ=1,OQ=4+1, 20P-00=4 2(8-21)-(4+0=4, 8 t=5=1.6, 当点P与点Q重合时，如图4， A O B→QP 图4 21-12+1,1=12 当4<t<12时，如图5， A 0 奇 图5 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 0P=2t-8,00=4+t 则2(2t-8)-(4+t)=4, t=8, 综上所述，当t为1.6秒或8秒时，20P-00=4. 6.(1)-12,2,14 (2)AP的值为12或16 (3)P点表示的数为-，Q点表示的数为-10，M点表示的数为-或P点表示的数为-48，Q 点表示的数为-48，M点表示的数为-10 【分析】本题考查了数轴的性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用： (1)根据原点左侧为负，原点右侧为正，再结合到原点的距离可得A、B两点表示的数，然后 根据数轴上两点间距离的求法计算即可； (2)根据BP=2求出P点表示的数，再分情况计算AP的值即可； (3)因为”点的速度为每秒2个单位长度，小于PQ的速度，因此”点永远在PQ的右侧.因 此分三种情况进行讨论：①Q在P和”的中间；②P在Q和的正中间；③重合时；分别列 方程求出时间t,然后可得三个点表示的数， 【详解】(1)解：：点A在原点0的左侧，距离原点12个单位长度；点B在原点0的右侧， 距离原点2个单位长度， ∴.A点表示的数为-12，B点表示的数为2， ∴.A、B两点之间的距离为2-(-12)=14， 故答案为：-12,2,14； (2).BP=2,B点表示的数为2， ∴.P点表示的数为2-2=0或2+2=4， 又，A点表示的数为-12， ∴.AP=0-(-12)=12或AP=4-(-12)=16, 即AP的值为12或16： (3)设运动时间为t, ①当点Q到点P、M两个点距离相等时， 可得：-12-6t+2-2t=2×(-8t), 解得1- 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 此时P点表示的数为-12-6×=-碧 Q点表示的数为-8×：=-10， M点表示的数为2-2×=- ②当P点到Q、M两个点距离相等时， 可得：-8t+2-2t=2×(-12-6t), 解得t=-13（舍). ③当P、Q重合时，即M点到P、Q两个点距离相等时， 可得：-12-6t=-8t, 解得t=6, 此时P点表示的数为-12-6×6=-48， Q点表示的数为-8×6=-48. M点表示的数为2-2×6=-10. 因此，P点表示的数为-Q点表示的数为-10，M点表示的数为-或P点表示的数为-48，Q 点表示的数为-48，M点表示的数为-10. 7.(1)m=-8,n=10:AB=18; (2)3; 3)减号 【分析】（1)根据平方数和绝对值的非负性，求解即可. (2)设Q每秒运动x个单位长度，根据题意确定等量关系警=BQ,列出一元一次方程求解即 可 (3)设点Q的运动时间为t秒，则点P运动时间为(t+1)秒，从而用时间t来表示点P和 点Q对应的数字.然后考虑两种情祝，当P在Q左侧时和当P在Q右侧时，分别确定即和P0 的长度，再根据0=2P0,列出一元一次方程求解即可. 【详解】（1)解：，∵(m+8)+2n-20|=0 .(+8)0,|2n-20>0 .∴.m+8=0 2n-20=0 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 解得：m=-8 n=10 ..AB=10-（-8)=18 (2)解：设Q每秒运动x个单位长度. BP =8Q 则18-2x3=2x 解得：x=3 ∴.Q每秒运动3个单位长度 (3)设点Q的运动时间为t秒， 则点P运动时间为(t+1)秒， 根据题意，点P对应的数字：-8+2(t+1) 点Q对应的数字：10-3t 当P在Q左侧时， ∴.B0=10-(10-3t)=3t P0=10-3t-[-8+2(t+1)]=-5t+16 由B0=2P0,得 3t=2(-5t+16) 解得：=器 当P在Q右侧，B0=2P0时， 则聊=3t P0=-8+2(t+1)-(10-3t)=5t-16 由Q=2PQ,得 3t=2(5t-16) 解得：t=男 .t=秒或=秒 13 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数 之间的关系，第三小题中列方程式时要注意分两种情况进行讨论， 8.(1)-2,8 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 (2)-9 (3)1;10 ④d=10-t0≤t35 3t-4(t>3.5) 【分析】(1)根据两个非负数的和为零则这两个数均为零即可得出答案； (2)先求出4B=3,则折点为AB的中点，求出折点表示的数，再求出C点与折点的距离，进 而得到C点对应的数即可； (3)当P与点B重合时，即当x=b时，x-a+lx-bl+x-c取得最小值： (4)分小球乙碰到挡板之前和之后，即当0≤t≤3.5，t>3.5时，表示出甲、乙两小球之间 的距离d即可， 【详解】(1)解：la+21+(c-8)2=0,la+2|≥0，(c-8)2≥0 a+2=0,c-8=0, a=-2,c=8; 故答案为：-2,8： (2)因为a=-2,b=1, 所以AB=1-(-2)=3, 将数轴折叠，使得A点与B点重合， 所以对折点为AB的中点， 所以对折点表示的数为：1×3=05， C点与对折点的距离为：8-(-0.5)=8.5，所以C点对应的数为-0.5-8.5=-9， 即点C与数-9表示的点重合， 故答案为：-9； (3)Ix-a+Ix-bl+lx-c表示PA+PB+PC, .当点P与点B重合，即x=b=1时，x-a+x-b+x-c有最小值为A,C两点间的距离， 即：lx-a+|x-bl+x-c的最小值为8-(-2)=10； 故答案为：1；10； (4)由题意，乙到达挡板处需要的时间为(8-1)÷2=3.5秒， ÷秒后，甲的位置是-2-t,乙的位置是{1+2-35=2t-6t>3.5) 8-2t(0≤t≤3.5) d=。2299:95 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 期末：专项提升 橙子学 学科网原创精品 【点睛】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，非负性，掌握数轴上两点之间的距离 求法是解决问题的关键 9.(1)k+2:54≤x≤1 (2)-8,4,-12或-4 (3)6m 【分析】（1)根据数轴上两点间的距离的表示来列式即可； (2)先判断出点M和点N到表示数-2的点的距离为6，即可得出结论； (3)分别找出正半轴和负半轴在点C上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和， 【详解】(1)已知图①，点A在数轴上表示为-2，数轴上任意一点B表示的数为x, 则AB两点的距离可以表示为x+2, 应用这个知识，|x-1|+x+4有最小值为4-(-1)=5， 此时x满足条件-4≤x≤1. 故答案为：+24≤x≤1； (2)~M,N两点沿着A点折叠后重合， :点M和点N关于表示数-2的点对称， :M,N两点之间距离为12， 点M和点N到表示数-2的点的距离都为；×12=6， ÷点M表示的数为-2-6=-8，点N表示的数为-2+6=4， M,C两点之间距离为4， .①当点C在点M左侧时，点C表示的数为-8-4=-12， ②当点C在点M右边时，点C表示的数为-8+4=-4， :点C表示的数为-12或-4。 故答案为：-8,4，-12或-4： (3)①如果正半轴的线缠绕了n圈，绕在点c的数分别为：9,21,33…， 点C的数为：9+12(n-1)=12m-3; 负半轴的线缠绕了n圈，绕在点c的数分别为：-3，-15，-27， 点c的数为：-3-12(n-1)=-12n+9; 则绕在点c上的所有数字之和为：(12n-3-12n+9)n=6n. 【点睛】此题考查了列代数式，绝对值的应用，数轴上两点间的距离的计算方法以及整式加减 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10