专题01 二次函数（7个考点清单+10种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题01 二次函数（7个考点清单+10种题型解读） 目录 【考点题型一】二次函数的定义 2 【考点题型二】把y=ax²+bx+c化成顶点式 5 【考点题型三】二次函数的图象和性质 7 【考点题型四】画二次函数y=ax²+bx+c的图象 9 【考点题型五】根据二次函数增减性求某区域的最值问题 15 【考点题型六】图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集 18 【考点题型七】二次函数的平移 20 【考点题型八】待定系数法求二次函数的表达式 23 【考点题型九】二次函数与一次函数或反比例函数共存问题 29 【考点题型十】根据二次函数y=ax²+bx+c的图象判断有关的信息 33 【知识点01】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【知识点02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【知识点03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【知识点04】抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【知识点06】用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 【知识点07】用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点题型一】二次函数的定义 【例1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24九年级上·上海杨浦·期末）下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 【考点题型二】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例2】（23-24九年级上·甘肃白银·期末）用配方法将函数写成的形式是 ． 【变式2-1】（23-24八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【变式2-2】（23-24九年级上·四川广元·期末）若把二次函数化为的形式，其中为常数，则 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·四川眉山·期末）已知二次函数可以写成，则的取值范围是 ． 【变式2-4】（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【考点题型三】二次函数的图象和性质 【例3】（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【变式3-1】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 【变式3-2】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24九年级上·上海金山·期末）如果点在二次函数的图像上，那么a b填“”“”或“”） 【变式3-4】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 【考点题型四】画二次函数y=ax²+bx+c的图象 【例4】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 【变式4-1】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）根据要求画出二次函数的图象并解决相关问题． (1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； (2)请根据图像直接写出：当时，自变量的取值范围 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·河南南阳·期末）【操作与探究】已知点在抛物线上移动． (1)在下图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： 函数时，的取值范围是______； 方程的根是______； 若时，随的增大而减小，则的取值范围是______； 若当时，函数的最小值是，最大值是，直接写出的取值范围． 【变式4-3】（22-23八年级下·福建福州·期末）已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 【变式4-4】（23-24九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________． 【考点题型五】根据二次函数增减性求某区域的最值问题 【例5】（24-25九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 【变式5-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知函数，当 时，该函数的最小值是 ． 【变式5-2】（23-24八年级下·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数（其中），当时，的最大值是4，则的值为 ． 【变式5-4】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，则此函数的顶点坐标是 ；若，当时，函数有最小值，则 ． 【考点题型六】图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集 【例6】（23-24九年级上·四川雅安·期末）表格对应值如下表：判断关于的方程的一个解的范围是（     ） 1 2 3 4 5 12.5 22   A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式6-2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【变式6-3】（23-24九年级上·广东茂名·期末）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解： ．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 【考点题型七】二次函数的平移 【例7】（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 【变式7-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，将函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得图像的函数解析式为 ． 【变式7-2】（23-24九年级上·西藏·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ． 【变式7-3】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 ． 【变式7-4】（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ． 【考点题型八】待定系数法求二次函数的表达式 【例8】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图是二次函数的图象． (1)求该二次函数的关系式及顶点坐标； (2)当时的取值范围是___________． 【变式8-1】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【变式8-2】（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点； (3)当时，y的取值范围为______． 【变式8-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 【变式8-4】（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线经过点和点． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足时，求y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 【考点题型九】二次函数与一次函数或反比例函数共存问题 【例9】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( ) A．B． C． D． 【变式9-2】（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A．B．C． D． 【变式9-3】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）若，则函数、在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式9-4】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中大致为（    ） A．B．C．D． 【考点题型十】根据二次函数y=ax²+bx+c的图象判断有关的信息 【例10】（23-24九年级上·江西·期末）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式10-1】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-2】（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式10-3】（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④，⑤无实数解，写出正确的序号 ． 【变式10-4】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，且对称轴为，点B 坐标为．则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数（7个考点清单+10种题型解读） 目录 【考点题型一】二次函数的定义 2 【考点题型二】把y=ax²+bx+c化成顶点式 5 【考点题型三】二次函数的图象和性质 7 【考点题型四】画二次函数y=ax²+bx+c的图象 9 【考点题型五】根据二次函数增减性求某区域的最值问题 15 【考点题型六】图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集 18 【考点题型七】二次函数的平移 20 【考点题型八】待定系数法求二次函数的表达式 23 【考点题型九】二次函数与一次函数或反比例函数共存问题 29 【考点题型十】根据二次函数y=ax²+bx+c的图象判断有关的信息 33 【知识点01】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【知识点02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【知识点03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【知识点04】抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【知识点06】用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 【知识点07】用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点题型一】二次函数的定义 【例1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A．是一次函数，故不符合题意； B．是反比例函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意； C、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B． 是二次函数，故此选项符合题意； C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D． 不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（23-24九年级上·上海杨浦·期末）下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键． 【详解】解：A、当时，原函数化为：，则不是二次函数，故不符合题意； B、，是一次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 【变式1-4】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【考点题型二】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例2】（23-24九年级上·甘肃白银·期末）用配方法将函数写成的形式是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了配方法，将化为顶点式即可． 【详解】解： 故答案为： 【变式2-1】（23-24八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．必须牢记二次函数的三种形式：一般式：；顶点式：；③两根式：． 利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24九年级上·四川广元·期末）若把二次函数化为的形式，其中为常数，则 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．先由二次函数转化为顶点式，即可得到的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24九年级上·四川眉山·期末）已知二次函数可以写成，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： 故答案为 ：． 【变式2-4】（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【考点题型三】二次函数的图象和性质 【例3】（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵抛物线， ∴，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可得． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故选项B错误，选项C正确； 时，， 该函数图象经过点，故选项A错误； 该函数图象可由函数的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误； 故选：C． 【变式3-2】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为，进行求解后，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-3】（23-24九年级上·上海金山·期末）如果点在二次函数的图像上，那么a b填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-4】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴对称轴为， ∵开口向上， ∴对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：． 【考点题型四】画二次函数y=ax²+bx+c的图象 【例4】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 【答案】函数图象见解析；（1）；（2） 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象等知识． 根据函数解析式求得与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函数图象， （1）根据函数图象直接求解； （2）根据函数图象直接求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，解得：， ∴抛物线与轴的交点为， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 关于对称轴对称的点为， 函数的图象，如图所示， （1）根据函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． （2）当时，， 当时，， 又∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是， 故答案为： 【变式4-1】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）根据要求画出二次函数的图象并解决相关问题． (1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； (2)请根据图像直接写出：当时，自变量的取值范围 ． 【答案】(1)填表见解析，图象见解析； (2)． 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】（）取适当的的值根据函数解析式求出即可填写表格，再根据表格的数值描点、连线即可画出函数图象； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了二次函数图象的画法，二次函数与不等式，掌握二次函数图象的画法是解题的关键． 【详解】（1）解：填表如下： 描点、连线画出函数图象如图： （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级上·河南南阳·期末）【操作与探究】已知点在抛物线上移动． (1)在下图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： 函数时，的取值范围是______； 方程的根是______； 若时，随的增大而减小，则的取值范围是______； 若当时，函数的最小值是，最大值是，直接写出的取值范围． 【答案】(1)画图见解析； (2)；，；；． 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可； 此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）列表： 描点，连线，如图， （2）根据图象可知，时，的取值范围是， 故答案为：； 由得，，通过图象可知，， 故答案为：，； 根据图象可知，当时，随的增大而减小， 若时，随的增大而减小， 则的取值范围是， 故答案为：； 根据图象可知， 则的取值范围是． 【变式4-3】（22-23八年级下·福建福州·期末）已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象； （2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 二次函数如图所示：    （2）解：①由图可知：当时，x的取值范围为， 故答案为：； ②由图可知，该二次函数对称轴为直线， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以及能够结合图象，分析函数的性质． 【变式4-4】（23-24九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)见解析 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象求解． 【详解】（1）解：， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：列表： x 0 1 2 3 5 y 5 2 1 2 5 根据描点法画二次函数图象如下： ； （3）解：由图象可知：当时，． 故答案是：． 【考点题型五】根据二次函数增减性求某区域的最值问题 【例5】（24-25九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性并结合，分类讨论解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ①当，即时，此时二次函数在上y随x的增大而减小，在取最大值，即，解得，与不符； ②当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ③当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ④当即时，此时二次函数在上y随x的增大而增大，在取最大值，，解得与不符． 综上，的值为或． 故答案：或． 【变式5-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知函数，当 时，该函数的最小值是 ． 【答案】 4 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了把二次函数化为顶点式、二次函数的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 当时，该函数的最小值是； 故答案为：4，． 【变式5-2】（23-24八年级下·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ． 【答案】6 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． 由，，可知当时，二次函数的值最小，为4，则，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，二次函数的值最小，为4， ∴， 解得，， 故答案为：6． 【变式5-3】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数（其中），当时，的最大值是4，则的值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴，利用二次函数的图象和性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴时，抛物线开口向上，对称轴两侧离对称轴越远，数值越大， ∴当时y有最大值，即，解得：； 故答案为：． 【变式5-4】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，则此函数的顶点坐标是 ；若，当时，函数有最小值，则 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，把解析式配方解答即可求得顶点坐标；根据题意，当时，函数有最小值，得到关于的方程，解方程求得的值． 【详解】解：， 此函数的顶点坐标是， 若，当时，函数有最小值， 时，， ， 故答案为：，． 【考点题型六】图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集 【例6】（23-24九年级上·四川雅安·期末）表格对应值如下表：判断关于的方程的一个解的范围是（     ） 1 2 3 4 5 12.5 22   A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个的值使， ∴关于的方程的一个解的范围是； 故选B． 【变式6-1】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式6-2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 【知识点】图象法解一元二次不等式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24九年级上·广东茂名·期末）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解： ．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 【答案】 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系．根据在与之间可得方程有一个解的取值范围为，由此即可得． 【详解】解：由表可知，在与之间， 方程有一个解的取值范围为， ， 故答案为：． 【考点题型七】二次函数的平移 【例7】（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．首先将抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”进行求解作答即可． 【详解】解：∵抛物线， 将该抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴得到的抛物线的解析式是． 故答案为：． 【变式7-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，将函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得图像的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知， 抛物线的图象向右平移2个单位所得函数图象的关系式是：； 由“上加下减”的原则可知， 抛物线的图象向下平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：． 故答案为：． 【变式7-2】（23-24九年级上·西藏·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度， 得到抛物线的解析式为：，即， 再向下平移3个单位长度， 得到抛物线解析式为：，即 ， 故答案为：． 【变式7-3】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：， 平移后的解析式为：， 故答案为：． 【变式7-4】（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据顶点坐标得到平移规律即可求解． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线是由原抛物线向右移动了7个单位，向上移动了2个单位得到的． 的坐标右移动了7个单位，向上移动了2个单位坐标为，即． 故答案为：． 【考点题型八】待定系数法求二次函数的表达式 【例8】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图是二次函数的图象． (1)求该二次函数的关系式及顶点坐标； (2)当时的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图象得出抛物线与坐标轴交点坐标，代入解析式求解即可； （2）求出抛物线与x轴交点坐标，根据图象即可求出取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线经过，，代入得， ， 解得，， 抛物线解析式为， 化成顶点式为， 抛物线顶点坐标为； （2）解：当时，，解得，，， 抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴当时的取值范围是； 故答案为：． 【变式8-1】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在． 【详解】（1）解：∵当和时，， ∴设二次函数， ∵时，， ∴代入得：，即， 解得：， ∴二次函数解析式为，即， ∴，， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和， ∴， ∵， ∴点到的距离， ∴点的纵坐标为或， ∵点为抛物线上一点， ∴当点的纵坐标为时，，即， 解得：， ∴点的坐标为或； ∵二次函数解析式为，顶点坐标为， 当点的纵坐标为时的情况不存在； 综上所述，点的坐标为或． 【变式8-2】（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点； (3)当时，y的取值范围为______． 【答案】(1)或 (2)向上平移4个单位长度 (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式， 二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． 设二次函数的解析式为：，将点代入即可得出a的值． （2）根据二次函数的图像以及平移的性质求解即可． （3）根据二次函数的图像和性质可得出当时，y随x的增大而增大，分别求出当时y的值，当时，y的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为：， 将点代入， 得出：， 解得：， ∴或 （2）当二次函数的图象与x轴只有一个公共点时，只需将抛物线向上平移4个单位即可． （3）根据函数图像可知：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∴当时，． 【变式8-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 【答案】(1)，对称轴 (2) (3) (4)时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将表中已知数据代入即可得到函数表达式； （2）根据（1）求出的解析式代数求值； （3）确定函数图象的开口方向和对称轴，然后根据递减性得出答案； （4）根据函数图象的开口方向和对称轴的位置来确定性质． 【详解】（1）解：将代入， ，解得， ， 故对称轴； （2）解：根据函数解析式：， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 故答案为：； （3）解：根据，， 开口向下， 对称轴， 当时，随的增大而增大， 故，则， 故答案为：； （4）解：根据二次函数的图象可得， 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 【变式8-4】（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线经过点和点． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足时，求y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 【答案】(1)解析式为：；顶点坐标为 (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等． （1）将点和点代入中求出的值，即可计算出本题答案； （2）利用二次函数顶点式可得当时取得最小值，再求出和时对应的函数值即可得到本题答案； （3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：将点和点代入中得， ，解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴二次函数对称轴为：， ∵， ∴此时函数有最小值， ∵自变量x满足时， 当时，， 当时，， ∴自变量x满足时，y的取值范围为：； （3）解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后， ∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即，解得：（舍去）， 设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即，解得：（舍去）， 综上所述：的值为：或． 【考点题型九】二次函数与一次函数或反比例函数共存问题 【例9】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( ) A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 直接利用二次函数图形得出a、b的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C正确； D、一次函数图象，得，，故D错误； 故选：C． 【变式9-2】（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象，反比例函数图形的性质是解题的关键．根据图形所在象限判定的符号，即可求解． 【详解】解：A、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； B、根据反比例函数图形可得， ，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； C、根据反比例函数图形可得，，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴交点在轴上方，原选项符合题意； D、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向上，与轴的交点在轴下方，原选项不符合题意； 故选：C． 【变式9-3】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）若，则函数、在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数的图象和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据二次函数的性质和反比例函数的性质，可知当和，两个函数图象所在的象限，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，顶点在原点，对称轴为y轴；函数的图象位于第一、三象限，故①符合题意，②不符合题意； 当时，函数的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴；函数的图象位于第二、四象限，故③不符合题意，④符合题意； 故选：B． 【变式9-4】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∵对称轴为直线， ∵与轴的正半轴相交， ∴的图象经过第二三四象限， 当时，， ∴反比例函数的图象在第二四象限，只有C选项图象符合． 故选：C． 【考点题型十】根据二次函数y=ax²+bx+c的图象判断有关的信息 【例10】（23-24九年级上·江西·期末）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的对称轴可得，由此即可判断②正确；再根据二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴可得，从而可得，即可判断①错误；根据二次函数的最大值即可判断③正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与时的函数值相等，从而可得当时，，即可判断④错误． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即，结论②正确； ∵二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∴，结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数都有， ∴，结论③正确； 由函数图象可知，当时，， 由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，即，结论④错误； 综上，正确的有②③， 故选：B． 【变式10-1】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点， ∴，， ∴，，故②正确； ∴，故①错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，即，故④正确； 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：D． 【变式10-2】（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点，列方程组判断①，由顶点的性质即可判断②，根据直线在直线的下面，即可判断③． 【详解】∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得，故①错误； ∵， ∴， ∴直线， ∴当时，有最大值， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴直线在直线的下面， ∵当时，， ∴直线于抛物线的交点的在轴的两侧， 故关于的一元二次方程有两个异号实数根，故③正确， 故答案为：②③． 【变式10-3】（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④，⑤无实数解，写出正确的序号 ． 【答案】②④⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程．由题意以及二次函数的图象可得，，，，即，进而可判断①的正误；根据，进而可判断②的正误；当，，进而可判断③的正误；由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，即直线与抛物线有两个交点，则，进而可判断④的正误；由图可知直线与抛物线没有交点，可判断⑤是否正确． 【详解】解：由题意以及二次函数的图象可得，故①错误，不符合要求； 由图象可得：，，， ∴， ∵，，， ∴，故②正确，符合要求； 当，，故③错误，不符合要求； ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即直线与抛物线有两个交点， ∴，故④正确，符合要求； ， ， 由图可知直线与抛物线没有交点， 无解，故⑤正确，符合要求； 综上所述，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 【变式10-4】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，且对称轴为，点B 坐标为．则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的是 【答案】①②/②① 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据交点确定不等式的解集 【分析】此题考查二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键．根据对称轴为，得到，即可判断①；根据图象和当时的函数值即可判断②；分别判断a、b、c的符号，即可判断③；根据对称轴为，点B坐标为，得到A点坐标为．根据图象即可判断④． 【详解】解：∵对称轴为， ∴， ∴， ∴．故结论①正确，符合题意． ∵点B坐标为， ∴当时，， 故结论②正确，符合题意． ∵图象开口向下， ∴． ∵， ∴， ∵图象与y轴交于正半轴上， ∴． ∴，故结论③错误，不符合题意． ∵对称轴为，点B坐标为， ∴A点坐标为． ∴当时或．故结论④错误，不符合题意． 综上可知，正确的是①②， 故答案为：①②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$