精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024年秋季初2022级（初三）第二次质量监测 数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：由得， ∴或， 解得，， 故选：D． 3. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4. 下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直线必经过圆心．其中假命题的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①不在同一直线的三点确定一个圆，本项错误； ②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，本项错误； ③在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，本项错误； ④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，本项错误； ⑤垂直于弦的直线不一定经过圆心，本项错误. 故假命题的个数是5个， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大． 5. 一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由这个小组有人，则每人需送出贺卡张，根据全组共送出贺卡张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：因为这个小组有人，则每人需送出贺卡张， 依题意得：． 故选：C． 6. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ） A. 底角大于 B. 底角等于 C. 底角小于 D. 底角大于等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 7. 若a，b是的根，则的值是（     ） A. 2022 B. 2023 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 根据一元二次方程的解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可解答． 【详解】解：∵a，b是的根， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A. 4 B. 5.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 9. 如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至．连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，证明，可得，即可求的面积．利用旋转的性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图：过点作于点， ∵，， ∴， ∵将斜边绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 10. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号即可判断；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值即可判断；③根据，，得到，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出，即可判断；④作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接与的和即为四边形周长的最小值．求出的坐标即可解答． 【详解】解：①当时，函数图象过第一、四象限，当时，；当时，，故此命题是假命题； ②二次函数对称轴为直线，当时有，解得，故此命题是真命题； ③∵， ∴， ∴Q点距离对称轴比P点距离对称轴远， 又∵抛物线开口向下， ∴，故此命题是真命题； ④如图，作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点， 连接与的和即为四边形周长的最小值． 当时，二次函数为，顶点纵坐标为，则，则；C点坐标为；则，； 则，． ∴四边形周长的最小值为，故此命题是假命题． 真命题有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称—最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若m，n是方程x2+2019x﹣2020＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系得出m+n，mn的值，进而得出答案． 【详解】解：∵m，n是方程x2+2019x﹣2020＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2020， 则m+n﹣mn＝﹣2019﹣（﹣2020）＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，正确得出m+n，mn的值是解题关键． 12. 如果点关于原点的对称点为，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特点，代数式求值，解题的关键是熟练掌握根据关于原点对称的点的特点求出x和y的值．根据关于原点对称的点的特点，可求出x和y的值，即可进一步得到答案． 【详解】点关于原点的对称点为， ，， ． 故答案为：2025． 13. 与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，决定开口方向和大小是解题的关键．利用对于二次函数，顶点相同即不变，形状也相同即不变，而开口方向相反即二次项系数符号变为相反，即可解决． 【详解】解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式， 即只有二次项系数相反， 则其解析式为， 故答案为：． 14. 平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 【答案】6或4 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论． 分点A在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可． 【详解】解：当点A在圆内时，的直径长为，半径为6； 当点A在圆外时，的直径长为，半径为4； 即的半径长为6或4． 故答案为：6或4． 15. 如图，点A，B，C在圆O上，与的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质．熟练掌握角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，由，可求，则，由题意知，分当在上方时，当在下方时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵与的角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当在上方时，如图， ∴， 当在下方时，如图， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 16. 如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 将绕点旋转一定角度后，得到， ，，，， ， ，故①正确， ，，， ∴ ，，， 平分，故③正确， ， ， ，故②正确， ， ， ∴， ∴的面积，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（17-25题共计86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； 【小问2详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）根据判别式可知，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 19. 已知抛物线的图象经过点 （1）求a的值； （2）若点，都在该抛物线上，试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，比较二次函数值的大小： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合解析式可得∴抛物线开口向下，对称轴为直线，则在对称轴左侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∵点，都在该抛物线上， ∴． 20. 如图，已知的顶点A，B，C的坐标分别是，，． （1）画出关于原点O对称的，并写出点，，的坐标； （2）画出关于y轴对称的． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，，，； （2） 解：关于y轴对称的如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点的坐标特征： （1）根据关于原点O对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，求长． 【答案】（1） 证明：连接OC，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，，，先证明，再证明，进一步可得答案； （2）求解，，结合，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键． 22. 如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． （1）已知，，求圆O的半径； （2）如果，求弦所对的圆心角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：连接，如图，设的半径为，则，， 平分， ，， 在中，， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 连接，如图， ， ， 即， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即弦所对的圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理． 23. 如图（1），在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接，延长至点，使． （1）求证：． （2）如图（2），当为直径，的半径为1时，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得，进而可以解决问题； （2）连接，，由（1）得，所以，可得和是等边三角形，可以求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， 为直径，半径为1， ，，， 由（1）知：， ， ， 和是等边三角形， ， ， ， ，， ∴， ， 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理等知识点，灵活应用是关键． 24. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为． （1）求该二次函数的关系式； （2）是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的值有最大值，此时点的坐标为 （3）存在，的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先利用一次函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）作轴交于，设，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）先配方得到，则，抛物线的对称轴为直线，设，利用等腰三角形的性质，当时，即；当时，即；当时，即；然后分别解关于的方程即可得到对应的点坐标． 【小问1详解】 解：当时，，则， 当时，，解得：，则， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： 【小问2详解】 作轴交于，如图， 设，则， ， 当时，的值有最大值，此时点坐标为 【小问3详解】 ∵抛物线， ∴顶点，对称轴为直线， 设 当时，为等腰三角形，即， 解得： 此时点坐标为：，， 当时，为等腰三角形，即， 解得：， 此时点坐标为： 当时，为等腰三角形，即， 解得：（舍去），， 此时点坐标为：； 综上所述，的坐标为或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季初2022级（初三）第二次质量监测 数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直线必经过圆心．其中假命题的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ） A. 底角大于 B. 底角等于 C. 底角小于 D. 底角大于等于 7. 若a，b是的根，则的值是（     ） A. 2022 B. 2023 C. D. 8. 如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A. 4 B. 5.5 C. D. 9. 如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至．连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若m，n是方程x2+2019x﹣2020＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为_____． 12. 如果点关于原点的对称点为，则______． 13. 与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是______． 14. 平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 15. 如图，点A，B，C在圆O上，与的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若，则_______． 16. 如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（17-25题共计86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 19. 已知抛物线的图象经过点 （1）求a的值； （2）若点，都在该抛物线上，试比较与的大小． 20. 如图，已知的顶点A，B，C的坐标分别是，，． （1）画出关于原点O对称的，并写出点，，的坐标； （2）画出关于y轴对称的． 21. 如图，在中，，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，求长． 22. 如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． （1）已知，，求圆O的半径； （2）如果，求弦所对的圆心角的度数． 23. 如图（1），在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接，延长至点，使． （1）求证：． （2）如图（2），当为直径，的半径为1时，求的长． 24. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 25. 如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为． （1）求该二次函数的关系式； （2）是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $